Auf dem Gebiet der komplexen Zahlen beeindruckt vermutlich keine Menge mit ihrer graphischen Darstellung ihre Betrachter so sehr, wie die Juliamenge. Was zuerst komplex und nicht greifbar scheint, lässt sich allerdings leicht verstehen und zur Schaffung einzigartiger Kunstwerke nutzen - lesen Sie selbst.
Diese Veranschaulichung, die ebenso namensgebend für die Chaostheorie war, stammt von Edward N. Lorenz, einem amerikanischen Meteorologen. Zwar verwendete er ursprünglich den Flügelschlag einer Möwe, doch dies änderte nichts daran, dass jene Theorie nicht nur in der Meteorologie, sondern auch in anderen Wissenschaften großen Anklang fand. Der Schmetterlingseffekt besagt, dass kleine Änderungen von den Anfangsbedingungen eines Systems unvorhersehbare und durchaus große Auswirkungen haben können.
Genau dieses Phänomen tritt in der Mathematik in dynamischen, determinierten Systemen komplexer Zahlen auf, also in jenen Systemen, deren Verlauf nur von der Wahl des Anfangszustands und nicht von der des Anfangszeitpunktes abhängt. Um den Effekt sichtbar zu machen, entwickelten im 20. Jahrhundert verschiedene Wissenschaftler, wie etwa Benoît Mandelbrot, eine Darstellung komplexwertiger Systeme in der Gauß’schen Zahlenebene, die sogenannten Fraktale. Der Begriff leitet sich vom lateinischen ”fractum“ ab, was „ein Teil“ bedeutet. Ein Fraktal ist also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die durch eine Gleichung und verschiedene Rahmenbedingungen beschrieben wird. Ändert man nun eine dieser Anfangs- oder Rahmenbedingungen minimal, so ist die Veränderung des Aussehens des Fraktals unvorhersehbar und möglicherweise sehr groß.
Inhaltsverzeichnis
- Der Schmetterlingseffekt
- Mathematischer Hintergrund
- Herleitung der Juliamenge
- Iteration
- Bahnen
- Fixpunkte und Attraktoren
- Eigenschaften der Juliamenge
- Mengentheoretische Eigenschaften.
- Invarianz.
- Iteration einer p-fachen Komposition
- Abstoßende Menge
- Konvergenz
- Periodisches Verhalten
- Abgrenzung von der Fatoumenge
- Herleitung der Juliamenge
- Geometrische Darstellung
- Entstehung der Bilder
- Abtastmethode
- Inverse Iteration
- Bedeutung der Farben
- Erstellen einer Juliamenge
- Entstehung der Bilder
- Inspiration
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Konstruktion und den ästhetischen Eigenschaften der Juliamenge. Ziel ist es, die komplexe Welt dieser Fraktale zu erforschen und deren Entstehung, Eigenschaften und Darstellungsmöglichkeiten zu erläutern.
- Der Schmetterlingseffekt als Ausgangspunkt für die Erforschung dynamischer Systeme
- Mathematische Herleitung der Juliamenge durch Iteration und Analyse von Bahnen
- Eigenschaften der Juliamenge, wie Invarianz, Konvergenz und Periodisches Verhalten
- Geometrische Darstellung der Juliamenge durch verschiedene Verfahren und die Bedeutung der Farbgebung
- Inspiration und Bedeutung der Juliamenge in der Kunst und Wissenschaft
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in das Thema ein und erklärt den Schmetterlingseffekt als ein wesentliches Konzept für das Verständnis dynamischer Systeme. Es werden die Grundprinzipien der Chaostheorie erläutert und die Rolle der Fraktale in komplexen Zahlenebenen hervorgehoben.
Das zweite Kapitel widmet sich dem mathematischen Hintergrund der Juliamenge. Es wird die Herleitung der Menge durch Iteration einer Abbildung und die Untersuchung der resultierenden Bahnen erklärt. Zudem werden wichtige Eigenschaften der Juliamenge, wie Invarianz und Konvergenz, behandelt.
Das dritte Kapitel befasst sich mit der geometrischen Darstellung der Juliamenge. Verschiedene Verfahren, wie Abtastmethode und inverse Iteration, werden vorgestellt und die Bedeutung der Farbgebung in der Darstellung erläutert.
Das vierte Kapitel widmet sich der Inspiration, die die Juliamenge in der Kunst und Wissenschaft findet.
Schlüsselwörter
Juliamenge, Fraktale, Iteration, Schmetterlingseffekt, Chaostheorie, komplexe Zahlen, dynamische Systeme, Invarianz, Konvergenz, geometrische Darstellung, Farbgebung, Inspiration, Kunst, Wissenschaft
- Quote paper
- Anonym (Author), 2019, Wo Mathematik und Ästhetik zusammentreffen. Die Juliamenge, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/974109
