Die Hertzschen Formeln wurden durch den deutschen Physiker Heinrich Rudolf Hertz entwickelt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Herleitung der nach ihm benannten Formel und vollzieht diesen Vorgang nach.
Hertz kam am 22. Februar 1857 in Hamburg zur Welt. Er studierte an der Universität Berlin. Von 1885 bis 1889 lehrte er als Professor für Physik an der Technischen Hochschule in Karlsruhe. Hertz entdeckte in Karlsruhe mit dem ersten Hertzschen Oszillator die Existenz der Elektromagnetischen Wellen. Er wies nach, dass sie sich auf die gleiche Art und mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten wie Lichtwellen. Er starb am 1. Januar 1894 in Bonn.
Hertz verwendete die Formeln von Joseph Valentin Boussinesq als Basis, um die Pressung in zusammengedrückten Kugeln bestimmen zu können. Boussinesq war ein französischer Mathematiker und Physiker (geb. am 13. März 1842). Von 1872 bis 1886 war er Professor für Differenzial und Integralrechung in Lille. Er leistete einen entscheidenden Beitrag zum Verständnis der Turbulenz und der hydrodynamischen Grenzschicht. Er ist am 19. Februar 1929 verstorben.
Inhaltsverzeichnis
1 Historischer Hintergrund
2 Koordinatensystem und Definitionen
3 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper
3.1 Kugel gegen Kugel
3.2 Kugel gegen Ebene
3.3 Zylinder gegen Zylinder
3.4 Zylinder gegen Ebene
3.5 Beliebig gewölbte Fläche
4 Herleitung der Hertzschen Formeln
4.1 Problem von Boussinesq
4.2 Abplattung und Radius der Druckfläche
4.3 Druckverteilung in der Berührungsfläche
5 Anwendungen der Hertzschen Pressung
5.1 Zahnräder
5.2 Wälzlager
6 Zahlenbeispiele
6.1 Kugel gegen Ebene
6.2 Belastung im Wälzkontakt
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der wissenschaftlichen Herleitung der Hertzschen Formeln, welche die auftretenden Spannungen und Verformungen bei der elastischen Berührung zweier Körper beschreiben. Ziel ist es, die theoretischen Grundlagen basierend auf dem Modell von Boussinesq methodisch aufzubereiten und deren Anwendbarkeit auf technische Bauteile wie Wälzlager und Zahnräder zu demonstrieren.
- Historische Einordnung der Hertzschen Theorie
- Methodische Herleitung der Verschiebungs- und Druckformeln
- Unterscheidung verschiedener Kontaktgeometrien (Punkt- vs. Linienkontakt)
- Berechnung von Flächenpressungen in Wälzkontakten
- Praktische Anwendungsbeispiele zur Spannungsberechnung
Auszug aus dem Buch
4.1 Problem von Boussinesq
Nach der Abbildung 1 wirkt im Koordinatenursprung eine normale Einzelkraft F an der Oberfläche des halbunendlichen elastischen Körpers mit ebener Begrenzungsfläche z=0 (sog. Halbraum). Es wird die durch die Kraft entstandene Verschiebung in z Richtung und die Spannung in x z Ebene bestimmt. Es handelt sich um ein axialsymmetrisches Problem. Im Unendlichen sollen die Spannungen verschwinden.
Die Lösung gelingt mit dem Lösungsansatz von Boussinesq unter Verwendung von Potentialfunktionen.
Eine allgemeine Gleichung für die Verschiebung nach dem Ansatz von Papkovich und Neuber in kartesischen Koordinaten x, y, z , lautet:
u_z = 2/G (1-v) phi_z - 2 dN/dz [Q11] (1)
sigma_z = 2(2-v) dphi_z/dz - d^2N/dz^2 [Q12] (2)
Wobei N = x*phi_x + y*phi_y + z*phi_z + phi_0 ist eine Potentialfunktion und erfüllt die folgende differentiale Gleichung dphi_1/dx_1 + dphi_2/dy_2 + dphi_3/dz_3 + X = 0
Zusammenfassung der Kapitel
Historischer Hintergrund: Kurzer Abriss über das Leben und Wirken von Heinrich Rudolf Hertz und die wissenschaftliche Bedeutung seiner Arbeiten.
Koordinatensystem und Definitionen: Einführung der geometrischen Grundlagen und der in der Arbeit verwendeten Variablen zur Beschreibung des Halbraums.
Beanspruchung bei Berührung zweier Körper: Differenzierung zwischen verschiedenen Kontaktgeometrien und den grundlegenden Voraussetzungen für die Hertzsche Pressung.
Herleitung der Hertzschen Formeln: Detaillierte mathematische Ableitung der Formeln unter Nutzung der Boussinesq-Theorie und der Potentialfunktionen.
Anwendungen der Hertzschen Pressung: Übertragung der Theorie auf reale technische Systeme, insbesondere bei Zahnrädern und Wälzlagern.
Zahlenbeispiele: Konkrete Berechnungsszenarien zur Anwendung der Formeln auf eine Kugel-Ebene-Paarung und ein Rillenkugellager.
Schlüsselwörter
Hertzsche Pressung, Elastizitätstheorie, Boussinesq, Kontaktmechanik, Abplattung, Flächenpressung, Wälzlager, Zahnräder, Punktkontakt, Linienkontakt, Spannungsverteilung, Hookesches Gesetz, Schmiegung, Elastizitätsmodul, Rotationssymmetrie
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit behandelt die mathematische Herleitung der Hertzschen Formeln zur Berechnung von Spannungen bei elastischer Körperberührung.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Die Schwerpunkte liegen auf der Kontaktmechanik, der Herleitung der Druckverteilung und der praktischen Anwendung bei Wälzkörpern.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die methodische Darstellung der Herleitung der Hertzschen Theorie sowie deren Verifizierung für reale technische Bauteile.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird der mathematische Lösungsansatz von Boussinesq unter Verwendung von Potentialfunktionen und Randbedingungen angewendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der detaillierten Herleitung der Hertzschen Gleichungen und der Analyse verschiedener Kontaktgeometrien wie Kugel-Kugel oder Zylinder-Zylinder.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Publikation?
Die wichtigsten Fachbegriffe sind Hertzsche Pressung, Kontaktmechanik, Abplattung, Spannungsverteilung und Wälzlager.
Warum spielt das Boussinesq-Problem eine Rolle?
Boussinesq lieferte die Grundlage für die Bestimmung der Spannungsverteilung bei Einwirkung einer Einzelkraft auf einen Halbraum, was die Basis für die Hertzsche Theorie bildet.
Was versteht man in dieser Arbeit unter Schmiegung?
Die Schmiegung beschreibt das Verhältnis der Radiendifferenz von Ringlaufbahn und Kugel zum Kugelradius in Wälzlagern.
Wie unterscheiden sich Punkt- und Linienkontakt?
Der Punktkontakt tritt bei allseitig gekrümmten Körpern auf, während der Linienkontakt eine rechteckige Kontaktfläche bei Zylinder- oder Kegelberührungen aufweist.
Welches Ergebnis liefern die Berechnungen für Rillenkugellager?
Die Berechnungen zeigen, dass der Kontakt zwischen Kugel und Außenring in einem Rillenkugellager eine höhere Belastung aufweist als der zwischen Kugel und Innenring.
- Arbeit zitieren
- Usman Butt (Autor:in), 2009, Heinrich Hertz. Herleitung der Hertzschen Formeln, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/888917
