Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, daß der erste Philosoph, - wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet (625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr. richtig vorhersagte.
Seit über zweieinhalb Jahrtausenden beschäftigt sich also die Menschheit schon mit geometrischen Gebilden, wie Geraden, Dreiecke, Vierecke oder Pyramiden! Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, schulbekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien durch reine Überlegung schon der „Quantennatur der Geometrie“ auf die Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige, mathematische Werk verfaßte, nach dessen Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, -nur das Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (285-212), der nicht nur die Kreiszahl π, sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen, vielen anderen. Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser idealisierten Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis Kopernikus, Galilei und Kepler uns endgültig eines besseren belehren sollten.
Bald wird wohl die Anzahl der heute auf der Erde lebenden Mathematiker größer sein, als alle einst in den vergangenen Jahrtausenden lebenden bzw. gestorbenen, zusammen genommen! Und sie haben sich alle schon mit Dreiecken beschäftigt! Könnte da noch etwas über das Dreieck unentdeckt geblieben sein?
Können Sie sich vorstellen, daß es für das Dreieck noch Formeln gibt, die in keinem Buch und keiner Formelsammlung zu finden sind?
Ja, dies ist der Fall, oder kennen Sie etwa die Formel, daß das Produkt der Dreiecksseiten dividiert durch seine Summe (auch Umfang genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und Umkreises, - die sog. Wehrle-Zahl des Dreiecks-, ist? Oder wissen Sie, daß im rechtwinkligen Dreieck der Inkreis-Durchmesser gleich der um die größte Seite (auch Hypotenuse genannt) verminderte Summe der kleineren Seiten (auch Katheten genannt) ist, daß die Summe der am rechten Winkel anliegenden Seiten gleich der Summe der Durchmesser ist?
Und daß das halbe Produkt dieser zwei Seiten, -die Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*. Dieser letztere „Differenzen-Wehrle“ ist das Quadrat des Durchmessers des Inkreises!
Kennen Sie das kleinste, diskrete gleichschenklige Dreieck, oder das kleinste, nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen Seitenlängen besteht?
Wissen Sie, welche Vierecke einen In- und Umkreis haben, oder kennen Sie deren doppelte Radienprodukte? Kennen sie diskrete Kreisvierecke, diskrete Sehnenvierecke ohne Inkreis gar?
Wie heißt der dreidimensionale Satz des Pythagoras, oder wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit ganzzahligen Katheten den Inkugelradius r=1 hat?
Wissen Sie, daß der Inkugelmittelpunkt rechtwinkliger Tetraeder
Mi = (r; r; r) mit
r = abc / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)] ist;
und das Umkugelzentrum
Mu = (a/2; b/2; c/2) mit Radius R = ½√(a²+b²+c²) ist?
Und was gilt für das Radienprodukt bei den allgemeinen Pyramiden?
Wissen, wie man das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen berechnet! Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für das allgemeine Tetraeder noch nicht!
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- Einleitung
- Erster TEIL: Wehrle-Formeln für Dreiecke
- w = A - r 2
- ab = 2r(2R+r)
- 2 r = a+b – c
- a+b = 2 (R+r)
- a½ = R+r ± √ (R 2 –A)
- Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen
- Abstand der Zentren
- Der Sinus-Wehrle
- Andere trigonometrische Wehrles
- Des Sinus-Differenzen-Wehrle
- Die trigonomischen Potenzen-Wehrles
- Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks
- Die Kreise des Dreiecks
- Das Küßproblem
- Die Formel von Descartes
- Die Kreisspiegelung
- Die Krümmung der Küßkreise
- Die Krümmung der Ankreise
- Die Eulergerade und der Feuerbachkreis
- Merkwürdigkeiten beim Dreieck
- Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke
- Flächeninhalt A = √ ( abcd )
- Der Inkreisradius ist r = (2√abcd)/(a+b+c+d) ,
- Sehnen- und Tangentenvierecke
- Der Drachen-Wehrle
- Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten
- Teil III: Pyramiden
- Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Pythagoras
- r rechtwinkliger Tetraeder = abc / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)]
- 2rR =abc √(a²+b²+c²) / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)]
- Die Entfernung der Zentren
- Die Fehringer-Wehrle-Formel
- TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität
- Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären!
- Die Inhyperkugelmitte
- Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen
- Die Umhyperkugelmitte
- Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX
- Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln
- Schlußfolgerung
- ANHANG
- BEWEIS der WEHRLE-Formel
- Beweis der Flächenformel: A = w + r 2
- Beweis für w = R² - d²
- Übungsaufgaben zum Kapitel I:
- Übungsaufgaben zum Kapitel II:
- Übungsaufgaben zum Kapitel III:
- Beiträte von A. Fehringer
- Um- und Inkreisradien in Abhängigkeit der Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
- Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder
- Skalar-, Vektor- und Spatprodukt,
- Geometric relationships in triangles, quadrilaterals, and pyramids
- In- and circumcircles/spheres and their properties
- Kissing circles and reflections
- The nature of geometry in infinite dimensions
- The limitations of Euclidean geometry
- Erster TEIL: Wehrle-Formeln für Dreiecke This chapter introduces the Wehrle number, a fundamental concept related to the product of the in- and circumradius of a triangle. It explores various formulas and relationships for triangles, including rational triangles and the distance between the centers of in- and circumcircles. Key themes involve trigonometric Wehrle numbers and the properties of the in- and circumcircles.
- Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke This chapter delves into the properties of quadrilaterals with in- and circumcircles. It discusses the relationships between the sides and diagonals of these quadrilaterals, including the concept of rational quadrilaterals.
- Teil III: Pyramiden This chapter extends the exploration of geometric relationships to three dimensions, specifically focusing on pyramids. It covers the three-dimensional Pythagorean theorem, the calculation of in- and circumsphere radii, and the Fehringer-Wehrle formula for general tetrahedrons.
- TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität This chapter explores the challenges and limitations of Euclidean geometry when applied to spaces of higher dimensions. It examines the concept of in- and circumspheres in n-dimensional space and discusses the surprising result that spheres in infinite-dimensional space vanish. This chapter highlights the need for a reassessment of Euclidean geometry in the context of infinite dimensions.
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
The purpose of this work is to explore the mathematical concepts of geometry in all dimensions, highlighting specific formulas and relationships for triangles, quadrilaterals, and pyramids. It delves into the concepts of in- and circumcircles, in- and circumspheres, and the geometry of kissing circles and reflections. The work also investigates the challenges and limitations of Euclidean geometry in the context of infinite-dimensional spaces.
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Schlüsselwörter (Keywords)
This work focuses on key concepts such as Wehrle number, in- and circumcircles/spheres, kissing circles, reflections, rational triangles and quadrilaterals, the Pythagorean theorem, and the limitations of Euclidean geometry in infinite dimensions. These concepts are explored through specific formulas and relationships, providing insights into the nature of geometry in various dimensions.
- Quote paper
- Hugo Wehrle (Author), 2008, Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/88496
