Einleitung
In der (Schul-)Algebra ist die zentrale mathematische Technik der Termumformung immer wieder Ursprung zahlreicher Schülerschwierigkeiten und –fehler. In der vorliegenden Arbeit sollen die mentalen Prozesse, die bei Termumformungen ablaufen, untersucht werden. Unter dem Aspekt der mathematischen Grundlagenforschung soll analysiert werden, wie sich Unterschiede in den von Schwank postulierten kognitiven Strukturen in Unterschieden mentaler Repräsentationen (statisch versus prozeßorientiert) von Formelmanipulationen niederschlagen. Die dazu durchgeführte Untersuchung ist eine Pilotstudie im Rahmen des DFG-Projektes „Individuelle Unterschiede in der mentalen Repräsentation von Termumformungen (IRT)“.
Wie bereits erwähnt, wird in dieser Arbeit auf die Theorie von Schwank Bezug genommen, in der zwischen einer prädikativen und funktionalen kognitiven Struktur unterschieden wird; diese Theorie wird im zweiten Kapitel ausführlich erläutert werden. Im Unterabschnitt „Mathematische Grundlagen“ werden die objekt- und metasprachlichen Kalküle, die den Untersuchungsaufgaben zugrunde liegen, vorgestellt und vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet werden.
Im dritten Kapitel werde ich die experimentelle Durchführung der Untersuchung beschreiben. Ausgenommen davon ist die Vorstellung des Untersuchungsmaterials, dem im vierten Kapitel „Aufgaben“ gesondert Platz eingeräumt werden wird. Wegen des explorativen Charakters der Untersuchung wurde viel Wert auf die Analyse der Untersuchungsaufgaben gelegt. Die in dieser Studie gewonnenen Erfahrungen und Erkenntnisse hinsichtlich der Konstruktion und Wirkung von Untersuchungsaufgaben sollen in weitere Untersuchungen und in die Hauptuntersuchung gewinnbringend eingebracht werden können.
Die Auswertung der Untersuchung wird in einen qualitativen und einen quantitativen Teil unterschieden werden. Im fünften Kapitel sollen qualitativ, anhand der verbalen Äußerungen und der Vorgehensweise der Versuchspersonen bei der Lösungsfindung, die individuellen Unterschiede in der mentalen Repräsentation aufgezeigt werden. Das sechste Kapitel wird sich mit der quantitativen Auswertung der Untersuchung beschäftigen. Dort wird berichtet werden, inwiefern Lösungszeiten einzelner Aufgaben sowie Art und Häufigkeit der benutzten Formeln sich als Indikator für die kognitive Struktur der Versuchsperson eignen.
Im siebten Kapitel soll ein kurzes Fazit der Untersuchung gezogen und zukünftige Entwicklungsrichtungen aufgezeigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. EINLEITUNG
2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
2.1 Die Theorie in Analogie zur mathematischen Logik
2.2 Prädikative versus funktionale kognitive Struktur
2.3 Resonanzthese: Resonanz zwischen äußerer Repräsentation und mentaler Repräsentation
2.4 Mathematische Grundlagen: Kalküle
3. EXPERIMENTELLE DURCHFÜHRUNG
3.1 Ziel der Untersuchung
3.2 Auswahl der Versuchspersonen
3.3 Beschreibung des Versuchsablaufs
3.4 Zur Versuchsanleitung
3.5 Hilfestellungen
3.6 Untersuchungsmaterial
3.7 Das Programm
3.7.1 Implementierung der Aufgaben
3.7.2 Bildschirmaufbau und Bedienung des Programms
3.7.3 Protokollierung
3.8 Einsatz von Datenbanken
4. AUFGABEN
4.1 Musterergänzungsaufgaben
4.2 Objektsprachliche Aufgaben
4.2.1 Aufgabe mit prädikativem und funktionalem Lösungsweg
4.2.2 Aufgabe mit Vorteilen für einen Denktyp
4.2.3 „Darstellungs“-Aufgabe
4.2.4 Beweisaufgabe
4.3 Metasprachliche Aufgaben
4.3.1 Umgang mit metasprachlichen Regeln
4.3.2 Verschiedene „Schwierigkeitsstufen“ von metasprachlichen Regeln
4.4 Zur Konstruktion der Termumformungsaufgaben
5. QUALITATIVE AUSWERTUNG
5.1 Auswertung der Musterergänzungsaufgaben
5.1.1 Diagnosebeispiel 1
5.1.2 Diagnosebeispiel 2
5.1.3 Diagnosebeispiel 3
5.1.4 Bevorzugte kognitive Strukturen der Versuchspersonen
5.2 Analyse einer objektsprachlichen Aufgabe
5.2.1 Anlaß
5.2.2 Mögliche Lösungswege
5.2.3 Idee der Aufgabe
5.2.4 Transkripte von Julia und Lara
5.2.5 Beschreibung und Analyse der Vorgehensweise
5.2.6 Ergebnis
5.3 Beweisaufgabe
5.4 „Darstellungs“-Aufgabe
5.5 Analyse einer metasprachlichen Aufgabe
5.5.1 Anlaß
5.5.2 Möglicher Lösungsweg
5.5.3 Idee der Aufgabe
5.5.4 Schwierigkeit der Aufgabe
5.5.5 Transkripte von Christina und Gaby
5.5.6 Beschreibung und Analyse der Vorgehensweise
5.5.7 Ergebnis
5.6 Vorlieben der Versuchspersonen
6. QUANTITATIVE AUSWERTUNG
6.1 Häufigkeit der Benutzung prädikativer und funktionaler Regeln
6.2 Lösungszeiten der objekt- und metasprachlichen Aufgaben
7. SCHLUßBEMERKUNG
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht den Einfluss individueller kognitiver Strukturen auf die mentale Repräsentation von Termumformungen bei Schülern. Die zentrale Forschungsfrage ist, wie sich die von Schwank postulierte Unterscheidung zwischen prädikativem und funktionalem Denken in den kognitiven Prozessen beim Umgang mit mathematischen Kalkülen niederschlägt.
- Theorie der prädikativen versus funktionalen kognitiven Strukturen nach Schwank
- Einsatz objektsprachlicher und metasprachlicher Kalkülaufgaben zur Diagnose kognitiver Präferenzen
- Qualitative Analyse von verbalen Äußerungen und Lösungsstrategien der Versuchspersonen
- Anwendung des Resonanzeffekts zwischen äußerer Repräsentationsform und innerer Struktur
Auszug aus dem Buch
2.2 Prädikative versus funktionale kognitive Struktur
Schwank postuliert die Existenz zweier unterschiedlicher Denkstrukturen. Sie unterscheidet zwischen einer prädikativen und einer funktionalen kognitiven Struktur und geht davon aus, daß bei jedem Individuum eine Präferenz für eine der beiden Strukturen vorhanden ist oder vielmehr sich im Laufe der Zeit entwickelt hat. „Bei der Anwendung einer prädikativen kognitiven Struktur“ spricht Schwank „von einem prädikativem Denken, dieses ist ein Denken in Beziehungen und Urteilen, bei Anwendung einer funktionalen kognitiven Struktur [spricht sie] von einem funktionalen Denken, dieses ist ein Denken in Handlungsfolgen und Wirkungsweisen“. Dabei geht es um die Frage, in welcher Art und Weise ein Problem kognitiv erfaßt wird. Bei der Unterscheidung zwischen prädikativ und funktional geht es nicht „um einen Unterschied in der Sache, sondern um einen Unterschied in den individuellen Vorstellungen, welche von einer Sache erzeugt werden“. Man könnte es als zwei unterschiedliche Sichtweisen ein und derselben Sache beschreiben.
Ein gutes Beispiel, wie man dieselbe Sache unterschiedlich sehen kann, gibt Schwank mit dem Vergleich zweier Textstücke von Fontane und Goethe. Bei beiden Schriftstellern beschreibt eine Person den Raum, den sie betritt.
Zusammenfassung der Kapitel
1. EINLEITUNG: Einführung in die Thematik der Termumformung als mathematisches Problemfeld und Vorstellung des Forschungsziels, die kognitiven Prozesse bei deren Bearbeitung zu untersuchen.
2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN: Detaillierte Darlegung der Theorie prädikativer versus funktionaler kognitiver Strukturen und deren Bedeutung für das mathematische Problemlösen.
3. EXPERIMENTELLE DURCHFÜHRUNG: Beschreibung des Versuchsaufbaus, der Auswahl der Versuchspersonen sowie der technischen und methodischen Umsetzung der klinischen Interviews.
4. AUFGABEN: Vorstellung und Erläuterung der verschiedenen Aufgabentypen, inklusive der Unterscheidung zwischen Musterergänzungs-, objektsprachlichen und metasprachlichen Aufgaben.
5. QUALITATIVE AUSWERTUNG: Analyse der von den Schülern gezeigten Vorgehensweisen und verbalen Äußerungen während der Bearbeitung der unterschiedlichen Aufgabentypen.
6. QUANTITATIVE AUSWERTUNG: Untersuchung der Lösungszeiten und der Häufigkeit von Regelauswahlen, um objektive Indikatoren für kognitive Strukturen zu identifizieren.
7. SCHLUßBEMERKUNG: Fazit zur Anwendbarkeit der untersuchten Methoden und Ausblick auf zukünftige Forschungsrichtungen.
Schlüsselwörter
Kognitive Struktur, Prädikatives Denken, Funktionales Denken, Termumformung, Mentale Repräsentation, Mathematikdidaktik, Kalkül, Resonanzthese, Problemlösen, Musterergänzungsaufgabe, Objektsprache, Metasprache, Kognitionspsychologie, Pilotstudie, Lernprozesse.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit untersucht, wie unterschiedliche kognitive Denkstrukturen – prädikativ und funktional – die Art und Weise beeinflussen, wie Schüler mathematische Termumformungen mental repräsentieren und lösen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Theorie der kognitiven Strukturen nach Schwank, der mathematischen Didaktik von Kalkülen sowie der experimentellen Überprüfung dieser Konzepte durch spezifische Testaufgaben.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, Erkenntnisse darüber zu gewinnen, ob sich die bevorzugte kognitive Struktur eines Schülers durch eine Analyse seines Problemlöseverhaltens bei speziellen Testaufgaben bestimmen lässt.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden klinische Interviews durchgeführt, bei denen Schüler objekt- und metasprachliche Aufgaben am Computer bearbeiten, wobei sowohl verbale Äußerungen als auch das Lösungsverhalten (in Protokolldaten) qualitativ und quantitativ analysiert werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine theoretische Fundierung, die Beschreibung des Versuchsdesigns, die Kategorisierung der Aufgaben, eine tiefgehende qualitative Fallanalyse sowie eine quantitative Auswertung der Lösungsdaten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind prädikatives versus funktionales Denken, Termumformungen, mentale Repräsentation, kognitive Strategien, Kalküle und Resonanzthese.
Was ist der Unterschied zwischen objektsprachlichen und metasprachlichen Aufgaben?
Objektsprachliche Aufgaben basieren auf direkten Symbolveränderungen in einem Thue-System, während metasprachliche Aufgaben Abkürzungen für Eigenschaften verwenden und den Schüler zu abstrakteren, prädikativen Überlegungen zwingen sollen.
Welches Fazit zieht die Autorin zur quantitativen Auswertung?
Die quantitative Auswertung von Lösungszeiten und Regelfrequenzen erwies sich in der Pilotstudie als problematisch und nicht hinreichend aussagekräftig, da zu viele individuelle Faktoren die Bearbeitung beeinflussen.
- Quote paper
- Marion Lübbers (Author), 1999, Individuelle Unterschiede in der mentalen Repräsentation des Umgangs mit Kalkülen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/80436
