Wittgenstein hat seine Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik nicht so weit ausgearbeitet, dass er sie selbst zur Veröffentlichung vorgesehen hätte. Seinen vormaligen Plan seine Philosophie der Mathematik in die Philosophischen Untersuchungen zu integrieren, hat Wittgenstein nicht umgesetzt.
Die wörtliche Entsprechung zwischen PU Paragraph 189 und BGM I Paragraph 1 lässt die BGM dennoch als homogene Anschlussmöglichkeit an PU Paragraph 188 erscheinen. Ansatzpunkt zum Einstieg in die BGM soll deshalb das in PU Paragraph 185. behandelte Problem des devianten Schülers sein, dessen Bezug auf die Regelfolgenproblematik den gedanklichen Rahmen für Wittgensteins Philosophie der Mathematik bildet.
In der Hinführung auf PU 185 beschreibt Wittgenstein ein typisches Lehr-Lern-Szenario: Ein Schüler bekommt die Grundzahlenreihe beigebracht. D.h. der Schüler kann die Folge der natürlichen Zahlen (Wittgenstein betrachtet stets endliche natürliche Zahlen und nennt sie Kardinalzahlen) aufschreiben: 1, 2, 3, 4, 5, .... Zunächst bis 10, dann bis 100, dann bis 1000. Damit, so glaubt der Lehrer, hat sein Schüler einen großen gedanklichen Schritt getan, sein Schüler habe das System des Zählens verstanden, habe begriffen, dass das Zählen (in gleicher Weise) unendlich weitergeht.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 ›Verstehen‹ und ›Beherrschen‹
2 Deviantes Verhalten
2.1 Kardinal oder ordinal?
2.2 Standards für richtiges und falsches Zählen
2.3 Wie ›zählt‹ der deviante Schüler?
2.4 Zur Falschheit des devianten Schülers
2.5 Rationalitätskonforme Handlungsoptionen des Lehrers
3 Wie man ›+2‹ meinen kann
3.1 Wenn ... dann hätte ...
4 Anthropologische Argumente
4.1 Das Kriterium des Meinens ist sein ständiger Gebrauch
5 Wie weiß ich ...
5.1 ... dass diese Farbe ›rot‹ ist?
5.2 ... dass an dieser Stelle ›2‹ ›die gleiche Ziffer‹ ist?
5.3 ... dass ich keinen Zweifel habe, wenn die Frage an mich herantritt?
6 Philosophie der Mathematik
6.1 ›Unerbittlichkeit‹
6.2 ›Wahrheit‹
7 Zusammenfassung
8 Analogien
9 Norm und Ideal
10 Schließen
11 ›Lässt‹
12 Was sich vermittels einer Regel ableiten lässt
13 Exkurs: ›Verlegte‹ Ofenrohre
14 ›Alle‹
15 Wie überzeugt man davon, dass ›− × − = +‹?
16 ›Müssen‹ und ›folgen‹
17 Zur Vorgehensweise im Seminar
17.1 Gegen welche Argumente müsste sich eine abweichende Seminarpraxis verteidigen?
17.2 Welche Argumente könnten für ein deviantes Vorgehen angeführt werden?
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit befasst sich mit Wittgensteins Philosophie der Mathematik, insbesondere seiner Auseinandersetzung mit dem Regelbefolgen, dem mathematischen Verständnis und dem devianten Verhalten bei arithmetischen Aufgaben. Die zentrale Forschungsfrage untersucht, wie mathematische Regeln verstanden werden, ob eine eindeutige Interpretation möglich ist und inwiefern der „Gebrauch“ einer Regel als konstitutiv für deren Bedeutung und mathematische Wahrheit angesehen werden kann.
- Regelfolgen und das Problem der Bestimmtheit
- Anthropologische Grundlagen des mathematischen Verstehens
- Die Rolle der „Unerbittlichkeit“ und „Wahrheit“ in der Arithmetik
- Analogiebildungen bei der mathematischen Erkenntnis
- Kritik an mentalistischen Deutungen des Verstehens
Auszug aus dem Buch
1 Einleitung
Wittgenstein hat seine Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik nicht so weit ausgearbeitet, dass er sie selbst zur Veröffentlichung vorgesehen hätte. Seinen vormaligen Plan seine Philosophie der Mathematik in die Philosophischen Untersuchungen zu integrieren, hat Wittgenstein nicht umgesetzt.
Die wörtliche Entsprechung zwischen PU §189 und BGM I §1 lässt die BGM dennoch als homogene Anschlussmöglichkeit an PU §188 erscheinen. Ansatzpunkt zum Einstieg in die BGM soll deshalb das in PU §185 ff. behandelte Problem des devianten Schülers sein, dessen Bezug auf die Regelfolgenproblematik den gedanklichen Rahmen für Wittgensteins Philosophie der Mathematik bildet.
In der Hinführung auf PU §185 beschreibt Wittgenstein ein typisches Lehr-Lern-Szenario: Ein Schüler bekommt die Grundzahlenreihe beigebracht. D.h. der Schüler kann die Folge der natürlichen Zahlen (Wittgenstein betrachtet stets endliche natürliche Zahlen und nennt sie ›Kardinalzahlen‹) aufschreiben: »1, 2, 3, 4, 5, ...«. Zunächst bis 10, dann bis 100, dann bis 1000. Damit, so glaubt der Lehrer, hat sein Schüler einen großen gedanklichen Schritt getan, sein Schüler habe das System des Zählens verstanden, habe begriffen, dass das Zählen (in gleicher Weise) unendlich weitergeht.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in das Thema anhand des „devianten Schülers“ und dessen Bezug zu Wittgensteins Regelfolgenproblematik.
2 Deviantes Verhalten: Untersuchung, wie ein Schüler durch abweichendes Zählverhalten den Lehrer herausfordert und welche Interpretation dieses Verhaltens möglich ist.
3 Wie man ›+2‹ meinen kann: Diskussion, wie Regeln festgelegt werden und ob ein „Meinen“ die künftige Anwendung einer Regel determinieren kann.
4 Anthropologische Argumente: Analyse, wie Erziehung und Bestimmtheit durch ständigen Gebrauch das mathematische Handeln formen.
5 Wie weiß ich ...: Verlagerung der Perspektive vom intersubjektiven Regelfolgen auf das intrasubjektive Wissen und die Gewissheit.
6 Philosophie der Mathematik: Hinterfragung der „Unerbittlichkeit“ mathematischer Reihen und des Wahrheitsbegriffs.
7 Zusammenfassung: Kurzer Rückblick auf die Suche nach einer nicht anthropologisch bestimmten Unerbittlichkeit der Mathematik.
8 Analogien: Verwendung von Mess-Analogien, um das Problem des Konflikts zwischen Messmethode und Wahrheit zu beleuchten.
9 Norm und Ideal: Differenzierung zwischen normativen Praktiken und einem idealen mathematischen Verständnis.
10 Schließen: Untersuchung des Vorgangs des Schlussfolgerns als Übergang von einer Behauptung zur nächsten.
11 ›Lässt‹: Analyse des ambigen Begriffs „lassen“ im Kontext der Ableitbarkeit von Sätzen.
12 Was sich vermittels einer Regel ableiten lässt: Diskussion darüber, ob tatsächlich alles aus einer Regel ableitbar ist.
13 Exkurs: ›Verlegte‹ Ofenrohre: Ein philosophischer Exkurs über die Bedeutung des Begriffs „verlegt“ und dessen sprachliche Verwendung.
14 ›Alle‹: Untersuchung der Bedeutung des Wortes „alle“ und dessen Abhängigkeit von der Praxis.
15 Wie überzeugt man davon, dass ›− × − = +‹?: Philosophische Einordnung der doppelten Verneinung und der Multiplikation negativer Zahlen.
16 ›Müssen‹ und ›folgen‹: Zusammenfassung der normativen Momente beim Schlussfolgern.
17 Zur Vorgehensweise im Seminar: Reflexion über die eigene Seminarpraxis und die Verteidigung eines devianten Vorgehens.
Schlüsselwörter
Wittgenstein, Mathematikphilosophie, Regelfolgen, deviant, Kardinalzahlen, Bestimmtheit, anthropologisch, Unerbittlichkeit, Wahrheit, Gebrauch, Schlussfolgern, Arithmetik, Normativität, Regelbefolgung, Semantik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit analysiert Wittgensteins Philosophie der Mathematik mit einem besonderen Fokus auf die Problematik des Regelfolgens, dargestellt anhand des Beispiels eines Schülers, der arithmetische Reihen auf eine Weise fortsetzt, die von der Norm abweicht.
Was sind die zentralen Themenfelder der Analyse?
Die zentralen Themen sind das Verständnis von Regeln, die Rolle von Erziehung und Gebrauch, der Wahrheitsbegriff in der Mathematik sowie die Frage, wie Bestimmtheit im mathematischen Handeln entsteht.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, Wittgensteins Argumentation gegen mentalistische Begriffe des „Verstehens“ aufzuzeigen und zu untersuchen, wie Mathematik durch sozio-anthropologische Faktoren sowie durch den alltäglichen Gebrauch von Regeln konstituiert wird.
Welche wissenschaftliche Methode wird in dieser Publikation verwendet?
Die Arbeit nutzt eine philosophisch-analytische Methode, die sich eng an Wittgensteins Texte wie die „Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik“ und die „Philosophischen Untersuchungen“ anlehnt, ergänzt durch eine pädagogische Seminar-Reflexion.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden verschiedene Szenarien des Regelverstoßes durchgespielt, der Begriff der Wahrheit in Bezug auf mathematische Operationen kritisch hinterfragt und die Analogie zwischen Messverfahren und mathematischer Schlusslogik untersucht.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Regelfolgen, deviantes Zählen, anthropologische Bestimmtheit, Unerbittlichkeit der Mathematik, der Gebrauch von Zeichen und die normative Kraft der logischen Schlussfolgerung.
Wie unterscheidet der Autor zwischen Kardinal- und Ordinalzahlen bei Wittgenstein?
Der Autor greift Wittgensteins Unterscheidung auf, wobei Kardinalzahlen die Anzahl bestimmen (Wie viele?), während Ordinalzahlen die Position in einer festen Reihe festlegen (An welcher Stelle?).
Welche Rolle spielt das „Ofenrohr“-Beispiel für das Verständnis der Arbeit?
Das „Ofenrohr“-Beispiel dient als Exkurs, um linguistische Mehrdeutigkeiten und den Gebrauch von Begriffen in der Sprache aufzuzeigen, was verdeutlicht, wie sich Bedeutung durch kontextuellen Gebrauch statt durch starre Definitionen ergibt.
Was schlussfolgert der Autor hinsichtlich der Seminarpraxis?
Der Autor argumentiert, dass eine „abweichende“ oder unorthodoxe Seminarpraxis, die zum kritischen Nachdenken anregt, eine wertvolle Ergänzung zum reinen Studium von Lehrtexten darstellt, da sie das Philosophieren als aktiven Prozess fördert.
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- Magister Artium Markus Szczesny (Author), 2006, Wittgensteins Philosophie der Mathematik - Ein philosophisches Lerntagebuch zu PU §185-188 und BGM I §1-12, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/55113
