Der berühmte Unvollständigkeitssatz von Gödel, demzufolge in hinreichend starken formalen Systemen notwendig Aussagen existieren, die weder beweisbar noch unbeweisbar sind, spielt für die moderne Mathematik kaum eine Rolle. Man möchte meinen, jener Satz hätte das Potential, einen Grundlagenstreit permanent brennen zu lassen, einen Grundlagenstreit, der die Formalisierung und Axiomatisierung der Mathematik wiederum angreift, etwa im Namen eines verlorengegangenen Gegenstandsbezuges.
Nun, gerade die Anwendungen sind kaum an einem Grundlagenstreit interessiert, solange die Mathematik als Hilfswissenschaft effektiv bleibt und das tut sie offensichtlich: Flugzeuge und Raketen fliegen, Tunnel und Brücken stürzen relativ selten ein, wen kümmert da noch die Frage, ob das Unendliche existiert? Ohne Zweifel ist die Mathematik effektiv darin, „im anschaulichen Kontinuum verborgene Eigenschaften des Kontinuierlichen [...] zu erfassen.“ Das Unendliche aber ist schon ein integraler Begriff im Raum der reellen Zahlen. In diesem Sinne dürfte die Rede von der Mathematik als einer axiomatischen Wissenschaft heute schlicht Gemeinplatz sein; die konventionelle oder fast schon traditionelle Definition der Zahl ist dann eben genau das, was die Axiome in sich logisch vorgeben. Ein Intervall zwischen zwei natürlichen Zahlen beispielsweise umfasst so gemäß dem Vollständigkeitsaxiom unendlich viele reelle Zahlen usw. Schon eher in Vergessenheit dürfte dabei geraten, dass die Zahl in der Mathematik erst um die Wende zum 20. Jahrhundert die Größe abgelöst hat; und dies bezeichnenderweise zum in etwa gleichen Zeitpunkt, an dem der Siegeszug der Mengenlehre, an sich also einer Theorie des Unendlichen, begann. Die Mengenlehre aber wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu einem umfassenden Aussagerahmen für die gesamte Mathematik überhaupt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Gegenstandsbezug und Anwendungsorientierung
2.1 Anschauung und Gegenstand
2.2 Anschauung im Widerstreit
2.2.1 Logizismus
2.2.2 Pragmatismus
2.3 Naturalismus und Prozess
3 Anschauung und Mengenlehre
3.1 Naivität, Paradoxien und Antinomien
3.2 Axiomatische Mengenlehre
3.3 Konstruktive Mengenlehre
3.3.1 Zwiespältige mathematische Erfahrungen
3.3.2 Zum Weder-Noch von Unendlichkeit und Endlichkeit
3.3.3 Zählen und Diskurs
4 Fazit und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht das Spannungsverhältnis zwischen dem Gegenstandsbezug in der Mathematik und der zunehmenden Formalisierung durch die Mengenlehre. Dabei steht die zentrale Forschungsfrage im Mittelpunkt, ob Kants philosophischer Begriff der Anschauung – in einer aktualisierten Form durch Johannes Lenhard – auch innerhalb der modernen mathematischen Forschung noch Ansatzpunkte für eine Rechtfertigung des Gegenstandsbezuges bietet.
- Kants Philosophie der Mathematik und der Begriff der Anschauung
- Die historische Entwicklung der Mengenlehre (naiv, axiomatisch, konstruktiv)
- Das Spannungsfeld zwischen formalen Systemen und mathematischer Erkenntnis
- Der Übergang von der Suche nach metaphysischen Grundlagen zur mathematischen Praxis
- Die Rolle der konstruktiven Mengenlehre als kritische Außenseiterposition
Auszug aus dem Buch
3.1 Naivität, Paradoxien und Antinomien
Vor allen Ausführungen zur Geschichte der Mengenlehre darf vorausgeschickt werden, dass „die philosophische Grundfrage [...] nach der Existenz und der Natur mathematischer Gegenstände“ im Raum der Mengenlehre allein nicht gelöst werden kann. Auch das Problem der Unendlichkeit selbst bleibt ungelöst.
Auf den ersten Blick mag die Fragestellung der vorliegenden Arbeit demnach dazu verurteilt sein, sich in Aporien zu verlaufen. Bei genauerem Hinsehen jedoch ist dem nicht so, da die Fragestellung ja lautet, ob für Lenhards Position Ansatzpunkte in der Mengenlehre zu finden seien. Nachdem Lenhards Position nun nicht daran interessiert ist, eine fixierte Auffassung von Anschauung durchzusetzen, sondern Letztere vielmehr an die Entwicklung der mathematischen Forschung binden möchte, geht es weniger um die Lösung der genannten philosophischen Grundfragen, als vielmehr um Momente, an denen jene Fragen im Rahmen der Forschung überhaupt aufleuchten.
Oben (Kap. 1) wurde bereits festgestellt, dass die Mengenlehre etwa zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu einem umfassenden Aussagerahmen der Mathematik überhaupt avancierte. Dies war offensichtlich nur möglich, weil die zunächst von Cantor begründete sog. naive Mengenlehre einer fortschreitenden und umfassenden Formalisierung, sprich: Axiomatisierung, unterzogen wurde.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in das Spannungsfeld zwischen dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz, dem Grundlagenstreit in der Mathematik und dem Siegeszug der Mengenlehre als umfassendem Aussagerahmen ein.
2 Gegenstandsbezug und Anwendungsorientierung: Dieses Kapitel analysiert Kants Begriff der Anschauung im Kontext der Erkenntnistheorie und diskutiert seine Bedeutung für die Rettung des Gegenstandsbezuges in der Mathematik durch Johannes Lenhards Aktualisierung.
3 Anschauung und Mengenlehre: Der Hauptteil untersucht die historische Entwicklung der Mengenlehre von naiven Anfängen über die axiomatische Absicherung bis hin zu konstruktiven Strömungen unter dem Aspekt, ob sie noch Raum für Kants Anschauungsbegriff lassen.
4 Fazit und Ausblick: Das Fazit resümiert, dass die Mengenlehre der Anschauung zugunsten einer systeminternen Optimierung weitgehend ausweicht, während die konstruktive Mengenlehre als eine notwendige kritische Außenseiterposition bestehen bleibt.
Schlüsselwörter
Anschauung, Gegenstandsbezug, Mengenlehre, Axiomatik, Konstruktivismus, Kants Philosophie der Mathematik, Grundlagenforschung, Formalisierung, Unendlichkeit, mathematische Erkenntnis, Systemoptimierung, Intuitionismus, mathematische Erfahrung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht das philosophische Verhältnis zwischen mathematischer Anschauung und dem formalen System der Mengenlehre.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zu den Kernpunkten gehören Kants Erkenntnistheorie, die Geschichte der Mengenlehre sowie die aktuelle Debatte über die Grundlagen der mathematischen Disziplinen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist herauszufinden, ob moderne mathematische Ansätze – speziell in der Mengenlehre – den klassischen Kantischen Begriff der Anschauung noch stützen oder ob dieser durch formale Verfahren vollständig ersetzt wurde.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine wissenschaftstheoretische Analyse, die historische Positionen (wie die von Kant, Cantor, Hilbert, Brouwer) aufgreift und anhand aktueller Interpretationen wie der von Johannes Lenhard bewertet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert die Entwicklung der Mengenlehre in drei Stufen: die naive Mengenlehre, die axiomatische Mengenlehre (ZF) und die konstruktive Mengenlehre.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind Anschauung, Mengenlehre, Axiomatik, Konstruktivismus, Gegenstandsbezug und Grundlagenforschung.
Wie unterscheidet sich die axiomatische von der konstruktiven Mengenlehre in dieser Arbeit?
Die axiomatische Mengenlehre wird als ein System der Optimierung zur Vermeidung von Antinomien dargestellt, während die konstruktive Mengenlehre als eine Außenseiterposition begriffen wird, die den mathematischen Prozess selbst stärker in den Fokus rückt.
Welche Bedeutung kommt der "konstruktiven Mengenlehre" am Ende zu?
Sie wird als ein Beispiel für eine subversive Haltung innerhalb der Mathematik interpretiert, die sich der Selbstverständlichkeiten ihrer eigenen Objektkonstituierungen stets bewusst bleibt.
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- Marcel Pilgermann (Author), 2014, System versus Gegenstandsbezug oder kann die Mengenlehre auf Dauer der Anschauung ausweichen?, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/429037
