Ziel dieser Arbeit ist ein Vergleich der Konzeptionen von Sätzen der Geometrie und Arithmetik bei Immanuel Kant und Gottlob Frege. Gemeinsam ist den jeweiligen Konzeptionen, dass Sätze der Mathematik als Urteile a priori und damit unabhängig von Erfahrung erfolgen. Bezüglich der Geometrie gehen sowohl Kant als auch Frege davon aus, dass es sich bei Sätzen selbiger um synthetische Urteile a priori handelt, denen die räumliche Anschauung zugrunde liegt.
Ihre Konzeptionen unterscheiden sich allerdings in Bezug auf die Arithmetik. Kant zufolge sind auch die Sätze der Arithmetik synthetische Urteile a priori, denen die Zeit als Anschauung zugrunde liegt. Frege hingegen argumentiert für eine Theorie von Sätzen der Arithmetik als analytischen Urteilen a priori, weil sie seiner Ansicht nach aus der Logik abzuleiten sind.
Gegenstand der folgenden Untersuchungen ist bezüglich des ersten Teils, Kants Argumentation soweit nachzuvollziehen, dass verständlich wird, warum er Sätze der Mathematik, also sowohl der Geometrie als auch der Arithmetik, als synthetische Urteile a priori ansieht. Dabei müsste man jedoch, um diesem Gegenstand gerecht zu werden, weit über die herangezogenen Stellen hinausgehen und dies nicht nur innerhalb der Kritik der reinen Vernunft, sondern neben weiteren Schriften Kants auch in der Geschichte der Mathematik zumindest bis zu Euklid zurückgehen, was hier allerdings im Rahmen dieser Hausarbeit kaum möglich sein wird.
Im zweiten Teil geht es schließlich um Freges Auseinandersetzung mit Kant in Bezug auf Sätze der Geometrie und Arithmetik, wobei sich der Autor ebenfalls auf einige ausgewählte Stellen beschränken wird. Denn für diesen Teil gilt ebenfalls, dass eine – dem Gegenstand in der gebotenen Ausführlichkeit – angemessene Analyse die dafür relevanten Bereiche der Philosophiegeschichte und der Geschichte der Mathematik berücksichtigen müsste.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1. Kant über Sätze der Geometrie und Arithmetik
1.1 Geometrie
1.2 Arithmetik
2. Frege über Sätze der Geometrie und Arithmetik und die Auseinandersetzung mit Kant
2.1 Geometrie
2.2 Arithmetik
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit vergleicht die mathematikphilosophischen Konzeptionen von Immanuel Kant und Gottlob Frege, insbesondere im Hinblick auf den Status mathematischer Sätze als synthetische oder analytische Urteile a priori. Die zentrale Forschungsfrage untersucht dabei, warum Kant die Geometrie und Arithmetik als synthetische Urteile auf der Basis reiner Anschauung verortet und wie Frege diese Position kritisch hinterfragt, indem er für eine analytische Begründung der Arithmetik argumentiert.
- Kants Auffassung von Mathematik als synthetische Erkenntnis a priori
- Die Rolle der reinen Anschauung (Raum und Zeit) bei Kant
- Freges logizistischer Gegenentwurf zur Arithmetik
- Kritische Analyse von Freges Auseinandersetzung mit Kants Position
Auszug aus dem Buch
1. Kant über Sätze der Geometrie und Arithmetik
Kant schränkt den Mathematik-Begriff auf die reine Mathematik ein – es geht ihm dabei nicht um die empirische, sondern um die „bloß reine Erkenntnis a priori“. „Das Wesentliche und Unterscheidende der reinen mathematischen Erkenntnis von aller anderen Erkenntnis a priori ist, daß sie nicht aus Begriffen, sondern jederzeit nur durch die Konstruktion der Begriffe [...] vor sich gehen muß.“ Die Sätze der Mathematik entstehen also nicht „durch Zergliederung der Begriffe“, d. h. durch Begriffsanalyse, weshalb sie nicht analytisch, sondern synthetisch sind.
Sätze der Mathematik sind, wie aus diesen zitierten Textstellen hervorgeht, also synthetische Urteile a priori, sie erfolgen damit vor aller Erfahrung (a priori); zudem ist das Prädikat nicht bereits im Subjekt enthalten, wie bei analytischen Urteilen, sondern es handelt sich bei einem synthetischen Urteil um ein Erweiterungsurteil.
Analytische Urteile erfolgen dabei nach dem Prinzip der Widerspruchsfreiheit, d. h. die Zuschreibung eines Prädikats zu einem Begriff als Subjekt darf nicht zu einem Widerspruch führen. Als Beispiel für ein solches analytisches Urteil a priori nennt Kant u. a. „alle Körper sind ausgedehnt“. Würde man diesen Satz verneinen, also behaupten, dass kein Körper ausgedehnt ist, so würde dies deshalb zu einem Widerspruch führen, weil die Ausgedehntheit als Prädikat, Kant zufolge, bereits im Begriff des Körpers angelegt ist und wir keine Körper ohne Ausgedehntheit denken können.
Synthetische Urteile a priori hingegen können nicht nach dem Satz des Widerspruchs als Prinzip erfolgen, wobei jedoch ein synthetisches Urteil a priori, Kant zufolge, aus einem anderen solchen abgeleitet werden kann, sondern damit ein solches Urteil erfolgen kann, ist die reine Anschauung erforderlich.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Diese Einleitung skizziert den Vergleich zwischen Kants und Freges mathematikphilosophischen Konzeptionen und definiert die Fragestellung bezüglich synthetischer bzw. analytischer Urteile a priori.
1. Kant über Sätze der Geometrie und Arithmetik: Dieses Kapitel erläutert Kants These, dass mathematische Sätze synthetische Urteile a priori sind, die eine Konstruktion in der reinen Anschauung erfordern.
1.1 Geometrie: Hier wird dargelegt, wie Kant die Geometrie als Konstruktion von Begriffen im Raum als reiner Anschauungsform begreift.
1.2 Arithmetik: Dieses Kapitel untersucht Kants Argumentation, dass auch arithmetische Sätze synthetisch sind, wobei die Zeit als Form der Anschauung bei der sukzessiven Hinzusetzung von Einheiten fungiert.
2. Frege über Sätze der Geometrie und Arithmetik und die Auseinandersetzung mit Kant: Dieser Abschnitt analysiert Freges Kritik an Kant und seine eigene Theorie, die Arithmetik als analytisch zu begründen.
2.1 Geometrie: Das Kapitel behandelt Freges Zustimmung zur synthetischen Natur geometrischer Axiome und seine Abgrenzung gegenüber logischen Urgesetzen.
2.2 Arithmetik: Hier wird Freges logizistisches Programm dargestellt, das darauf abzielt, arithmetische Wahrheiten rein aus den Gesetzen des Denkens abzuleiten.
Schlüsselwörter
Immanuel Kant, Gottlob Frege, synthetische Urteile a priori, analytische Urteile, reine Anschauung, Raum, Zeit, Mathematikphilosophie, Logizismus, Arithmetik, Geometrie, Begriffsanalyse, Erkenntnistheorie, Zahlbegriff, synthetische Erweiterung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit vergleicht die unterschiedlichen Auffassungen von Immanuel Kant und Gottlob Frege über die Natur mathematischer Sätze.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die Erkenntnistheorie der Mathematik, die Unterscheidung zwischen analytischen und synthetischen Urteilen sowie die Rolle der Anschauung.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, Kants Begründung der Mathematik als synthetische Urteile a priori nachzuvollziehen und Freges kritische Auseinandersetzung damit zu analysieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt die philosophiegeschichtliche Analyse und Interpretation primärer Textquellen von Kant und Frege.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert detailliert Kants Verständnis von Geometrie und Arithmetik sowie Freges logizistische Gegenposition.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Apriorität, synthetische Urteile, reine Anschauung, Logizismus und Zahlbegriff charakterisiert.
Warum hält Kant die Arithmetik für synthetisch?
Weil bei arithmetischen Operationen, wie etwa 7 + 5 = 12, eine Erweiterung des Begriffs stattfindet, die ohne die Anschauung in der Zeit nicht möglich wäre.
Wie bewertet der Autor Freges Kritik an Kant?
Der Autor kommt zu dem Schluss, dass Freges Kritik an Kant in Teilen als unberechtigt und sachlich falsch einzustufen ist.
Welche Rolle spielt die Geometrie für beide Philosophen?
Beide stimmen darin überein, dass geometrische Axiome synthetisch sind, wobei Frege die Notwendigkeit der Anschauung des Euklidischen Raums betont.
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- Christian Dörnte (Author), 2016, Sätze der Geometrie und Arithmetik. Immanuel Kant und Gottlob Frege im Vergleich, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/353734
