Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Ruinwahrscheinlichkeiten in Risikomodellen. Die Bestimmung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten ist Gegenstand der Ruintheorie, die ein Teilgebiet der Risikotheorie darstellt. Im Gegensatz zur Lebensversicherungsmathematik beschäftigt sich die Risikotheorie mit Sachversicherungen. Deshalb wird sie auch als Sach- oder Nichtlebens-Versicherungsmathematik bezeichnet. Kennzeichnend für Sachversicherungen ist die zufällige Anzahl, die zufällige Höhe sowie das zufällige Eintreten von Schäden. Dies führt zur Notwendigkeit, anspruchsvolle mathematische Modelle zu entwickeln und zu beschreiben. Die Ruintheorie kann somit auch als eine spezielle Theorie stochastischer Prozesse angesehen werden. Das zweite Kapitel des vorliegenden Textes stellt eine allgemeine Hinführung zum Thema dar. Es wird zuerst das diskrete und dann das stetige Risikomodell betrachtet. Im Rahmen dieser zwei Modelle werden die grundlegenden Größen definiert und erklärt, angefangen von der Beschreibung des Risikoreserveprozesses bis hin zur Definition der Ruinwahrscheinlichkeit. Im dritten Kapitel wird das so genannte klassische Risikomodell eingeführt. Wir halten uns dabei im Wesentlichen an das Buch „Stochastic Processes for Insurance and Finance“ von Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels. Das eingeführte Modell wird üblicherweise für Berechnungen in der Praxis herangezogen. Es lässt sich durch folgende vier Annahmen grob skizzieren: 1. Man geht von einer Poisson-verteilten Schadensanzahl aus. 2. Die Schäden werden durch eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen beschrieben. 3. Die Schadensanzahl und die Schäden sind unabhängig voneinander. 4. Prämien werden konstant gezahlt. Nach allgemeinen Betrachtungen über den Poisson-Prozess werden in diesem Kapitel Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebenswahrscheinlichkeit, dem Pendant zur Ruinwahrscheinlichkeit, angestellt sowie eine einfachere Darstellung dieser Wahrscheinlichkeiten ausgearbeitet. Der letzte Abschnitt des Kapitels beschäftigt sich schließlich mit Laplace-Transformationen der Wahrscheinlichkeiten. Anhand ausgewählter Beispiele wird gezeigt, dass diese eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit spielen. [...]
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einführende Untersuchungen
- Das diskrete Risikomodell
- Das stetige Risikomodell
- Das klassische Risikomodell
- Allgemeine Betrachtungen
- Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion (u)
- Eine andere Darstellung für die Ruinwahrscheinlichkeit (u)
- Laplace-Transformationen
- Das kollektive Risikomodell
- Allgemeine Betrachtungen
- Eine Darstellung für die Überlebenswahrscheinlichkeit Þ(t; u)
- Hilfsresultate aus der Irrfahrten-Theorie
- Die Ruinwahrscheinlichkeit nach dem Zeitpunkt t
- A Grundlagen
- Bedingte Erwartung
- Integration und Differentiation
- Konvergenzsätze
- Laplace-Transformation
- Der Transformationssatz für Integrale
- B Symbolverzeichnis
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten in verschiedenen Risikomodellen. Sie analysiert die mathematischen Grundlagen der Ruintheorie und untersucht verschiedene Modelle, die die Komplexität von Versicherungsrisiken widerspiegeln.
- Das diskrete und stetige Risikomodell
- Das klassische Risikomodell mit Poisson-verteilter Schadensanzahl
- Die Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion
- Die Anwendung von Laplace-Transformationen
- Das kollektive Risikomodell mit nicht Poisson-verteilter Schadensanzahl
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 bietet eine Einführung in die Thematik der Ruinwahrscheinlichkeiten und erläutert die Bedeutung der Risikotheorie für Sachversicherungen.
Kapitel 2 stellt das diskrete und stetige Risikomodell vor, definiert wichtige Größen und erklärt die grundlegenden Prozesse der Risikoentwicklung.
Kapitel 3 fokussiert auf das klassische Risikomodell, das für praktische Berechnungen verwendet wird. Es analysiert die Eigenschaften des Poisson-Prozesses und untersucht die Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion. Der Abschnitt über Laplace-Transformationen verdeutlicht deren Rolle bei der Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit.
Kapitel 4 verallgemeinert das klassische Modell auf eine nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl im Rahmen des kollektiven Risikomodells. Es betrachtet die endliche Überlebenswahrscheinlichkeit und leitet die Ruinwahrscheinlichkeit nach dem Zeitpunkt t ab. Die Arbeit fokussiert dabei auf exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit zentralen Themen der Ruintheorie, wie Ruinwahrscheinlichkeit, Risikomodell, Poisson-Prozess, Überlebensfunktion, Laplace-Transformationen, kollektives Risikomodell und nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl. Sie untersucht die mathematischen Grundlagen und Anwendungen dieser Konzepte im Kontext von Sachversicherungen.
- Arbeit zitieren
- Sabine Eppinger (Autor:in), 2004, Über die Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Risikomodell mit einer Verallgemeinerung auf nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/31651
