Die Bewertung von Derivaten spielt in der Finanzwirtschaft eine bedeutende Rolle, zumal Derivatemärkte bezüglich ihres globalen Handelsvolumens in den letzten Jahren erheblich gewachsen sind und damit die Aufmerksamkeit der Zentralbanken, Aufsichtsbehörden und supranationalen Finanzinstitute auf sich gezogen haben. Es besteht die Sorge, dass dieses ungebremste Wachstum an den Säulen des globalen Finanzsystems rütteln könnte, da sie exponentiell stärker wachsen als die Realwirtschaft. Derivate sind künstliche Finanzinstrumente.
Der zentrale Bestandteil der Bewertungstheorie von Derivaten ist es daher, das stochastische Modell der Preisbildung der zugrunde liegenden Underlyings abzuleiten. Im Rahmen dieser Arbeit steht die Annahme zeitstetiger Modelle zur Beschreibung von Wertapierpreisen und -renditen im Mittelpunkt. Diese im ersten Kapitel vorgestellten Preisprozesse werden in den darauf folgenden Kapiteln zur Ableitung der fairen, arbitragefreien Preise beliebiger Derivate (Aktien, Zinsen, Wechselkurse etc.) herangezogen. Anschließend wird das Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen hergeleitet und diskutiert. Das von Fischer Black und Myron Scholes im berühmten Artikel „The pricing of options and corporate liabilities“ veröffentlichte Black-Scholes-Modell gilt als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft, welches 1973 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet wurde.
Die Finanzindustrie erkannte sehr schnell den fundamentalen Durchbruch der Wissenschaftler, woraufhin sich das Modell als Standard etablierte. Im praktischen Teil der Arbeit werden im Kapitel 2.3 die Sensitivitätskennzahlen, die sog. „Griechen“ als Einflussfaktoren des Optionswertes vorgestellt und interpretiert. Eine kurze Zusammenfassung und ein Ausblick schließen die Arbeit im Kapitel 2.4 ab.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Theoretische Grundlagen stochastischer Prozesse
2.1 Zeitstetige stochastische Prozesse
2.2 Itô-Lemma
3 Modellierung von Aktienkursen
3.1 Lognormalverteilte Aktienkurse
3.2 Normalverteilte stetige Aktienrendite
4 Black-Scholes Optionsbewertungsmodell
4.1 Diskussion des Black-Scholes-Modells
4.2 Anwendungen des Black-Scholes-Modells
5 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen Herleitung und Anwendung zeitstetiger stochastischer Modelle zur fairen Bewertung von Derivaten unter Verwendung des Black-Scholes-Modells. Im Zentrum steht dabei die mathematische Beschreibung der Preisbildung von Underlyings sowie die Analyse der Sensitivitätskennzahlen für Optionspreise.
- Stochastische Grundlagen und Wiener-Prozesse
- Modellierung von Aktienkursen und Renditen
- Mathematische Herleitung des Black-Scholes-Modells
- Diskussion von Parametern und Volatilitätsmodellen
- Analyse der Sensitivitätskennzahlen (Griechen)
Auszug aus dem Buch
2.3.1.2 Black-Scholes Differentialgleichung
Die Ableitung der Black-Scholes Differentialgleichung erfolgt durch die Bildung einer risikolosen Position aus einer Option und einer Aktie. Dies ist insofern möglich, da beide Variablen von der gleichen zugrunde liegenden Quelle der Unsicherheit abhängen, nämlich den Schwankungen des Aktienkurses. Der Preis eines Derivates ist dadurch perfekt mit dem Kurs des Underlyings korreliert. Die geschaffene Position bleibt nur für einen sehr kurzen Zeitraum risikolos. Die Rendite einer solchen risikolosen Position muss jedoch immer dem risikolosen Zinssatz entsprechen, damit keine Arbitrage stattfindet (HULL, 2006, S. 355). Im Originalansatz der Herleitung der Black-Scholes-Formel wird eine Portfolioposition bestehend aus dem Verkauf einer Option und dem Kauf einer bestimmten Anzahl Aktien konstruiert, bei der die Gewinne und die Verluste sich gegenseitig ausgleichen, sodass der Gesamtwert des Portfolios am Ende mit Sicherheit bekannt ist.
Der Wert des Portfolios ergibt sich aus der Summe der beiden Positionen: V_t = -G_t + (∂G_t/∂P_t) * P_t
Formal leitet man den Preis G_t = G(P_t,t) eines Derivats unter Verwendung des Itô-Lemma und der Annahme, dass der Aktienpreis P_t einer geometrischen BROWNschen Bewegung aus der Gleichung folgt, ab.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Einleitung beleuchtet die steigende Bedeutung von Derivatemärkten und die Notwendigkeit stochastischer Modelle zur fairen Preisbildung.
2 Theoretische Grundlagen stochastischer Prozesse: Dieses Kapitel erläutert die mathematischen Grundlagen, insbesondere Wiener-Prozesse und das Itô-Lemma, als Basis für stetige Preismodelle.
3 Modellierung von Aktienkursen: Hier wird die geometrische BROWNsche Bewegung zur Modellierung von Aktienkursen und stetigen Renditen eingeführt.
4 Black-Scholes Optionsbewertungsmodell: Dieses Kapitel widmet sich der Herleitung, Diskussion und praktischen Anwendung des Black-Scholes-Modells zur Bewertung von Optionen.
5 Zusammenfassung: Die Arbeit schließt mit einem Rückblick auf die behandelten stochastischen Modelle und deren Nutzen für die Optionsbewertung und das Risikomanagement.
Schlüsselwörter
Derivate, Black-Scholes-Modell, Zeitstetige Modelle, Stochastische Prozesse, Wiener-Prozess, Itô-Lemma, Aktienkursmodellierung, Volatilität, Optionsbewertung, Griechen, Delta, Gamma, Theta, Omega, Finanzmarktökonometrie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Modellierung der Preisentwicklung von Derivaten unter Annahme zeitstetiger stochastischer Prozesse.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit konzentriert sich auf stochastische Grundlagen, die Modellierung von Aktienkursen und die Herleitung sowie Anwendung des Black-Scholes-Modells.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die Darstellung der Ableitung fairer, arbitragefreier Preise für Derivate durch zeitstetige Modelle.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt finanzmathematische Methoden, insbesondere stochastische Differentialgleichungen, das Itô-Lemma und die Herleitung der Black-Scholes-Formel.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden stochastische Prozesse definiert, Aktienrenditen modelliert und die Griechen (Sensitivitätskennzahlen) zur Optionsbewertung detailliert analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zentrale Begriffe sind Derivate, Black-Scholes-Modell, Stochastik, Volatilität und Sensitivitätsanalyse.
Wie unterscheidet sich die Lognormalverteilung von der Normalverteilung im Kontext von Aktienkursen?
Die Lognormalverteilung ist im Gegensatz zur Normalverteilung linkssteil und asymmetrisch, was sie zur Modellierung von Aktienkursen besser geeignet macht.
Was ist die Bedeutung der "Griechen" in diesem Kontext?
Die "Griechen" wie Delta, Gamma, Vega, Theta und Omega dienen als Sensitivitätskennzahlen, um den Einfluss verschiedener Faktoren auf den Optionspreis messbar zu machen.
- Arbeit zitieren
- Alexander Wirz (Autor:in), 2007, Zeitstetige Modelle und deren Anwendung in der Bewertung von Derivaten, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/296055
