Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche unter rollender und gleitender Belastung

In der Schienenoberfläche treten bei jeder Überrollung beachtliche Spannungen auf, die zwar die Fließgrenze des Materials noch nicht erreichen, aber möglicherweise ein Dauerfestigkeitsproblem darstellen, da die Lastspielzahlen sehr hoch sind. Ein Problem der Dauerfestigkeitsabschätziung ist jedoch, dass es sich bei der Schienenoberfläche nicht um ein Bauteil handelt, das durch Kräfte belastet wird, sondern um ein Kontinuum, in welchem ein mehrachsiger periodisch wechselnder Spannungszustand herrscht. Um ein Belastungskollektiv zu erstellen, wird die Überrollanzahl einer deutschen Schnellfahrtstrecke abgeschätzt. Die Berechnung der Spannungen in der Schienenoberfläche wird zunächst als zweidimensionale Rechnung nach der Methode von McEwan durchgeführt. Als zweite Herangehensweise wird eine dreidimensionale Spannungsberechnung mit dem Programm CONTACT ausgeführt. Die Ergebnisse der beiden Methoden werden verglichen und für beide Resultate wird eine Dauerfestigkeitsabschätzung ausgeführt.
Das Ergebnis der Analyse ist, dass die Schiene an der Oberfläche dauerfest ist. Das Ergebnis für die Dauerfestigkeitsabschätzung im Inneren der Schiene kann nicht so eindeutig formuliert werden, da hier die Teilergebnisse der beiden durchgeführten Rechnungen nicht übereinstimmen. Es muss unterschieden werden zwischen der zweidimensionalen Rechnung nach McEwan, welche als Ergebnis liefert, dass das Material auch im Inneren dauerfest ist, und der dreidimensionalen Berechnung mit dem CONTACT-Programm, das ein negatives Ergebnis für das Schieneninnere liefert. Weiterhin muss unterschieden werden, welche Dauerfestigkeitsgrenze angenommen wird. Nach Goodman ist das Material dauerfest, setzt man hingegen die PfdW als Grenze fest, ist das Schieneninnere nicht dauerfest. Die Ergebnisse der Spannungsberechnung für das Innere der Schiene liegen also in einem Grenzbereich. Da bei der Fehlerdiskussion jedoch die Faktoren überwiegen, welche das Material entlasten (größere Kontaktfläche Materialabnutzung, evtl. kein vollständiger Schlupf, zusätzliche Druckspannungen usw.) und außerdem im Inneren des Materials sich bildende Anrisse nicht unbedingt zum Materialversagen führen, kann auch für das Innere der Schiene als Ergebnis formuliert werden, dass das Material hier dauerfest ist. Unter ungünstigen Umständen ist es jedoch nicht vollständig auszuschließen, dass ein Versagen des Schienenmaterials auf ungenügende Dauerfestigkeit zurückzuführen ist.

1

Gliederung

Seite

1. Einleitung...4

2. Theorie zum Rollkontaktproblem und zur Dauerfestigkeitsberechnung...6

2.1. Das Rollkontaktproblem...6

2.1.1. Vorraussetzungen...6

2.1.2. Hertzscher Kontakt...13

2.1.3. Zweidimensionale Rechnung nach McEwans...13

2.1.4. Dreidimensionale Rechnung mit dem Programm CONTACT...14

2.2. Dauerfestigkeitsnachweis...16

2.1.1. Festigkeitsrechnung...16

2.1.2. Dauerfestigkeitsrechnung...18

2.1.3. Lastakkumulation...25

3. Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche...27

3.1. Belastung einer deutschen Schnellfahrstrecke...27

3.2. Spannungsberechnung nach McEwans...28

3.3. Spannungsberechnung mit CONTACT...34

3.4. Lastakkumulation...43

3.5. Dauerfestigkeitsgrenzen der Schienenoberfläche...44

3.6. Abschätzung der Dauerfestigkeit...48

4. Auswertung und Diskussion...50

4.1. Auswertung der Spannungsberechnung...50

4.2. Auswertung der Dauerfestigkeitsabschätzung...52

5. Zusammenfassung und Ausblick...55

6. Anhang...57

6.1. Abschätzung der Radlasten...57

6.2. Abschätzung des Verkehrs...59

6.3. Geometrische Daten und Materialwerte...61

6.4. Tabellen und Diagramme...64

6.4.1. Dreidimensionale Darstellung der Spannungsverteilung unter der Oberfläche...64

6.4.2. Lastkollektive...70

6.4.3. Exakte Darstellung der Haigh-Schaubilder ...81

6.5. Literaturverzeichnis...83

---

2

Nomenklatur

A -

Einflußgrößenfunktion

E - N/mm

2

E-Modul

E

*

- N/mm

2

Äquivalent-E-Modul

F

1

-

Exzentrizitätsfaktor

G - N/mm

2

Schubmodul

M -

Mittelspannungsabhängigkeit

N

Lastspielzahl

P - N

Normalkraft

P

l

- N/mm

Normallinienlast

R

-

Verhältnis von Unter- zu Oberspannung

R - mm

Radius

R

*

- mm

Äquivalentradius

R

E

- N/mm

2

Dehngrenze

R

m

- N/mm

2

Zugfestigkeit

R

w

- N/mm

2

Wechselfestigkeit

S - mm

2

Oberfläche

T - N

Tangentialkraft

T

l

- N/mm

Tangentiallinienlast

X,Y -

Punkte auf der Oberfläche eines Körpers

a - mm

Radius

der

Kontaktellipse in x-Richtung

b - mm

Radius

der

Kontaktellipse in y-Richtung

c - mm

mittlerer

Kontaktradius

h

-

mm

Abstand zweier Körper unverformt

h'

-

mm

Abstand zweier Körper verformt

m, n -

Funktionen zur Berechnung der Spannung nach McEwan

p - N/mm

2

Flächenpressung

p

-

Faktor zur Berechnung der Haigh-Funktion nach Lüpfert

p

0

- N/mm

2

maximale

Flächenpressung

r

-

mm

Radius unter dem im radialen Koordinatensystem die

Spannung gemessen wird

w,u -

mm

Verschiebung

eines

Oberflächenpunktes bei Kontakt

x

-

mm

Koordinate längs zur Schiene

y

-

mm

Koordinate quer zur Schiene

z

-

mm

Koordinate senkrecht zur Schiene

-

°

Winkel der Hauptspannungsrichtungen

-

Mittelspannungsabhängigkeit

-

°

Winkel einer beliebigen Spannungsrichtung

-

Einflussfaktor der Vergleichsmittelspannung auf die

Äquivalentmittelspannung

-

°

Winkel unter dem im radialen Koordinatensystem die

Spannung gemessen wird

-

mm

maximale Deformation des Körpers

-

Verzerrung

-

Reibwert

-

Querkontraktionszahl

, S, Sigma

- N/mm

2

Normalspannung

I

-

N/mm

2

1.

Hauptspannung

---

3

II

-

N/mm

2

2.

Hauptspannung

a

-

N/mm

2

Amplitudenspannung

m

-

N/mm

2

Mittelspannung

*

m

- N/mm

2

Äquivalentmittelspannung

o

-

N/mm

2

Oberspannung

r

-

N/mm

2

Radialspannung

schw,

S

Schw

- N/mm

2

Schwellgrenze

u

-

N/mm

2

Unterspannung

v

-

N/mm

2

Vergleichsspannung

va

-

N/mm

2

Vergleichsamplitudenspannung

vm

-

N/mm

2

Vergleichsmittelspannung

x

- N/mm

2

Normalspannungskomponente in x-Richtung

xm

- N/mm

2

Normalmittelspannungskomponente in x-Richtung

y

- N/mm

2

Normalspannungskomponente in y-Richtung

ym

- N/mm

2

Normalmittelspannungskomponente in y-Richtung

z

- N/mm

2

Normalspannungskomponente

in

z-Richtung

zm

- N/mm

2

Normalmittelspannungskomponente in z-Richtung

, Tau -

N/mm

2

Schubspannung

xy

- N/mm

2

Schubspannungskomponente in der xy-Ebene

xz

- N/mm

2

Schubspannungskomponente in der xz-Ebene

yz

- N/mm

2

Schubspannungskomponente in der yz-Ebene

Abkürzungen:

DB

-

Deutsche Bahn AG

BEM

-

Boundary Element Method, Randelementmethode

DIN

-

Deutsche Industrienorm

EC

- Eurocity

EWV

-

Einzelwagenverkehr

EVZ

-

Ebener

Verzerrungszustand

FEM

-

Finite Elemente Methode

GEH

-

Gestaltänderungsenergiehypothese

IC - Intercity

ICE

-

Intercity

Express

ICG

-

InterCargo-Zug

ILR

-

Institut für Luft- und Raumfahrt an der Technischen Universität Berlin

KV

-

Kombinierter Verkehr

PfdW

-

Parabel für duktile Werkstoffe

RL

-

Radlast = Gewicht pro Rad

RSL

-

Radsatzlast = Gewicht pro Achse

UIC

-

Union International de Chemins de Fer - Internationaler Eisenbahn-

verband

---

4

1. Einleitung

Betriebsbedingte Oberflächenschäden an Schienen, wie Head Checks spielen bei der

Gewährleistung der Sicherheit des Fahrbetriebes im Schienenverkehr eine zunehmend wich-

tige Rolle. Diese Schäden können bei ungehindertem Wachstum zu Schienenbrüchen führen

und stellen somit eine Gefahr für die Reisenden dar. Eine durch solche Ermüdungs-

erscheinungen geschädigte Oberfläche belastet außerdem die Gleisanlagen und die Fahr-

zeuge, mindert den Fahrkomfort und führt zu höherer Lärmbelastung der Umgebung. Die

Kosten für die Beseitigung dieser Oberflächenschäden sind sehr hoch. Eine Analyse der

Ursachen ist deshalb von Interesse. In der Schienenoberfläche treten bei jeder Überrollung

beachtliche Spannungen auf, die zwar die Fließgrenze des Materials noch nicht erreichen,

aber möglicherweise ein Dauerfestigkeitsproblem darstellen, da die Lastspielzahlen sehr

hoch sind.

In der vorliegenden Arbeit soll eine ingenieurmäßige Dauerfestigkeitsabschätzung der

Schienenoberfläche durchgeführt werden. Ein Problem dabei ist, dass es sich bei der

Schienenoberfläche nicht um ein Bauteil handelt, das durch Kräfte belastet wird, sondern um

ein Kontinuum, in welchem ein mehrachsiger periodisch wechselnder Spannungszustand

herrscht.

Um ein Belastungskollektiv zu erstellen, wird die Überrollanzahl einer deutschen Schnell-

fahrtstrecke abgeschätzt. Die Berechnung der Spannungen in der Schienenoberfläche wird

zunächst als zweidimensionale Rechnung nach der Methode von McEwan durchgeführt. Als

zweite Herangehensweise wird eine dreidimensionale Spannungsberechnung mit dem

Programm CONTACT ausgeführt. Die Ergebnisse der beiden Methoden werden verglichen

und für beide Resultate wird eine Dauerfestigkeitsabschätzung ausgeführt.

Im ersten Teil dieser Arbeit wird die Theorie der Spannungsberechnung und der Dauer-

festigkeitsanalyse behandelt. Wichtige Formeln, auf die in späteren Abschnitten Bezug

genommen wird, werden, wenn nötig, hergeleitet bzw. vorgestellt. Das folgende Kapitel

beinhaltet die eigentliche Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche. Zunächst

werden die Belastungen der Strecke anhand von Fahrzeugdaten und Fahrplänen der DB

abgeschätzt und die Spannungen nach den beiden Methoden berechnet. Danach wird mit den

Ergebnissen der Spannungsberechnung anhand der Belastungszahlen der Strecke eine Last-

akkumulation durchgeführt. Nachdem anhand der vorhanden Materialwerte die Dauerfestig-

keitsgrenzen festgelegt wurden, wird die Dauerfestigkeit für die Schienenoberfläche

abgeschätzt. Im nachfolgenden Kapitel werden sowohl die Ergebnisse der Spannungs-

---

5

berechnung als auch die Dauerfestigkeitsabschätzung ausgewertet und mögliche Fehler

diskutiert. Am Ende der Arbeit wird eine Zusammenfassung und ein Ausblick gegeben. Im

Anhang finden sich die Abschätzung der Radlasten und des Verkehrs, die geometrischen

Daten und die Materialwerte sowie Tabellen und Diagramme.

Die Rechnungen für die dreidimensionale Spannungsberechnung wurden mit dem Programm

CONTACT ausgeführt. Alle anderen Berechnungen sowie die Erstellung der Diagramme

wurden mit dem Programmsystem MATLAB durchgeführt.

---

6

2. Theorie zum Rollkontaktproblem und zur Dauerfestigkeitsberechnung

2.1. Das Rollkontaktproblem

2.1.1. Vorraussetzungen

Koordinatensystem und Voraussetzungen

Es wird ein rechtwinkliges körperfestes Koordinatensystem festgelegt. Der Ursprung des

Koordinatensystems befindet sich in der Mitte der Kontaktfläche zwischen Rad und Schiene.

Die x-Achse verläuft parallel zur Schiene in Fahrtrichtung.

Abbildung 1: Koordinatensystem

Beim Rollkontakt entstehen hohe Spannungen in der unmittelbaren Umgebung der

Berührungsflächen der beiden Körper. Wenn die Kontaktfläche im Vergleich mit den

Dimensionen der beiden sich berührenden Körper klein ist, dann können die Körper als

Halbräume betrachtet werden, das heißt, ihre Ausdehnung in Richtung von dem

Berührungspunkt weg wird als unendlich angenommen.

Weiterhin wird in dieser Arbeit vorausgesetzt, dass die sich berührenden Körper aus dem

gleichen Werkstoff bestehen und die Oberflächen der Körper völlig glatt sind. Bei dem

Werkstoff soll es sich um ein linear-elastisches Material handeln, welches homogen und

x

y

z

ung

Fahrtricht

---

7

isotrop ist. Außerdem wird die Annahme getroffen, dass sich die Oberflächen der beiden

Körper durch Flächen zweiten Grades beschreiben lassen (Hertzannahme).

Grundlagen der Kontaktmechanik

Greift eine Linienlast P

l

in Normalenrichtung entlang der y-Achse auf der Oberfläche eines

Halbraums an, berechnet sich die Radialspannung in der x-z-Ebene wie folgt:

cos

2

r

P

l

r

(2.1)

Dabei ist r der Radius und

der Winkel in einem radialen Koordinatensystem, welches die

x-z-Ebene beschreibt.

Abbildung 2: Linienlast auf einer Oberfläche

(aus: [14], S. 13)

Die Spannungen im kartesischen Koordinatensystem errechnen sich mit Hilfe des Mohr-

schen Spannungskreises:

2

2

2

2

2

2

cos

1

2

z

x

zx

P

l

r

x

(2.2a)

2

2

2

3

2

2

cos

1

2

z

x

z

P

l

r

z

(2.2b)

2

2

2

2

2

2

sin

2

z

x

x

z

P

l

r

xz

(2.2c)

---

8

Abbildung 3: Spannungen im Halb-

raum unter einer Linienlast

Abbildung 4: Mohrscher Span-

nungskreis

(beides aus: [14], S. 13)

Spannungen aufgrund einer Tangentiallinienkraft T

l

an der Oberfläche können auf dieselbe

Weise berechnet werden:

2

2

2

2

2

z

x

x

z

T

l

x

(2.3a)

2

2

2

3

2

z

x

x

T

l

z

(2.3b)

2

2

2

2

2

z

x

zx

T

l

xz

(2.3c)

Mit der Beziehung

l

l

P

T

können die Gleichungen (2.2) und (2.3) zusammengefasst

werden, indem die Komponenten der Normal- und der Querspannungen addiert werden.

Unter der Annahme, dass die Last auf einer Linie angreift, ergibt sich jedoch für das Gebiet

unmittelbar unter dem Angriffspunkt der Kraft (r = 0) eine unendlich große Spannung (siehe

Abb. 5). Dieses Ergebnis ist nicht realistisch. Dadurch, dass sich die berührenden Körper

verformen, entsteht eine Kontaktfläche. Die Kraft verteilt sich somit auf eine Fläche mit der

Länge a:

a

l

dx

x

P

P

0

)

(

(2.4)

---

9

Abbildung 5: Spannungen unter Linienlast bzw.

Flächenlast (aus: [14], S. 17)

Berühren sich zwei Ellipsoide, dann ist die Kontaktfläche eine Ellipse mit den Radien a und

b. Es gilt also die Verteilung des Flächenpressung über der Kontaktfläche und anschließend

die daraus resultierenden Spannungen im Inneren der Körper zu berechnen.

Abbildung 6: Linienkontakt als Flächenlast

Abbildung 7: Kugelkontakt

(beides aus [14], S. 19)

---

10

2.1.2. Hertzscher Kontakt

Der erste Physiker, der eine befriedigende Lösung für das Problem der Berührung zweier

elastischer Körper fand, war Heinrich Hertz. Er untersuchte den Kontakt zwischen optischen

Linsen. Seine Theorie bietet auch eine hinreichende Lösung für das Problem des Roll-

kontakts.

Werden zwei Körper aneinandergepresst, dann nähern sie sich um die Summe aus den

Beträgen der Deformationen senkrecht zur Oberfläche an der Stelle des Kontaktes an.

Bezeichnet h den Abstand zweier Punkte auf den Oberflächen der beiden Körper vor dem

Kontakt, dann errechnet sich der Abstand h' nach dem Kontakt wie folgt, wobei w die

Verschiebung der Oberfläche in z-Richtung an der Stelle (x,y) ist:

y

x

w

y

x

w

y

x

h

y

x

h

,

,

,

,

2

1

2

1

(2.5)

In dieser Arbeit wird der Index 1 für die Schiene und der Index 2 für das Rad verwendet.

Abbildung 8: Hertzscher Kontakt von zwei runden

Körpern (aus [6], S. 88); die Verschiebung w ist in der

Zeichnung mit u gekennzeichnet.

Innerhalb der Kontaktfläche wird der Abstand h' gleich Null. Werden die Deformationen der

beiden Körper zusammengefasst (

2

1

), dann lautet die Kontaktbedingung:

*

2

*

2

2

1

2

2

,

,

y

x

R

y

R

x

y

x

w

y

x

w

(2.6)

---

11

Dabei wurde der Abstand

y

x

h ,

durch den Ausdruck ersetzt, der sich ergibt, wenn es sich

um den Abstand zweier sich berührender Paraboloide mit gleichen Hauptachsenrichtungen

handelt:

*

2

*

2

2

2

)

,

(

y

x

R

y

R

x

y

x

h

(2.7)

Die Radien errechnen sich aus den Radien der beiden Körper in Hauptachsenrichtung:

2

1

*

1

1

1

x

x

x

R

R

R

(2.8a)

2

1

*

1

1

1

y

y

y

R

R

R

(2.8b)

Wird überprüft, welche Flächenpressungen die Kontaktbedingung erfüllen, ergibt sich

folgende Gleichung

1

:

2

2

0

)

(

)

(

1

)

,

(

b

y

a

x

p

y

x

p

(2.9)

Hierbei sind a und b die Radien der Kontaktellipse. Um diese Werte zu erhalten, wird

zunächst der mittlere Kontaktradius

ab

c

ausgerechnet

2

:

1

3

*

*

4

3

F

E

PR

c

(2.10)

In der Gleichung werden Äquivalentwerte benutzt, die sich aus den Eigenschaften der beiden

Körper zusammensetzen. Der Äquivalentradius R

*

setzt sich aus den Radien der äqui-

valenten Krümmungsradien der beiden Körper zusammen:

*

*

*

y

x

R

R

R

(2.11)

und das äquivalente Elastizitätsmodul errechnet sich aus den E-Moduln und den Quer-

kontraktionszahlen der beiden Körper:

2

2

2

1

2

1

*

1

1

1

E

E

E

(2.12)

Jedoch sind in dieser Arbeit die Materialwerte für Rad und Schiene gleich. Der Exzent-

rizitätsfaktor

1

F

bezeichnet die Exzentrizität der Kontaktellipse und hängt von den geometri-

schen Eigenschaften der beiden Körper ab. Er kann aus dem Diagramm 1 abgelesen werden.

1

Siehe [6], S. 65.

2

Siehe [6], S. 95ff.

---

12

Diagramm 1: Exzentrizitätsfaktor (aus [6], S. 97)

y

x

R

R

R

R

^

;

^

Die maximale Flächenpressung, also der Druck in der Mitte der Kontaktellipse, ist durch die

Gleichung:

2

1

3

2

*

2

*

3

2

0

1

6

2

3

F

R

E

P

c

P

p

(2.13)

gegeben

3

.

3

Siehe [6], S. 96.

---

13

2.1.3 Zweidimensionale Rechnung nach McEwans

In der zweidimensionalen Rechnung wird angenommen, eine Walze rollt auf einer ebenen

Unterlage. Die Flächenpressung unter der Walze entspricht in Längsrichtung der Verteilung,

die sich ergibt, wenn die Verteilung der Druckspannung über der Hertzschen Kontaktellipse

der Länge nach in der Mitte durchgeschnitten wird. Die maximale Flächenpressung ist mit

der Gleichung (2.13) gegeben. In der Querrichtung (hier in y-Richtung) ist die Flächen-

pressung unter der Walze an jeder Stelle gleich. Unter der Walze kann ein ebener

Verzerrungszustand (EVZ) angenommen werden. Das bedeutet eine konstante Verzerrung in

y-Richtung.

Die Länge der Kontaktfläche berechnet sich nach der Gleichung

4

:

*

2

4

E

R

P

a

l

(2.14)

Wobei

l

P eine Linienlast über die Breite der Walze ist. Sie berechnet sich aus der

Beziehung:

2

0

p

a

P

l

(2.15)

McEwen entwickelte eine Lösung zur Berechnung der Kontaktspannungen unter Ein-

beziehung der Tangentialkraft aufgrund der Reibung.

5

Er führte dazu die beiden Funktionen

m und n ein:

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

4

2

1

z

x

a

z

x

z

x

a

m

(2.16a)

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

4

2

1

z

x

a

z

x

z

x

a

n

(2.16b)

Die Vorzeichen von m und n stimmen jeweils mit den Vorzeichen von z und x überein.

Die Spannungsanteile aufgrund der Normalkraft in Abhängigkeit von m und n sind dann:

z

n

m

n

z

m

a

P

l

px

2

1

2

2

2

2

2

2

(2.17a)

2

2

2

2

2

1

2

n

m

n

z

m

a

P

l

pz

(2.17b)

2

2

2

2

2

2

n

m

m

z

n

a

P

l

pxz

(2.17c)

4

Siehe [6], S. 99ff.

5

Vgl.: [10] oder [6], S. 102ff.

---

14

Für die Komponenten aufgrund der Tangentialkraft gilt mit der Beziehung

l

l

P

T

folgendes:

2

2

2

2

2

2

2

n

m

m

z

n

n

x

a

P

l

tx

(2.18a)

2

2

2

2

2

2

n

m

m

z

n

a

P

l

tz

(2.18b)

z

n

m

n

z

m

a

P

l

txz

2

1

2

2

2

2

2

2

(2.18c)

Um die jeweilige Gesamtspannung (

x

,

z

,

xz

) zu erhalten, sind die Spannungsanteile auf-

grund der Normalkraft und aufgrund der Tangentialkraft für die jeweiligen Spannungs-

richtungen zu addieren.

Für die Gesamtspannung in y-Richtung gilt:

z

x

y

(2.19)

2.1.4 Dreidimensionale Rechnung mit dem Programm CONTACT

Bei der dreidimensionalen Rechnung sind die sich berührenden Körper in beiden Haupt-

achsenrichtungen x und y gekrümmt. Das heißt, die Kontaktspannung ist auch in diesen

beiden Richtungen veränderlich, und die Berührungsfläche besitzt die Form einer Ellipse.

Eine solche Rechnung ist komplizierter als die Rechnung eines Walzenkontakts und kann

nicht mehr analytisch durchgeführt werden. Das Programm CONTACT ist ein numerisches

Rechenprogramm, welches die Kontaktspannungen und die Spannungen im Inneren von sich

berührenden Körpern ausrechnet. Es wurde von dem niederländischen Wissenschaftler

J.J. Kalker aufgrund seiner Forschungen auf dem Gebiet der Kontaktmechanik entwickelt

6

.

CONTACT basiert auf dem Verfahren der Randelementmethode (engl.: Boundary Element

Method - BEM). Dieses ist neben der Methode der finiten Elemente (FEM) ein wichtiges

Diskretisierungsverfahren zur Berechnung von Anfangs-/Randwertproblemen in der

mathematischen Physik. Ein großer Vorteil der BEM ist die Tatsache, dass nur die Ober-

fläche der betrachteten Struktur zu diskretisieren ist und nicht deren ganzes Volumen.

6

Für das Programm siehe [15] , für die theoretischen Grundlagen siehe [7].

---

15

Kalker hat das Hooke'sche Gesetz

E

,

(2.20)

welches in dieser Form nur auf Volumen anwendbar ist, in eine Nachgiebigkeit-

sformulierung umgewandelt, die sich auf die vorgegebene Belastung an der Oberfläche

bezieht:

7

:

V

dS

Y

p

Y

X

A

X

u

,

(2.21)

Diese lässt sich im Fall des Rad/Schiene-Kontakts anwenden. Die Funktion A(X,Y) nennt

Kalker ,,influence function" (Einflußgrößenfunktion oder -matrix); sie repräsentiert die

Verschiebung eines Punktes X infolge einer Punktlast, die auf den Punkt Y wirkt. Diese

Funktion hängt sehr stark von der Form des Körpers ab. Sie kann aber mit Hilfe der

Annahme berechnet werden, dass die beiden Körper jeweils Halbräume sind, d. h. ihre

Ausdehnung wird nach einer Seite jeweils als unendlich angenommen (s. o.).

Damit kann das Programm unter anderem zur Berechnung der dreidimensionalen

Spannungsverteilungen bei Hertzschen Kontaktproblemen herangezogen werden. Bei der

dreidimensionalen Berechnung sind nun aber beide Radien der Kontaktellipse notwendig.

Der mittlere Radius der Kontaktellipse c ist mit der Gleichung (2.10) gegeben. Aus der

Definition des mittleren Kontaktradius

b

a

c

können der Radius a der Kontaktellipse in

x-Richtung und der Radius b der Kontaktellipse in y-Richtung ausgerechnet werden:

b

a

c

a

/

(2.22a)

a

b

c

b

/

(2.22b)

Der Wert b/a kann aus dem Diagramm 1 abgelesen werden, wenn die Radien der Körper

bekannt sind.

7

Siehe [7], S. 20ff.

---

16

2.2. Dauerfestigkeitsnachweis

2.2.1. Festigkeitsrechnung

Bestimmung der Hauptspannungsrichtungen

Ist eine Hauptspannungsrichtung festgelegt - dies ist der Fall bei einem ebenem

Verzerrungszustand ­ können die beiden anderen Hauptspannungsrichtung mit Hilfe des

Mohrschen Spannungskreises berechnet werden:

2

1

2

2

2

2

xz

z

x

z

x

I

(2.23a)

bzw.

2

1

2

2

2

2

xz

z

x

z

x

II

(2.23b)

Der Winkel

der beiden Hauptspannungsrichtungen errechnet sich aus den Gleichungen:

2

1

2

2

4

2

cos

xy

z

x

z

x

(2.24a)

2

1

2

2

4

2

2

sin

xy

z

x

xy

(2.24b)

Abbildung 9: Haupt-spannungen und

Haupt-spannungsrichtungen beim ebenen

Spannungszustand.

Abbildung 10: Ebener Spannungs-

zustand; Spannungen im beliebigen

Schnitt.

beides aus [18], S. 234.

---

17

Um die Spannungen in einer beliebigen Richtung zu bestimmen, betrachtet man den

Spannungszustand an einem Element in dem Kontinuum. Wird hier das Gleichgewicht

gebildet und umgeformt, erhält man folgende Formeln für die Normal- bzw. Schubspannung

unter einem beliebigen Winkel

:

ß

ß

xz

z

x

z

x

2

sin

2

cos

2

2

(2.25a)

ß

ß

xz

z

x

ß

2

cos

2

sin

2

(2.25b)

Sind die Hauptspannungen bekannt, ergibt sich die Normalspannung senkrecht zu

ß

aus

dem Mohrschen Spannungskreis:

ß

II

I

ß

90

(2.26)

Festigkeitshypothesen

Die Tragfähigkeit eines Werkstoffs hängt von der Art der mehrdimensionalen Bean-

spruchung ab. Festigkeitshypothesen stellen Annahmen dar, wie die einzelnen Komponenten

der Belastung zu bewerten sind. Aus den verschiedenen Spannungskomponenten wird eine

Vergleichsspannung berechnet, die geringer sein muss, als eine zulässige materialabhängige

Grenzspannung:

G

v

(2.27)

Die einfachste Annahme ist die Normalspannungshypothese. Diese besagt, ein Bauteil hält

solange, bis in einer Richtung die Spannung eine Grenzspannung überschreitet:

i

v

max

(2.28)

Diese Hypothese ist geeignet für spröde Werkstoffe. Es wird angenommen, dass es zu einem

Trennbruch senkrecht zur Richtung dieser Zugspannung kommt, nachdem die Grenz-

spannung überschritten ist.

Für zähe Werkstoffe hingegen wird zweckmäßigerweise die Gestaltänderungsenergie-

hypothese (GEH) verwendet, da hier in nahezu allen Fällen gegen Fließen (bzw. plastische

Deformation) abgesichert wird. Hierbei wird davon ausgegangen, dass hydrostatische

Spannungszustände, also Zustände, in denen ausschließlich gleich große Normalspannungen

auftreten, lediglich eine reversible Volumenänderung, jedoch keine bleibende Gestalt-

änderung hervorrufen können. So eine Spannung kann zwar zum Trennbruch führen, nicht

aber zum Fließen des Materials. Die Spannungen werden bei der GEH aufgeteilt in die-

jenigen, welche das Volumen ändern, das ist der hydrostatische Spannungszustand und in

diejenigen, welche die Form des Werkstoffs ändern. Für zähe Werkstoffe ist nur der Form-

---

18

änderungsanteil von Bedeutung. Daher bleibt der hydrostatische Spannungsanteil in der

Gestaltänderungsenergiehypothese unberücksichtigt. Lediglich der Formänderungsanteil

(deviatorischer Spannungsanteil) wird zur Ermittlung der Vergleichsspannung (nach v.

Mises) herangezogen:

2

2

2

2

2

2

3

5

,

0

xz

yz

xy

y

z

z

y

y

x

v

(2.29)

Diese Formel nimmt unter Nutzung der Hauptnormalspannungsrichtungen die Form

2

1

3

2

3

2

2

2

1

5

,

0

v

(2.30)

an.

2.2.2. Dauerfestigkeitsrechnung

Festigkeitshypothesen dienen zur Berechnung von Vergleichsspannungen bei statischen

Beanspruchungen. Bei periodisch-mehrachsigen Beanspruchungen, die durch eine einzige

äußere Belastung hervorgerufen wird, verlaufen alle Spannungskomponenten zueinander

proportional und synchron. In diesem Fall kann die Bewertung der Ertragbarkeit in nahezu

gleicher Weise wie bei quasistatischen Beanspruchungen mit den oben aufgeführten

Festigkeitshypothesen vorgenommen werden. Als Festigkeitsgrenze

G

ist die Wechsel-

festigkeit R

W

einzusetzen.

8

Dies gilt jedoch nur bei reiner Wechselbeanspruchung, das heißt,

die Mittelspannung muss Null sein. Ist die Mittelspannung ungleich Null, muss deren Ein-

fluss berücksichtigt werden.

Festigkeitsbedingungen

Die Mittelspannung ist der Mittelwert aus Oberspannung

o

, dem größten Wert der

Spannung je Schwingspiel und der Unterspannung

u

, dem kleinsten Wert der Spannung je

Schwingspiel

2

u

o

m

(2.31)

Die Amplitudenspannung ist der Spannungsausschlag der Beanspruchung

2

u

o

a

(2.32)

8

Siehe [8], S. 44f.

---

19

Bei schwingender Beanspruchung kann zwischen Wechselbeanspruchung und Schwell-

beanspruchung im Druck- und im Zugbereich unterschieden werden (siehe

Abb. 12).

Das Verhältnis zwischen Ober- und Unterspannung wird R genannt

o

u

R

(2.33)

Für reine Schwellbelastung im Druckbereich ist

R

, bei reiner Wechselbeanspruchung

ist

1

R

und für reine Schwellbelastung im Zugbereich ist

0

R

.

Abbildung 11: Spannungs-Zeit-Schaubild für

Schwingbeanspruchung

Abbildung 12: Bereiche der Schwingbeanspruchung

(beides aus DIN 50100, S.2)

Zur Beurteilung der Dauerfestigkeit bei einer Beanspruchung mit positiver oder negativer

Mittelspannung eignet sich die Darstellung in einem Haigh-Schaubild, in dem die Ampli-

tudenspannung über der Mittelspannung aufgetragen ist. Darin können die Dauerfestigkeits-

grenzen eingezeichnet werden. Liegen die tatsächlichen Werte unterhalb der Grenzlinien, ist

die Dauerfestigkeit gewährleistet.

Die Gesamtbelastung setzt sich also aus einer konstanten Mittelspannung und einer perio-

dischen Amplitudenspannung zusammen. Die Maximalwerte der Spannung berechnen sich

wie folgt:

a

m

max

(2.34)

---

20

Wenn als jeweilige Grenzwerte für Amplituden- bzw. Mittelspannung die Wechselfestigkeit

bzw. die Zugfestigkeit angenommen wird, dann ergeben sich die Grenzen der ertragbaren

Spannungsamplitude in Abhängigkeit von der Mittelspannung aus folgender Ellipsen-

gleichung:

1

2

2

w

a

m

m

R

R

(2.35)

Diese Gleichung führt im Haigh-Schaubild zu der Gerberparabel, nach der die ertragbare

Spannungsamplitude festgelegt ist durch:

2

1

m

m

w

a

R

R

(2.36)

Mit dieser Beziehung wird der Einfluss der Mittelspannung im Druckbereich und Zug-

bereich identisch bewertet. Versuche haben aber gezeigt, dass eine negative Mittelspannung

die Dauerfestigkeit erhöht

9

. Mit der Parabel:

m

m

w

a

R

R

1

(2.37)

wird der stabilisierende Einfluss einer negativen Mittelspannung berücksichtigt. Sie wird für

duktile Werkstoffe empfohlen

10

. Weitere Approximationen der Haigh-Funktion sind von

Goodmann und Smith entwickelt worden:

Goodmann:

m

m

w

a

R

R

1

(2.38)

Smith:

m

m

m

m

w

a

R

R

R

1

1

(2.39)

Die ersten beiden Parabeln bieten sich vor allem für Stähle bzw. Werkstoffe mit duktilen

Eigenschaften an. Das Dauerfestigkeitsverhalten von spröden Materialien wie Grauguss lässt

sich besser mit der Goodman-Gerade oder mit dem Ansatz von Smith beschreiben. Trotz

dieser Differenzierung herrschen im Druckbereich noch große Unterschiede zwischen den

genannten Ansätzen

11

.

9

Siehe [16], S. 73f; [13], S. 417.

10

Siehe [8], S. 65.

11

Siehe [8], S. 65f.

---

21

Diagramm 2: Haigh-Schaubild mit Dauerfestigkeitsgrenzen nach Smith, Goodmann,

Gerber und für duktile Werkstoffe (PfdW).

An das Festigkeitsverhalten verschiedener metallischer Werkstoffe anpassbare Funktionen

haben Schütz und Lüpfert aufgestellt. Die Mittelspannungsabhängigkeit nach Schütz ist

unter Verwendung von Gl. (2.33) folgendermaßen definiert

12

:

2

2

0

0

1

Schw

Schw

W

R

m

R

a

R

a

R

M

(2.40)

Die Funktion, welche die Dauerfestigkeitsgrenze beschreibt, fällt im Haigh-Schaubild mit

wachsender Mittelspannung unter dem Winkel

ab:

M

^

tan

(2.41)

Nach Lüpfert wird die Haigh-Funktion, d.h. die Dauerfestigkeitsgrenze durch die Gleichung

p

m

m

w

a

R

R

1

(2.42)

beschrieben

13

.

12

Siehe [13], S. 417.

13

Siehe [8], S. 68f.

---

22

Der Exponent p wird aus der Bruch-, Wechsel- sowie der Schwellfestigkeit berechnet:

m

schw

w

schw

R

R

p

2

1

ln

2

ln

(2.43)

Eine weitere Möglichkeit, die Grenzen der Dauerfestigkeit darzustellen, bietet das Smith-

Schaubild. Hier wird auf der Abszisse die Mittelspannung und auf der Ordinate die Ober-

und die Unterspannung aufgetragen. Werkstoffeigenschaften wie Bruchspannung, Dehn-

grenze oder Wechselfestigkeit bestimmen die Dauerfestigkeitsgrenzen. Sind diese Werte

gegeben, können die Schwellspannung oder die ertragbaren Ober- bzw. Unterspannungen

abgelesen werden. Zur Abschätzung der Dauerfestigkeit in Abhängigkeit von der Mittel-

spannung ist das Haigh-Schaubild aber die übersichtlichere Darstellung.

Diagramm 3: Smith-Diagramm (aus DIN 50100, S. 7)

Die bisher genannten Vorgehensweisen eignen sich jedoch nur zur Beurteilung der Dauer-

festigkeit bei einachsiger periodischer Belastung. Treten mehrachsige Spannungszustände

auf, dann muss eine Vergleichsspannung gebildet werden, um die Dauerfestigkeit über-

prüfen zu können.

---

23

Mittelspannungseinfluss bei mehrachsiger Belastung

Die naheliegendste Vorgehensweise ist es, einfach die Vergleichsspannungen laut den

Gln. (2.29) und (2.30) zu bestimmen. Um aus den Einzelspannungen eine Vergleichs-

spannung zu errechnen, zerlegt man sämtliche auftretenden Spannungskomponenten in ihre

konstanten und ihre schwingenden Anteile. Aus den konstanten Spannungsanteilen bildet

man eine ,,statische" Vergleichsspannung, aus den schwingend auftretenden Anteilen eine

,,schwingende" Vergleichsspannung. Der mehrachsige Spannungszustand kann dann in eine

fiktiv-einachsige, schwingende Beanspruchung überführt werden

14

:

va

vm

v

(2.44)

Analog zu der einachsigen Beanspruchung (siehe Gl. 2.35) ergibt sich eine Ellipsen-

gleichung für die Grenzwerte der Dauerfestigkeit:

1

2

2

w

va

m

vm

R

R

(2.45)

Diese Gleichung kann wieder im Haigh-Schaubild als Gerberparabel eingetragen werden.

Das Problem bei dieser Vorgehensweise ist jedoch, dass der negative Mittelspannungs-

einfluss hier nicht berücksichtigt wird. Die Vergleichsspannungen sind laut Definition

immer positiv, so dass auch nur positive Vergleichsmittelspannungen vorkommen können,

selbst wenn die einzelnen Spannungen, aus denen sich die Vergleichsspannung zusammen-

setzt, negativ sind. Der stabilisierende Einfluss der negativen Mittelspannung kann bei dieser

Vorgehensweise nicht berücksichtigt werden.

Es stellt sich also die Frage, wie negative Mittelspannungen zu beurteilen sind. Eine

Möglichkeit ist es, die Amplitudenvergleichsspannung

va

mit einem Wert zu vergleichen,

der neben der Wechselfestigkeit R

W

die Summe der konstanten Normalspannungsanteile ­

also der Mittelspannungen in jeder Richtung ­ enthält, wie es oft in der Literatur angegeben

wird

15

:

zm

ym

xm

W

va

R

(2.46)

In dieser Gleichung wirken sich also Drucknormalspannungen positiv und Zugnormal-

spannungen negativ auf die Dauerfestigkeit aus. Die Größe

ist die Mittelspannungs-

empfindlichkeit des Materials. Ein Nachteil bei diesem Verfahren ist jedoch, dass nur die

Summe der Normalspannungen, nicht aber ihre räumliche Verteilung in die Rechnung

einfließen. Es ist also vollkommen gleich, ob ein weitgehend hydrostatischer Spannungs-

zustand herrscht, also die drei Normalspannungen gleich groß sind oder ob erhebliche Unter-

14

Vgl. [2], S. 257; [8], S. 69f ; [19], S. 269.

15

Vgl. [2], S. 258 ; [8], S. 70; [19], S. 269.

---

24

schiede zwischen den einzelnen Spannungskomponenten herrschen. Im zweiten Fall treten

aber deviatorische Spannungsanteile auf, welche die Gestalt des Materials ändern und die

Dauerfestigkeit herabsetzen. Es muss also zusätzlich zu den konstanten Normalspannungen

noch eine Komponente berücksichtigt werden, welche die deviatorischen Spannungsanteile

beinhaltet. Diese Anteile sind in der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergie-

hypothese enthalten. Die modifizierte Form von Gl. (2.46) muss also folgendermaßen lauten:

vm

zm

ym

xm

W

va

R

(2.47)

Da die Vergleichsspannung per Definition immer positiv ist (siehe Gln. 2.29 oder 2.30), setzt

die Vergleichsmittelspannung die Dauerfestigkeitsgrenze immer herab. Durch den Faktor

wird der Einfluss der Vergleichsmittelspannung im Vergleich mit den Normalmittel-

spannungen festgelegt. Der Ausdruck in der Klammer kann also als eine Äquivalentmittel-

spannung für eine mehrachsige Belastung definiert werden:

vm

zm

ym

xm

m

(2.48)

In diesem Wert wird sowohl der Einfluss der konstanten Normalspannungen, der je nach

Vorzeichen positiv oder negativ sein kann, als auch der Einfluss der Vergleichsmittel-

spannung, der immer negativ ist, berücksichtigt. Die Bestimmung der Parameter und

stellt allerdings ein Problem dar, da diese experimentell bestimmt werden müssen. Es liegen

jedoch bisher noch keine verlässlichen experimentell gewonnenen Vergleichswerte für

räumliche Spannungen vor

16

und diese können auch im Rahmen dieser Arbeit nicht erbracht

werden. Es gibt zwar noch weitere Bewertungsverfahren für das Problem des Mittel-

spannungseinflusses bei mehrachsiger periodischer Belastung

17

, jedoch stellte Lüpfert in

seiner Untersuchung zu dem Thema fest, dass allen bisher durchgeführten Verifikationen der

bekannten Festigkeitsbedingungen gemeinsam ist, dass sie sich ausschließlich auf deren

Eigenschaften zur Bewertung ebener Spannungszustände beziehen

18

. Aufgrund fehlender

Materialwerte wird der Parameter in dieser Arbeit auf den Wert 1 geschätzt. Die äqui-

valente Mittelspannung

m

i

st also die Summe aus den konstanten Normalspannungs-

anteilen und deren Vergleichsspannung. Der Faktor stellt die Mittelspannungsabhängigkeit

des Werkstoffes dar. In einem Haigh-Schaubild konkretisiert er sich als der negative Betrag

der Steigung der Dauerfestigkeitsgrenze, falls hierfür eine Gerade angenommen wird. Um

diese Steigung für den Fall eindimensionaler Belastung zu berechnen, gibt es die beiden

oben diskutierten Möglichkeiten: Einmal die Berechnung nach Goodman (Gl. 2.47) ­ hier ist

der Parameter gleich dem Quotienten aus Wechselfestigkeit R

W

und Zugfestigkeit R

M

­

16

Siehe [8], S. 77;

17

Siehe [8], S.71ff; [19], S. 269.

18

Siehe [8], S. 77;

---

25

und zum andern die Bestimmung der Mittelspannungsabhängigkeit nach Schütz (siehe

Gln. 2.40 und 2.41). Für den dreidimensionalen Fall werden diese Gleichungen übernom-

men, nur die Mittelspannung wird durch die Äquivalentmittelspannung und die Amplituden-

spannung durch die Vergleichsamplitudenspannung ersetzt. Außerdem wird in dieser Arbeit

die äquivalente Mittelspannung in die oben diskutierte Gleichung zur Dauerfestigkeits-

abschätzung für duktile Werkstoffe (Gl. 2.37) und in die von Lüpfert vorgeschlagene Parabel

(Gl. 2.42) eingesetzt, wobei ebenfalls statt der einachsigen Mittelspannung die Äquivalent-

mittelspannung und anstelle der Amplitudenspannung die Vergleichsamplitudenspannung

verwendet wird.

2.2.3. Lastakkumulation

Für die Dauerfestigkeitsrechnung ist es notwendig, Lastkollektive zu erstellen. Die

Beanspruchungs-Zeitfunktion kann beliebig kompliziert sein und ist meist nicht direkt in der

Dauerfestigkeitsanalyse weiterverarbeitbar. Sie wird durch eine möglichst einfache Kenn-

funktion ersetzt. Das Ergebnis des Kennzeichnungsverfahrens sollte die wesentlichen Inhalte

des ursprünglichen Ablaufs enthalten und die Rekonstruktion eines Ablaufs ermöglichen, der

dem Originalablauf ähnlich ist. Das Ergebnis des Kennzeichnungsverfahrens ist ein Last-

kollektiv.

Ein einfaches Zählverfahren ist die Klassengrenzenüberschreitungszählung. Es werden

bestimmte Spannungsabschnitte als Klassen definiert. Die Zählung registriert die Klassen-

grenzendurchgänge an aufsteigenden Flanken der Beanspruchungs-Zeitfunktion. Als Ergeb-

nis liefert sie ein Klassengrenzenüberschreitungskollektiv (vgl. Abb. 13). Aus diesem

Kollektiv können Schwingspiele rekonstruiert werden, die der ursprünglichen Bean-

spruchung statistisch entsprechen.

Abbildung 13: Illustration des Klassengrenzenüberschreitungs-Zählverfahren (aus

[18], S. 66)

---

26

Verloren gehen bei diesem Verfahren die Reihenfolge der Einzelschwingungen im Ablauf,

das Zeitgesetz des Schwingvorgangs (z.B. Sinusschwingung), die Frequenz sowie alle

Informationen über die Amplituden der Einzelschwingspiele. Aus dem Lastkollektiv können

jedoch die Maximalwerte für die alle Schwingspielzahlen abgelesen werden.

Abbildung 14: Rekonstruktion der Beanspruchungs-Zeitfunktion aus einem

Klassengrenzenüberschreitungs-Kollektiv (aus [18], S. 70)

---

27

3. Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche

3.1. Belastung einer deutschen Schnellfahrstrecke

Abschätzung der Radlasten

In dieser Arbeit wird die Belastung auf einer viel befahrenen Schnellfahrstrecke der

Deutschen Bahn untersucht. Auf dieser Strecke soll gemischter Verkehr herrschen, das heißt,

es gibt sowohl Güterverkehr als auch Personenverkehr. Der Güterverkehr setzt sich aus

unterschiedlichen Zugarten wie InterCargo-Zügen oder Containerzügen zusammen und der

Personenverkehr besteht aus Schnellfahrzügen, wie dem ICE, anderen Fernverkehrszügen

und Nahverkehrszügen.

Im Anhang 6.1. sind für die einzelnen Zugarten die Annahmen für das Gewicht der Wagen

und der Triebfahrzeuge sowie die sich daraus ergebenden Achslasten aufgelistet. Die aus den

Achslasten folgenden Radlasten für verschiedene Züge sind in der zweiten Spalte von

Tabelle 3.1 angegeben.

Zugtyp

Radlast

[t]

Lastspiele/

Tag

max.

Flächenlast p0

[N/mm

2

]

Länge a

[mm]

Güterzug ­ Kombinierter Verkehr

5.95

2325

1057,7

8,25

IC/EC/D - Reisewagen

6.6

760

1094,9

8,54

ICE-Mittelwagen

Regionalzug ­ Einfache Wagen

6.75

1296

1103,1

8,60

Regionalzug ­ Doppelstockwagen

7.65

192

1150,1

8,97

Güterzug ­ InterCargo

7.75

285

1155,1

9,01

Güterzug ­ Einzelwagenverkehr,

Nah- und Übergabezug

8.75

1178

1202,8

9,38

Güterzug ­ Logistik

9

0

1214,1

9,47

ICE-Triebwagen

9.75

252

1173,4

10,98

Lokomotive

10

679

1183,4

11,08

Güterzug ­ langsam

11.25

880

1307,9

10,20

Tabelle 3.1: Zugtypen und zugehörige Radlasten sowie die Lastspiele pro Tag für die Strecke 2, die maximale

Flächenlast p0 und die Länge a der Kontaktfläche.

---

28

Abschätzung des Verkehrs

Im Anhang 6.2. wurde für mehrere Strecken der Zugverkehr geschätzt. Für zwölf Strecken

aus dem Netz der DB wurden sowohl die pro Tag verkehrenden Personenzüge als auch die

Güterzüge ermittelt. Zusammen mit der Lastabschätzung für die einzelnen Zugtypen kann

damit die Anzahl der Lastspiele pro Tag errechnet werden. Für die einzelnen Radlasten

ergeben sich auf jeder Strecke eine bestimmte Anzahl an Lastspielen. Die am stärksten

belastete Strecke in dieser Auflistung ist die Strecke 2, also der Abschnitt zwischen Appen-

weiler und Baden-Baden. Die Anzahl der Lastspiele für diese Strecke ist in der dritten Spalte

von Tabelle 3.1 angegeben.

Abschätzung der Reibwerte

Die Reibwerte , die bei der Reibung zwischen Schiene und Rad auftreten, bewegen sich in

einem Bereich um 0,2. Sie sind abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit von Rad und

Schiene und von den Umweltbedingungen. In dieser Arbeit werden die Spannungswerte für

die Reibwerte zwischen 0 und 0,4 ausgerechnet. Der Wert von 0,4 ist jedoch ein Maximal-

wert, welcher in der Praxis fast nie erreicht wird. Er wird deshalb bei Dauerfestigkeits-

berechnung nicht mit berücksichtigt. Die Diagramme, die als Beispiele für Spannungs-

verteilungen in den folgenden Kapiteln aufgeführt sind, beziehen sich immer auf einen

Reibwert von = 0,2 und auf die maximale Radlast von 11,25 t.

---

29

3.2. Spannungsberechnung nach McEwans

Die geometrischen Daten sowie die Materialwerte für die Schiene und das Rad sind im

Anhang 6.3 aufgelistet. Mit diesen Daten ergibt sich laut den Gln. (2.8) und (2.11) für

Triebwagenräder ein Äquivalentradius von:

mm

mm

mm

R

5

,

402

540

300

*

und für die Waggonräder beträgt dieser:

mm

mm

mm

R

5

,

367

450

300

*

Die Radien

1

x

R (Längsrichtung Schiene) und

2

y

R

(Querrichtung Rad) sind dabei jeweils

unendlich, fallen also in der Gl. (2.8) weg. Für das äquivalente Elastizitätsmodul (Gl. 2.12)

ergibt sich folgender Wert:

2

2

2

*

115385

210000

3

,

0

1

2

1

mm

N

mm

N

E

Mit diesen Werten können nach der Gl. (2.13) für die einzelnen Radlasten die jeweiligen

Flächenpressungen ausgerechnet werden. Der Exzentrizitätsbeiwert

1

F

wird im Diagramm 1

abgelesen. Mit

34

,

1

2

1

y

x

R

R

für Lokräder bzw. 1,22 für Waggonräder ergibt dafür sich in

beiden Fällen ein Wert von 0,99. Die Flächenlasten, die sich für die verschiedenen mög-

lichen Radlasten ergeben, sind in der vierten Spalte von Tabelle 3.1 aufgelistet. Die Werte

für die Radlasten von 9,75 t bzw. 10 t sind geringer, weil zu diesen Werten größere Räder

gehören und sich somit ein größerer Äquivalentradius ergibt. Die Länge a der Kontaktfläche

kann mit der Gl. (2.14) berechnet werden, die Werte sind in der fünften Spalte der Tabelle

3.1 angegeben.

Mit den Gln. von McEwan (2.16-2.19) können die Normalspannungen in x-, y- und

z-Richtung sowie die Schubspannung in der x-z-Ebene ausgerechnet werden. Die drei-

dimensionale Darstellung der Spannungsverteilung in der x-z-Ebene ist im Anhang 6.4.1 zu

finden (siehe Diagramme 6.1-1 bis 6.1-7). In den Diagrammen 4 und 5 sind die Spannungs-

verläufe entlang der x-Achse an der Oberfläche und in 6 mm Tiefe für einen Reibkoeffi-

zienten von 0,2 eingezeichnet. Es wurde mit vollem Gleiten gerechnet,

d. h. |T/P|=. Die Spannungsverteilung entlang der y-Achse wird bei Walzenkontakt als

konstant angenommen.

---

30

Diagramm 4: Normal- und Schubspannungen für die maximale Radlast an der Oberfläche

(für RL = 11,25t)

Diagramm 5: Normal- und Schubspannungen für die maximale Radlast in 6mm Tiefe (für

RL = 11,25t)

---

31

Es ist zu erkennen, dass an der Oberfläche die Spannungsspitzen in x- und in z-Richtung fast

gleich groß sind. In y-Richtung beträgt die größte Spannung ca. 2/3 von den Maximalwerten

in x- oder z-Richtung. An der Oberfläche herrscht also ein weitgehend hydrostatischer

Spannungszustand. Es treten zwar hohe Spannungswerte auf, diese sind aber in alle

Richtungen verhältnismäßig gleich groß, so dass das Material zwar stark gedehnt bzw.

gepresst, aber nur wenig verzerrt wird.

Ins Materialinnere hinein nimmt der Maximalwert von

x

sehr rasch ab, während das Maxi-

mum von

z

zuerst sehr wenig geringer wird. Daher ist in diesem Bereich die Spannung

senkrecht zur Schienenoberfläche dominierend. Die Schubspannungen sind im Vergleich mit

den Normalspannungen im Inneren größer als an der Oberfläche. Die maximalen Schub-

spannungen treten in einer Tiefe von ca. 6 mm auf (abhängig von der Größe der Belastung

und dem Reibkoeffizienten).

Mit Hilfe der Gl. (2.23) können aus diesen Spannungen die Hauptspannungen und die

Hauptspannungsrichtungen errechnet werden. In den Diagrammen 6 und 7 sind die Verläufe

der Hauptspannungen

I

und

II

entlang der x-Achse eingezeichnet. Die dritte Haupt-

spannungsrichtung verläuft in y-Richtung. Die Spannung in y-Richtung gleichzeitig einen

Hauptspannung. Die Diagramme mit der dreidimensionalen Darstellung der Haupt-

spannungen befinden sich im Anhang 6.4.1.

Diagramm 6: Hauptspannungen für die maximale Radlast an der Oberfläche (für

RL = 11,25 t)

---

32

Diagramm 7: Hauptspannungen für die maximale Radlast in 6 mm Tiefe (für RL = 11,25t)

An der Oberfläche treten sowohl Druck- als auch Zugspannungen auf. Die Zugspannungen

befinden sich am Rand der Kontaktfläche vor der Kontaktmitte. Die Druckspannungen sind

wesentlich höher als die Zugspannungen und ihr Maximum liegt ungefähr in Kontaktmitte.

Im Inneren des Gleiskörpers treten nur noch Druckspannungen auf. Die Maxima der Haupt-

spannungen liegen alle im Zentrum der Kontaktfläche. Die Verformungsenergie, die durch

den Kontakt in das Gleis geleitet wird, ändert vorwiegend nur das Volumen des Materials.

Lediglich die geringen Spannungsdifferenzen zwischen den Hauptspannungen führen zu

einer Änderung der Form des Materials und damit zu Verzerrungen, aufgrund derer sich

Risse bilden können. In der Vergleichsspannung, die sich mit der GEH (Gl. 2.29) berechnet,

wird nur dieser Anteil der Spannung betrachtet. Der Verlauf der Vergleichsspannung entlang

der x- bzw. der z-Achse ist in den Diagrammen 8 und 9 dargestellt.

---

33

Diagramm 8: Vergleichsspannung nach der GEH an der Oberfläche und in 6 mm Tiefe (für

RL = 11,25t)

Diagramm 9: Verlauf der Vergleichsspannungen über der Tiefe z für verschiedene Reib-

koeffizienten

(für RL = 11,25 t)

---

34

Der Verlauf der Vergleichsspannung über die Tiefe z zeigt für alle Reibwerte zwei Maxima,

eines an der Oberfläche und eines im Inneren in einer Tiefe von ca. 6 mm. Für geringe

Reibwerte ist das Maximum im Inneren höher, als das an der Oberfläche. Ab einem Reib-

wert von 0,3 übersteigt das Maximum an der Oberfläche das im Inneren. Es muss also zum

einen auf jeden Fall die Dauerfestigkeit an der Oberfläche untersucht werden. Die Lage des

Maximum im Inneren variiert in Abhängigkeit von der Größe des Reibwertes und der

Kontaktfläche a in Abhängigkeit der Radlast. Jedoch ist zu erwarten das bei der größten

Radlast von 11,25 t die maximale Vergleichsspannung auftritt. Bei anderen Radlasten

könnte das Maximum in einer anderen Tiefe liegen, jedoch wird hier die Vergleichs-

spannung geringer sein. Bei RL = 11,25 t tritt es jedoch immer in einem Bereich von ca. 6

mm auf. Deshalb wird als zweite kritische Stelle die Dauerfestigkeit in der Tiefe von 6 mm

untersucht.

3.3. Spannungsberechnung mit CONTACT

Die Berechnungen für den dreidimensionalen Fall wurden mit dem Programm CONTACT

durchgeführt. In einer Eingabedatei wurden Parameter an das Programm übergeben. Das

Programm CONTACT schreibt die Ergebnisse in eine Ausgabedatei, welche später aus-

gewertet wird.

Es wurden folgende Eingabeparameter übergeben:

- die Querkontraktionszahl

= 0,3

- das Schubmodul G = 81.000 N/mm

2

- die Radien a und b der Kontaktellipse: Die mit Hilfe der Gln. (2.22) erhaltenen

Ergebnisse sind in Tabelle 3.2 zusammengefasst. Das Verhältnis b/a beträgt dabei für

Waggonräder 0,89 und für Lokomotivräder 0,85.

- die mit dem Schubmodul G normierte Gewichtskraft P (siehe Tabelle 3.2)

- die Geschwindigkeit S: Dabei handelt es sich um den Weg, um den sich der Körper

während eines imaginären Zeitintervalls weiterbewegt haben soll. Dieser Parameter

ist lediglich eine "numerische Steuergröße" und wurde gleich Eins gesetzt.

- der Reibkoeffizient

: Es wurden Werte zwischen 0 und 0,4 verwendet.

- der Starrkörperschlupf: Er wurde so gewählt, dass vollständiges Gleiten vorliegt. Mit

einem Wert des Parameters FUX=1 ist diese Vorgabe erreicht. Der Schlupf in

y-Richtung und der Bohrschlupf wurden Null gesetzt.

---

35

Radlast

(t)

5,95 6,60 6,75 7,65 7,75 8,75 9 9,75 10 11,25

Radius a [mm]

5,4

5,6

5,7

5,9 5,9 6,2 6,2 6,7 6,8 6,7

Radius b [mm]

4,9

5,1

5,2

5,4 5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1

normierte Gewichts-

kraft P/G [mm

2

]

0,72 0,80 0,82 0,93 0,94 1,06 1,09 1,18 1,21 1,36

Tabelle 3.2: Radien a und b der Kontaktellipse und die mit dem Schubmodul normierte Gewichtskraft.

Die weiteren Steuerungsparameter für das Programm wurden so eingestellt, dass elastischer

Kontakt und vollständiges Gleiten vorherrscht.

Von den Ergebnissen der Ausgabedatei wurden die Normalspannungen und die Schub-

spannungen an der Oberfläche sowie in der x-z-Ebene für y = 0 und in der y-z-Ebene für x =

0 ausgewertet.

Die Normalspannungen an der Oberfläche des Gleises sind im Diagramm 10 eingezeichnet.

Hier sieht man noch deutlicher als bei der zweidimensionalen Berechnung, dass die

Spannungen in den drei Richtungen im Druckbereich ungefähr gleich groß sind, es herrscht

also ein nahezu hydrostatischer Druckzustand.

Diagramm 10: Normalspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für

RL = 11,25 t)

---

36

Die Schubspannungen an der Oberfläche sind im Diagramm 11 dargestellt. In der y-z-Ebene

treten keine Schubspannungen auf und in der x-y-Ebene sind diese so gering, dass sie im

Vergleich mit den Normalspannungen vernachlässigt werden können.

Diagramm 11: Schubspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für

RL = 11,25 t)

Da also nur in der x-z-Ebene beachtliche Schubspannungen auftreten, können die Haupt-

spannungen in dieser Ebene mit den Gln. (2.23) ausgerechnet werden. Sie sind im

Diagramm 12 wiedergegeben. Infolge der Schubspannungen liegen die Maxima der

Hauptspannungen in Diagramm 12 nicht mehr so dicht beisammen wie die Maxima

der Normalspannungen in Diagramm 10. Weiterhin treten in den Hauptspannungsrichtungen

überwiegend Druckspannungen auf. Lediglich am Rand der Kontaktellipse wird die

Spannung in einer Hauptrichtung positiv, während die Spannungen in den beiden anderen

Hauptrichtungen nur sehr gering sind.

---

37

Diagramm 12: Hauptspannungen an der Oberfläche für die maximale Radlast (für

RL = 11,25 t)

Werden die Spannungen an der Oberfläche entlang der y-Achse (vgl. Diagramm 13 und

Diagramm 14) betrachtet, ist für die Normalspannungen ein symmetrischer Spannungs-

verlauf zu erkennen. Bei den Schubspannungen ist zu sehen, dass sie in

y-Richtung in der x-y-Ebene nicht mehr vernachlässigbar sind. An den Seitenrändern der

Kontaktellipse, an denen die

xy

-Schubspannung maximal wird, sind die Normalspannungen

jedoch sehr gering.

---

38

Diagramm 13 Normalspannungen entlang der y-Achse an der Oberfläche für die maximale

Radlast (für RL = 11,25 t)

Diagramm 14 Schubspannungen entlang der y-Achse an der Oberfläche für die maximale

Radlast (für RL = 11,25 t)

---

39

Betrachtet man die Verteilung der Vergleichsspannung in y-Richtung (vgl. Diagramm 15),

ist zu erkennen, dass zumindest ab einem Reibwert von 0,2 die höchsten Spannungen in der

Mitte der Kontaktellipse auftreten. Das Zentrum der Kontaktellipse ist also kritischer als der

Rand der Ellipse und die Schubspannungen in der x-y-Ebene können vernachlässigt werden.

Es werden deshalb nur die Spannungen entlang der x-Achse bei einem y-Wert von 0 unter-

sucht.

Diagramm 15: Vergleichsspannung an der Oberfläche entlang der y-Achse für verschiedene

Reibwerte und für die maximale Radlast (für RL = 11,25 t)

Bei der Betrachtung der Spannungsverläufe im Inneren des Gleiskörpers (für die dreidimen-

sionale Darstellung der Spannungen: Siehe Anhang 6.4.1), ist zu erkennen, dass die

Spannungen

x

und

y

in z-Richtung schnell abklingen, während die Spannung

z

in dieser

Richtung nur sehr langsam abnimmt. Die Normal- und Schubspannungen in der Tiefe von 3

mm sind in den Diagrammen 16 und 17 eingezeichnet. Während die Spannung

z

gerade um

ca. ein Sechstel abgenommen hat, beträgt der Wert der Spannungen

x

und

y

nur noch

ungefähr ein Viertel des Wertes an der Oberfläche.

---

40

Diagramm 16: Normalspannungen in der Tiefe von z = 3 mm für die maximale Radlast (für

RL = 11, 5t)

Diagramm 17: Schubspannungen in der Tiefe von z = 3 mm für die maximale Radlast (für

RL = 11,25 t)

---

41

In der x-z-Ebene (y=0) treten nur noch

xz

-Schubspannungen auf, so dass auch hier wieder

die Hauptspannungen in dieser Ebene berechnet werden können. Die Spannung

xy

ist in

dieser Tiefe bereits abgeklungen. Diagramm 18 zeigt, dass eine starke Druckspannung in der

zweiten Hauptspannungsrichtung auftritt, während in den beiden anderen Hauptspannungs-

richtungen die Spannungen relativ gering sind.

Diagramm 18: Hauptspannungen in der Tiefe von 3 mm für die maximale Radlast (für

RL = 11,25 t)

Die Vergleichsspannung nach der GEH ist hier also höher als an der Oberfläche. Diagramm

19 zeigt den Verlauf der Vergleichsspannungen an der Oberfläche und in einer Tiefe von 3

mm. Die Höhe der Spannungen an der Oberfläche ist jedoch stark von dem Reibkoef-

fizienten

abhängig. Für größere Werte von können die Vergleichsspannungen an der

Oberfläche die im Inneren übersteigen.

---

42

Diagramm 19: Vergleichsspannungen nach der GEH an der Oberfläche und in einer Tiefe

von z = 3 mm für die maximale Radlast (für RL = 11,25 t)

Diagramm 20 zeigt den Verlauf der Maximalwerte der Vergleichsspannungen nach der GEH

über die Tiefe z für verschiedene Werte des Reibkoeffizienten. Es ist zu erkennen, dass es

auch bei der Rechnung mit CONTACT zwei Ebenen in der Schiene gibt, die untersucht

werden müssen, da in diesen die Vergleichsspannungen ein Maximum besitzt. Das ist zum

einen die Oberfläche und zum anderen die Ebene in einer Tiefe von 3 mm.

Diagramm 20: Verlauf der Maximalwerte der Vergleichsspannungen über die Tiefe z für

verschiedene Reibkoeffizienten (für RL = 11,25 t)

---

43

3.4. Lastakkumulation

Mit dem Klassengrenzenüberschreitungs-Verfahren (vgl. Abschnitt 2.2.3) ist es möglich, aus

der Anzahl der Lastspiele und der Spannungsverteilung ein Lastkollektiv zu erstellen, das

alle wichtigen Informationen über die Belastung der Schiene enthält. Aus diesem Last-

kollektiv können die maximalen Spannungen abgelesen werden, die Ober- und die Unter-

spannung. Mit Hilfe der Gln. (2.31) und (2.32) lässt sich daraus die Mittelspannung und die

Amplitudenspannung errechnen. Der Abschnitt 6.4.2. im Anhang enthält die Diagramme mit

den Lastkollektiven (siehe Diagramme 6.3-1 bis 6.3-8 sowie Diagramme 6.4-1 bis 6.4-8)

und die Tabellen mit den Spannungswerten (siehe Tabellen

6.7-1 bis 6.7-4 sowie Tabellen 6.8-1 bis 6.8-4) sowohl für die zweidimensionale als auch für

die dreidimensionale Rechnung. Es wurden dabei jeweils Werte einmal von der Oberfläche,

zum anderen von der Tiefe verwendet, an der die maximale Vergleichsspannung auftritt, also

für die Rechnung nach McEwan die Tiefe von 6 mm und für die Rechnung mit dem

CONTACT-Programm die Tiefe von 3 mm.

Je nach Beschaffenheit der Strecke und den Witterungsbedingungen können unterschiedliche

Reibwerte zwischen der Schiene und dem Rad auftreten. Für die Berechnung wurde

folgende Verteilung der Reibwerte über das Jahr angenommen:

Reibwert

0 0,1 0,2 0,3

Anzahl der Tage / Jahr

10

90

150

90

Anzahl der Tage / Liegezeit

200 1800 3000 1800

Tabelle 3.3: Verteilung der Reibwerte

Das sind insgesamt zwar weniger als 365 Tage pro Jahr, aber an den Wochenenden herrscht

auf den Strecken weniger Verkehr. Es wurde mit einer Liegezeit der Schienen von 20 Jahren

gerechnet.

Um eine Dauerfestigkeitsabschätzung durchführen zu können, sind laut Gl. (2.47) die

Mittelspannungen in den drei Hauptspannungsrichtungen nötig. Diese können für die Rech-

nung nach McEwan aus den Tabellen 6.7-1 und 6.7-2 bzw. für die Rechnung mit

CONTACT aus den Tabellen 6.8-1 und 6.8-2 abgelesen werden. Aus diesen Werten berech-

net sich die Vergleichsmittelspannung laut Gl. (2.30) und die Äquivalentmittelspannung laut

Gl. (2.48). Die Amplitudenvergleichsspannung berechnet sich mit den Werten aus den

Tabellen im Anhang 6.4.2. nach der Gl. (2.30). Die Ergebnisse sind in Tabelle 3.4.

zusammengefasst.

---

44

McEwan CONTACT

z = 0 mm

z = 6 mm

z = 0 mm

z = 3 mm

Mittelspannung - I

Im

-180

-175

-140

-115

Mittelspannung - II

IIm

-875

-585

-785

-545

Mittelspannung - y

ym

-315

-230

-525

-125

Vergleichsmittelspannung

vm

638

385

562

425

Äquivalentmittelspannung

m

*

-732

-605

-888

-360

Vergleichsampitudenspannung

va

345

385

248

410

Tabelle 3.4: Spannungen in N/mm

2

zur Dauerfestigkeitsabschätzung der Rechnung nach McEwan und der

Rechnung mit dem CONTACT-Programm für die Oberfläche und die kritischen Tiefen im Inneren des Gleises.

Jetzt müssen diese Werte in ein Dauerfestigkeitsschaubild eingetragen und überprüft werden,

ob sie sich innerhalb der angenommenen Dauerfestigkeitsgrenzen befinden.

3.5. Dauerfestigkeitsgrenzen der Schienenoberfläche

Mit den im Anhang 6.3 angegeben Materialwerten kann einfach ein Dauerfestigkeits-

schaubild, ein sogenanntes Smith-Diagramm konstruiert werden. Mithilfe der Zugfestigkeit

R

M

und der Wechselfestigkeit R

W

können die Gerber-Parabel (siehe

Gl. 2.36) sowie die Goodman-Gerade (siehe Gl. 2.38) gezeichnet werden. Die Dauerfestig-

keitsgrenzen im positiven Bereich bilden die Goodman-Gerade sowie die Dehngrenze R

E

.

Diagramm 21: Dauerfestigkeitsschaubild für Schienenstahl UIC 900A.

---

45

Aus diesem Diagramm lässt sich die Schwellfestigkeit, das ist die Spannung, bei der das

Material bei einseitiger positiver Belastung gerade noch dauerfest ist, ablesen. Sie beträgt für

Schienenstahl:

2

480

mm

N

Schw

Mit dem Smith-Diagramm lässt sich somit auf einfache Weise die Dauerfestigkeit für

positive Mittelspannungen überprüfen. Im negativen Bereich wird die Mittelspannungs-

empfindlichkeit bei dieser Vorgehensweise jedoch nicht ausreichend berücksichtigt. Im

Bereich positiver Mittelspannungen bezieht zwar die Goodman-Gerade die Abhängigkeit der

Dauerfestigkeit von der Mittelspannung mit ein, im negativen Bereich ist sie allerdings eine

schlechte Näherung. Die Amplitudenspannung könnte bei entsprechend hoher Mittel-

spannung beliebig hoch werden. Dies ist unwahrscheinlich. Die Näherung nach Gerber

berücksichtigt hingegen die Mittelspannungsempfindlichkeit überhaupt nicht. Die Good-

mangerade ist somit im Bereich positiver Mittelspannungen eine brauchbare Dauer-

festigkeitsgrenze. Die Gerberparabel eignet sich eher als Dauerfestigkeitsgrenze im nega-

tiven Bereich, allerdings nur für Werkstoffe, bei denen eine negative Mittelspannung nicht

zu einer Erhöhung der Dauerfestigkeit führt.

Auf der Schienenoberfläche herrschen ausschließlich negative Mittelspannungen. Es tritt ein

Spannungsverlauf mit großen hydrostatischen Anteilen auf, das heißt, das Material wird von

allen Seiten unter Druck gesetzt. (Zwar treten bei einer Hauptspannung auch positive Werte

auf, aber die negativen Werte dieser Spannung sind betragsmäßig größer, so dass die Mittel-

spannung auch in dieser Spannungsrichtung negativ ist.)

Für die Untersuchung des Bereiches der negativen Mittelspannungen eignet sich das Haigh-

Schaubild. In ihm werden die ertragbaren Amplitudenspannungen über der Mittelspannung

aufgetragen. Diagramm 22 zeigt ein solches Schaubild, in dem Dauerfestigkeitsgrenzen und

die Messwerte aus dem Versuch entsprechend Abschnitt 6.3, Tabelle 6.5, eingezeichnet

wurden. (Genaue Darstellung des Haigh-Schaubildes: siehe Anhang 6.4.3.) Es wurden die

Goodman-Gerade (Gl. 2.38), die Parabel, welche für duktile Werkstoffe empfohlen wird (Gl.

2.37) sowie die Gerber-Parabel (Gl. 2.36) eingezeichnet.

---

46

Diagramm 22: Haigh-Schaubild. Die farbigen Linien sind die Dauerfestigkeitsgrenzen, die grauen Linien die

statischen Festigkeitsgrenzen. Die schwarzen Kreuze sind die Messwerte, die bei einem Dauerfestigkeits-

versuch mit Schienenstahl bei unterschiedlicher Mittelspannung ermittelt wurden. Die Ausfallwahrscheinlich-

keit beträgt jeweils 90%, 50% und 10%. Die Dauerfestigkeitgrenzen wurden für eine Ausfallwahrscheinlichkeit

von 10% konstruiert. Die schwarzen Linien sind stets lineare Verlängerungen von der Wechselfestigkeit aus

(

m

= 0).

Wenn die Messwerte für eine Mittelspannung von 0 und für die negative Mittelspannung

verbunden und linear in den negativen Bereich verlängert werden, ergibt sich eine auf den

Messwerten beruhende Näherung für die Dauerfestigkeitsgrenze des Werkstoffes. Es ist zu

erkennen, dass diese Linie (schwarz) der berechneten Parabel für duktile Werkstoffe (PfdW)

am ähnlichsten ist.

Rechnet man nach der Methode von Schütz

19

die Mittelspannungsempfindlichkeit aus, ergibt

sich nach Gl. (2.40) folgender Wert:

338

,

0

240

240

321

2

2

2

mm

N

mm

N

mm

N

M

Für die Steigung der Dauerfestigkeitsgrenze im negativen Bereich ergibt sich mit der

Gl. (2.41) also ein Wert von:

6

,

18

tan

1

M

19

Vgl. Schütz, S. 417.

---

47

Diese Gerade verläuft fast genauso, wie die Goodman-Gerade, welche einen Steigungs-

winkel von

7

,

18

950

321

tan

tan

2

2

1

1

mm

N

mm

N

R

R

M

W

besitzt. Eine weitere Möglichkeit, die Dauerfestigkeitsgrenze im negativen Bereich zu

bestimmen, hat Lüpfert

20

vorgeschlagen. Er rechnet mit den Materialwerten einen Expo-

nenten p aus, den er in die Haigh-Funktion einsetzt. Dieser errechet sich aus der

Gl. (2.43):

00

,

1

950

2

480

1

ln

321

2

480

ln

p

Die Haigh-Funktion lautet dann nach der Gl. (2.42) folgendermaßen:

m

m

w

a

R

R

1

Auch diese Näherung entspricht genau der Goodman-Gerade (siehe Gl. 2.38).

Sowohl der Ansatz von Goodman als auch die Näherung der Dauerfestigkeitsgrenze für

duktile Werkstoffe (PfdW) scheinen durch die Materialwerte bestätigt zu werden. Während

es aber fraglich ist, ob die Ansätze von Gerber, Smith und Goodman primär für einen Ein-

satz bei einer negativen Mittelspannung entwickelt wurden, ist der Ansatz der PdfW speziell

im Hinblick auf diesen Aspekt entwickelt worden. Für den Ansatz der PfdW spricht auch,

dass er im Druckbereich eine Art Mittelwert der vorliegenden Hypothesen darstellt, und dass

die einzigen verfügbaren experimentellen Ergebnisse aus einem Dauerfestigkeitsversuch für

Schienenstahl seine Richtigkeit zu bestätigen scheinen. Deshalb soll dieser Ansatz in dieser

Arbeit für die Bewertung der Dauerfestigkeitsabschätzung verwendet werden, bis eine

genauere experimentelle Untersuchung eine bessere Datenbasis für die Beurteilung schafft.

20

Vgl. Lüpfert, S. 68f.

---

48

3.6. Abschätzung der Dauerfestigkeit

In Diagramm 23 sind die Spannungswerte aus der Tabelle 3.4 (siehe Abschnitt 3.4) einge-

tragen, also die Äquivalentmittelspannung auf der Ordinate und die Vergleichsamplituden-

spannung auf der Abszisse. Es wurden vier Werte ausgerechnet und in das Diagramm als

Kreuz eingetragen. Die Werte beziehen sich einmal auf die Oberfläche und einmal auf das

Schieneninnere und wurden jeweils nach McEwan bzw. mit CONTACT ausgerechnet.

(Exakte Darstellung des Haigh-Schaubilds: siehe Anhang 6.4.3.)

Diagramm 23: Haigh-Schaubild mit den Dauerfestigkeitsgrenzen nach Goodman (rot) und nach der Näherung

für duktile Werkstoffe (blau) für die Ausfallwahrscheinlichkeit von 10%. Die Spannungswerte der Rechnung

nach McEwans (an der Oberfläche und in der Tiefe von 6 mm) und nach der Berechnung mit dem CONTACT-

Programm (an der Oberfläche und in der Tiefe von 3 mm) sind als schwarze Kreuze eingezeichnet.

In dem Diagramm ist zu erkennen, dass die Spannungswerte der Schienenoberfläche bei

beiden Näherungen unterhalb der Dauerfestigkeitsgrenze für duktile Werkstoffe liegen. Die

Äquivalentmittelspannungen an der Oberfläche sind relativ hohe Werte im negativen

Bereich und liegen übertragsmäßig über den Werten im Inneren der Schiene. Die

Vergleichsamplitudenspannungen im Inneren sind dagegen höher als diejenigen an der Ober-

fläche. Für die Spannungswerte im Inneren ist bei der Rechnung mit dem CONTACT-

---

49

Programm das Material nicht mehr dauerfest. Während bei der zweidimensionalen

Rechnung nach McEwans der Spannungswert in der Tiefe von 6 mm gerade noch dauerfest

ist, liegt der Wert für die dreidimensionale Rechnung bereits oberhalb der Dauerfestigkeits-

grenze für duktile Werkstoffe. Im Inneren der Schiene ist die Äquivalentmittelspannung

geringer als an der Oberfläche und die Vergleichsamplitudenspannung höher.

Nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze allerdings die Goodman-Gerade an, dann liegen alle

berechneten Werte im dauerfesten Bereich.

---

50

4. Auswertung und Diskussion

4.1. Auswertung der Spannungsberechnung

Die Ergebnisse der Spannungsberechnung nach McEwan und die Ergebnisse der Berech-

nung mit CONTACT sind weitgehend ähnlich. An der Oberfläche herrschen unter der

Kontaktfläche hohe Drucknormalspannungen. Achtbare Schubspannungen treten beim

reinen Rollen nur in der y-z-Ebene auf. Bei der dreidimensionalen Berechnung sieht man

noch deutlicher als im zweidimensionalen Fall, dass die Spannungen ungefähr gleich groß

sind. Der Spannungszustand, der hier herrscht, kommt dem hydrostatischen Spannungs-

zustand, bei dem die Spannungen in allen Richtungen gleich groß sind, noch näher. Das

zeigt sich auch an der Vergleichsspannung, diese ist für die Rechnung mit CONTACT an der

Oberfläche geringer als für die Rechung nach McEwan.

In einem kleinen Bereich um die Kontaktellipse treten bei der x-Komponente und in der

dreidimensionalen Rechnung auch bei der y-Komponente auch Zugspannungen an der Ober-

fläche auf. Diese sind aber nicht so groß, wie die Druckspannungen und sie klingen im

Inneren der Schiene schnell ab.

Je höher der Reibwert ist, desto größer sind auch die Spannungen. Dies gilt für die absoluten

Spannungswerte als auch für die relativen, das heißt, für die Differenzbeträge zwischen den

einzelnen Spannungskomponenten.

Im Inneren der Schienen klingen die Spannungswerte verständlicherweise ab. Dies erfolgt

jedoch für die einzelnen Komponenten unterschiedlich schnell. Während die x- und die y-

Komponente relativ schnell abklingen, bleibt die z-Komponente noch weitgehend konstant.

Dadurch erhöhen sich im Inneren die Spannungsdifferenzen zwischen den einzelnen

Komponenten und damit die Vergleichsspannung. Für die Vergleichsspannung gibt es also

zwei Stellen, an denen sie ein Maximum besitzt. Dies ist einmal die Schienenoberfläche, wo

alle Spannungskomponenten maximal und somit auch die Differenzen relativ groß sind. Ein

zweites Maximum liegt im Inneren der Schiene, weil die z-Komponente der Spannung

weniger stark abklingt als die x- und die y-Komponente.

Auch dieses Phänomen wird bei der dreidimensionalen Rechnung mit CONTACT deutlicher

als bei der Berechnung nach McEwan. Die x- und die y-Werte aus der dreidimensionalen

Rechnung klingen schneller ab, so dass zum einen die Vergleichsspannungen generell höher

sind und zum anderen das Maximum für die Vergleichsspannung eher erreicht ist. Während

es nach McEwan in einem Bereich von ca. 6 mm Tiefe liegt, befindet es sich bei der

---

51

Rechnung mit CONTACT bei ca. 3 mm Tiefe. Generell hängt aber die Lage dieses Maxi-

mums sowohl vom angenommenen Reibwert als auch von der Höhe der Belastung ab.

Der für den Rad-Schiene-Kontakt angenommene Reibwert hat aber im Inneren weniger Ein-

fluss auf die Spannungswerte als an der Oberfläche. Die Werte der Schienenoberfläche

hängen sehr stark von diesem Koeffizienten ab.

Fehlerdiskussion

Sowohl die zweidimensionale Rechnung nach McEwans als auch die dreidimensionale mit

CONTACT sind nur Näherungsrechnungen. Wobei die dreidimensionale Rechnung die

genauere Näherung ist. Es können aber trotzdem Ungenauigkeiten auftreten.

Eine weitere Näherung ist die Geometrie der Schiene und des Rades. Es wurden die Werte

angenommen, die in den Normen vorgegeben sind. Diese sind jedoch Lieferbedingungen

und beziehen sich deshalb auf neue Räder bzw. Schienen. Im Laufe der Zeit nutzen sich die

Schienen und die Räder ab, sie passen sich somit in ihrer Form gegenseitig an. Das bedeutet,

dass die Kontaktfläche zwischen Rad und Schiene größer wird. Die Flächenpressung an der

Kontaktfläche ist aber stark abhängig von der Größe der Kontaktfläche. Eine größere

Kontaktfläche bedeutet deshalb eine geringere Flächenpressung und damit eine geringere

Spannung.

Außerdem wurden in dieser Arbeit nur die Spannungen betrachtet, die aufgrund der

Flächenpressung zwischen Rad und Schiene auftreten. Im Gleis treten aber noch weitere

Spannungen auf, welche die Schiene sowohl entlasten als auch weiter belasten können.

Entlastend für die Dauerfestigkeit wirkt die Biegespannung des Gleises. Sie stellt eine

hydrostatische Druckspannung dar, welche die Mittelspannung im Material erhöht. Sie ist

jedoch im Vergleich zu den Kontaktspannungen nur gering. Weiterhin können Eigen-

spannungen aufgrund von Materialfehlern, Temperaturausdehnungen oder plastischen

Verformungen auftreten. Diese Spannungen und ihre Wirkungen zu bestimmen ist kompli-

ziert und wurde in dieser Arbeit nicht vorgenommen. Plastische Verformungen und Ver-

festigungen an der Schienenoberfläche, welche die Festigkeitswerte steigern und damit die

mögliche Materialbeanspruchbarkeit erhöhen können, wurden ebenfalls nicht mit in Betracht

gezogen.

Die Spannungsberechnungen wurden unter der Annahme vollzogen, dass zwischen Rad und

Schiene vollständiger Schlupf herrscht. Dies tritt jedoch nur unter bestimmten Vorraus-

setzungen auf, wie z. B. beim Beschleunigen. Bei kleinen Schlüpfen, wenn T/P kleiner ist,

---

52

teilt sich die Kontaktfläche in Haft- und Gleitgebiet auf.

21

Hierbei kommt es beim Übergang

vom Haften zum Gleiten zu Unstetigkeiten in den Spannungsverläufen an der Oberfläche,

die sich unter Umständen negativ auf die Dauerfestigkeit auswirken können. Um die Dauer-

festigkeitsabschätzung überschaubar zu halten, wurde auf die Berücksichtigung dieser

speziellen Eigenschaft des Rollkontakts mit Traktion verzichtet, zumal volles Gleiten bereits

bei sehr kleinen Schlüpfen von weniger als einem Prozent auftritt.

Schließlich ist die Annahme, dass die Oberflächen sowohl der Schiene als auch des Rades

vollkommen glatt sind, nur eine Näherung an reale Verhältnisse. Auf den Oberflächen treten

immer geringe Unebenheiten auf, welche die Belastungen der Schiene erhöhen können. Zur

Spannungsberechnung wurde nur der statische Anteil der Belastung berücksichtigt, der

dynamische wurde nicht beachtet.

In dieser Arbeit wurde vorausgesetzt, dass die Radfläche in y-Richtung waagerecht ist. Sie

ist aber geringfügig geneigt, wie in Abb. 15 im Anhang 6.3 zu erkennen ist. Das bedeutet,

dass zusätzliche Schubspannungen auftreten, die nicht mit beachtet wurden. Außerdem

verschiebt sich die Kontaktellipse vom Zentrum der Schienenoberfläche mehr an den Rand,

wodurch die Schiene höher belastet wird. Der in der Arbeit behandelte Fall behandelt auch

nur eine Geradeausfahrt. Zusätzliche Belastungen durch Kurvenfahrten sind nicht berück-

sichtigt worden.

4.2. Auswertung der Dauerfestigkeitsabschätzung

Während die Ergebnisse der Spannungsberechnung im zweidimensionalen Fall und im drei-

dimensionalen Fall sehr ähnlich waren, sind die Ergebnisse der Dauerfestigkeitsabschätzung

ziemlich unterschiedlich. Wenn also ähnliche Spannungswerte verschiedene Ergebnisse der

Dauerfestigkeitsabschätzung liefern, zeigt das, dass die Abschätzung relativ sensibel auf

Veränderungen der Werte reagiert. Die erhaltenen Werte liegen vermutlich alle in einem

Grenzbereich der Dauerfestigkeit und eine eindeutige Aussage ist nicht möglich.

Nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze die Goodman-Gerade an, was ja durch einige

Materialwerte bestätigt wird, sind alle Spannungswerte im dauerfesten Bereich. Wird aller-

dings die Parabel für duktile Werkstoffe als Dauerfestigkeitsgrenze festgelegt, was zum

einen sicherer ist und zum anderen durch mehrere Materialwerte bestätigt wird, ist zumin-

dest ein berechneter Wert außerhalb des dauerfesten Bereichs. Das bedeutet, in diesem

21

Siehe bspw. [6], [7].

---

53

Bereich können sich kleine Risse bilden, welche möglicherweise, wenn sie weiter wachsen,

zu Materialversagen führen.

Die Werte von der Oberfläche der Schiene sind alle im sicheren Bereich. Hier treten sehr

hohe Druckspannungen auf, dies setzt die Äquivalentmittelspannung herab. Die Differenz

zwischen den einzelnen Komponenten der Spannung an der Oberfläche ist nur gering, so

dass sowohl die Vergleichsmittelspannung, welche die Äquivalentmittelspannung beein-

flusst, als auch die Vergleichsamplitudenspannung, die direkt in dem Haigh-Schaubild auf-

getragen ist, gering sind. Diese Phänomene sind bei den Ergebnissen der Berechnung mit

CONTACT stärker ausgeprägt als bei den Ergebnissen der Rechnung nach McEwan, so dass

die dreidimensionalen Werte noch weiter im sicheren Bereich sind, als die zweidimensio-

nalen.

Im Inneren der Schiene sind die Verhältnisse zwischen den beiden Rechnungen genau um-

gekehrt. Bei der dreidimensionalen Rechnung klingen die Spannungswerte schneller ab, als

bei der zweidimensionalen Rechnung, so dass hier die Äquivalentmittelspannung größer ist.

Außerdem wird die Äquivalentmittelspannung noch erhöht durch die Vergleichsmittel-

spannung, welche bei der Rechnung mit CONTACT größer ist als bei McEwan. Auch die

Vergleichsamplitudenspannung bei Rechnung mit CONTACT ist höher. Dies führt dazu,

dass der Spannungswert in einer Tiefe von 3 mm bei der dreidimensionalen Rechnung nicht

mehr im dauerfesten Bereich ist, nimmt man als Dauerfestigkeitsgrenze die PfdW an.

Generell lässt sich sagen, dass die Werte im Inneren der Schiene kritischer sind, als an der

Oberfläche. Ob dies allerdings auch zu einem Dauerfestigkeitsversagen führt, muss dis-

kutiert werden. Wenn die Werte außerhalb der Dauerfestigkeitsgrenzen liegen, ist die Wahr-

scheinlichkeit hoch, dass die Belastung im Laufe der Zeit zu Bildung von Mikrorissen im

Material führt. Es muss jedoch unterschieden werden zwischen einer Anrissdauerfestigkeit

und einer Bruchdauerfestigkeit. Die Spannungen im Inneren der Schiene sind Druck-

spannungen. Bei negativen Mittelspannungen existiert das Phänomen, dass sich bildende

Anrisse nicht weiterwachsen

22

. Es ist anzunehmen, dass die Bildung von Mikrorissen im

Inneren der Schiene nicht unbedingt zum Versagen des Materials führt. Die sich bildenden

Anrisse wachsen dann nicht weiter oder verschließen sich durch die hohen Druckspannun-

gen sogar wieder.

22

Vgl. [16], S. 73ff.

---

54

Fehlerdiskussion

Auch bei der Dauerfestigkeitsrechnung muss angemerkt werden, dass es sich lediglich um

eine Näherungsrechnung handelt. Im dem Fall, der in dieser Arbeit untersucht wird, trifft

dies insbesondere zu, da für die Dauerfestigkeitsrechnung bei mehrachsiger periodischer

Belastung noch keine experimentellen Ergebnisse vorliegen. Sowohl die Lage der Dauer-

festigkeitsgrenzen, als auch der Einfluss einer negativen Mittelspannung konnten nur abge-

schätzt werden.

Weiterhin beruht die Verteilung der Reibwerte über das Jahr nur auf einer Schätzung und

nicht auf einer statistischen Analyse. Vor allem an der Oberfläche wirkt sich dieser Faktor

aber entscheidend auf das Ergebnis aus. Auch der Einfluss der Oberflächengüte auf die

Dauerfestigkeitsberechnung wurde vollständig außer Acht gelassen.

Ansonsten wirken sich die Fehler, die bei der Spannungsberechnung diskutiert wurden, auch

auf die Dauerfestigkeitsabschätzung aus.

---

55

5. Zusammenfassung und Ausblick

Als Ergebnis kann festgehalten werden, dass die Schiene an der Oberfläche dauerfest ist.

Das Ergebnis für die Dauerfestigkeitsabschätzung im Inneren der Schiene kann nicht so ein-

deutig formuliert werden, da hier die Teilergebnisse der beiden durchgeführten Rechnungen

nicht übereinstimmen. Es muss unterschieden werden zwischen der zweidimensionalen

Rechnung nach McEwan, welche als Ergebnis liefert, dass das Material auch im Inneren

dauerfest ist, und der dreidimensionalen Berechnung mit dem CONTACT-Programm, das

ein negatives Ergebnis für das Schieneninnere liefert. Weiterhin muss unterschieden werden,

welche Dauerfestigkeitsgrenze angenommen wird. Nach Goodman ist das Material dauer-

fest, setzt man hingegen die PfdW als Grenze fest, ist das Schieneninnere nicht dauerfest.

Die Ergebnisse der Spannungsberechnung für das Innere der Schiene liegen also in einem

Grenzbereich. Da bei der Fehlerdiskussion jedoch die Faktoren überwiegen, welche das

Material entlasten (größere Kontaktfläche Materialabnutzung, evtl. kein vollständiger

Schlupf, zusätzliche Druckspannungen usw.) und außerdem im Inneren des Materials sich

bildende Anrisse nicht unbedingt zum Materialversagen führen, kann auch für das Innere der

Schiene als Ergebnis formuliert werden, dass das Material hier dauerfest ist. Unter ungüns-

tigen Umständen ist es jedoch nicht vollständig auszuschließen, dass ein Versagen des

Schienenmaterials auf ungenügende Dauerfestigkeit zurückzuführen ist.

Dieses Ergebnis beruht jedoch nur auf einer groben Abschätzung. Um genauere Ergebnisse

zu erhalten, ist es unerlässlich, dass das Materialverhalten experimentell überprüft wird. Es

muss untersucht werden, wie sich der Werkstoff bei negativen Mittelspannungen verhält und

wie er auf mehrachsige Belastungen reagiert. Mit den Ergebnissen einer solchen Unter-

suchung können die Dauerfestigkeitsgrenzen und der Mittelspannungseinfluss genauer

bestimmt werden. Untersuchungen über den Einfluss der Oberflächengüte auf die Dauer-

festigkeit und über die statistische Verteilung von Reibkoeffizienten zwischen Rad und

Schiene im Eisenbahnverkehr könnten bei zukünftigen Arbeiten zu diesem Thema ebenfalls

mit einfließen.

Um die Dauerfestigkeit sicher zu gewährleisten, bietet sich nur an, die Belastungen zu

senken. Die Spannungen in der Schiene hängen stark von der Größe der Kontaktfläche ab.

Generell führt ein konformerer Kontakt zwischen Rad und Schiene zu einer größeren

Kontaktfläche mit einer niedrigeren maximalen Hertzschen Pressung. Dies könnte aber in

einer gewissen Zielkonkurrenz zu anderen Problemfeldern, wie Verschleiß oder Fahr-

komfort, stehen. Eine andere Möglichkeit, die Belastung zu senken, ist die Absenkung der

---

56

maximalen Radlast. Dies ist durch ein geringeres Fahrzeuggewicht oder durch Erhöhung der

Achsenzahl machbar. Vor allem sollten Spitzenwerte bei der Belastung vermieden werden,

da die Überrollanzahl so hoch ist, dass diese Werte ein Dauerfestigkeitsproblem darstellen.

---

57

6. Anhang

6.1. Abschätzung der Radlasten

Für die verschiedenen Zugarten wurden folgende Radsatzlasten (RSL) ermittelt; diese ent-

sprechen dem doppelten der Radlast (RL):

ICE

Mittelwagen

23

(12 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):

Eigenmasse: 46,5 t

76 Personen: 7,6 t

Gesamt: 54,1

t

RSL:

13,5

t

Triebwagen

24

( 2 oder 4 Loks Ø 3 Loks pro Zug à 4 Radsätze):

Gewicht:

78,0

t

RSL:

19,5

t

IC/EC/D

Wagen

25

(8 - 12 Wagen Ø 10 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):

Eigenmasse: Ø 46,0 t

(ca. 42t ­ 48t)

54 - 80 Plätze: Ø 6,8 t

Gesamt:

52,8 t

RSL:

13,2 t

Lokomotiven

26

(jeweils 4 Radsätze):

Gewicht: Ø 80,0 t

(ca. 74t ­ 86t)

RSL:

20,0 t

Regionalzüge:

Doppelstockwagen

27

(4 Wagen pro Zug à 4 Radsätze):

Eigenmasse: Ø 48,0 t

130 Plätze:

13,0 t

Gesamt:

61,0 t

RSL:

15,3 t

23

Aus [9], S. 132, Tab. 5.

24

Aus [9], S.117, Tab. 3.

25

Aus [11], S.10ff.

26

Aus [12], S. 15.

27

Geschätzt.

---

58

Einfache Wagen

28

(6 Wagen pro Zug à 4 Radsätze)

Eigenmasse: Ø 46,0 t

80 Plätze:

8,0 t

Gesamt:

54,0 t

RSL: 13,3 t

Im Schnitt hat also ein Regionalzug

12 Achsen mit RSL =

13,3 t

und 8 Achsen mit RSL =

15,3 t.

Lok: wie beim IC/EC/D

Güterzüge:

Für den Güterverkehr wurde für folgende Zugarten eine Schätzung der Belastungen auf-

gestellt:

KV

ICG etc.

Ganzzug

Logistik

Ganzzug

langsam

EWV

Nah /

Übergabe,

sonstige

Anzahl Waggons

25

15

20

20

20

10

Anzahl Radsätze / Waggon

4

2

2

4

3

3

Anzahl Radsätze / Zug

100

30

40

80

60

30

Eigengewicht Wagen [t]

20

16

16

25

20

20

Ladungsgewicht / Wagen [t]

27,5

15

20

65

32,5

32,5

Gesamtgewicht Wagen [t]

47,5

31

36

90

52,5

52,5

RSL [t]

11,9

15,5

18

22,5

17,5

17,5

Anzahl der Loks [t]

2

2

2

2

2

1

Anzahl der Radsätze (Loks)

8

8

8

8

8

4

RSL (Lok) [t]

20

20 20 20 20 20

Tabelle 6.1: Belastungen Güterzüge

Der Maximalwert für Achslasten ist in Deutschland gesetzlich auf 22,5 t beschränkt.

28

Aus [11], S.10ff.

---

59

6.2. Abschätzung des Verkehrs

Für den Personenverkehr wurde auf 12 Strecken das Verkehrsaufkommen ermittelt

29

. Auf-

geteilt in ICE-Züge, IC-/EC-/D-Züge sowie den Nahverkehr ergibt sich folgende Belastung

der Strecken.

Nr.

Abschnitt

Anzahl

Personen-

züge

ICE

IC/EC/D

Nah-

verkehr

von

bis

1

Glaubitz

Niederau

38

8

11

19

2

Appenweiler

Baden-Baden

64

21

19

24

3

Roth

Reuchtlingen

58

16

7

35

4

Lutherstadt Wittenb. Niedergörsdorf

23

8

6

9

5

Bamberg

Forchheim

52

9

3

40

6

Kassel Wilh.

Göttingen

63

57

6

0

7

Weißenfels

Bad Kösen

66

17

18

31

8

Schlüchtern

Haitz Höchst

62

30

8

24

9

Erfurt

Weimar

56

13

14

29

10

Iphofen

Neustadt/Aisch

53

9

22

22

11

Partenstein

Lohr / Stadt

45

0

20

25

12

Rosenheim

Kiefersfelden

49

2

24

23

Tabelle 6.2: Anzahl der Personenzüge pro Tag

Für den Güterverkehr ergeben sich auf denselben Strecken folgende Belastungen

30

:

Nr.

Abschnitt

Anzahl

Güter-

züge

Zugtypen Obergruppen

von

bis

KV

ICG

etc.

Ganz-

zug

Logistik

Ganz-

zug

langsam

EWV

Nah /

Über-

gabe,

sonstige

1

Glaubitz

Niederau

31

6

5

1

3

2

15

2

Appenweiler

Baden-Baden

69

23

10

0

11

15

10

3

Roth

Reuchtlingen

22

5

3

0

6

1

8

4

Lutherstadt Wittenb. Niedergörsdorf

16

3

1

0

1

1

10

5

Bamberg

Forchheim

33

2

3

0

4

6

19

6

Kassel Wilh.

Göttingen

19

9

6

1

0

1

2

7

Weißenfels

Bad Kösen

41

3

5

0

15

2

16

8

Schlüchtern

Haitz Höchst

41

10

9

0

7

2

13

9

Erfurt

Weimar

20

0

3

0

8

0

9

10

Iphofen

Neustadt/Aisch

39

13

6

4

4

0

12

11

Partenstein

Lohr / Stadt

46

8

6

4

10

8

11

12

Rosenheim

Kiefersfelden

45

27

5

0

3

8

4

Tabelle 6.3: Anzahl der Güterzüge pro Tag

29

Die Werte für den Personenverkehr wurden mit Hilfe des Fahrplans der DB AG (Gültigkeitszeitraum:

15.12.2002 ­ 13.12.2003) ermittelt.

30

Die Werte für den Güterverkehr wurden von der DB Netz AG bezogen.

---

60

Mit diesen Zahlen kann die Belastung der einzelnen Strecken errechnet werden. Mit Hilfe

der Radlasten der unterschiedlichen Zugtypen (siehe Abschnitt 6.1) wurde die Anzahl der

Lastspiele für die einzelnen Radlasten pro Tag ermittelt.

Nr.

Radsatzlasten

Summe

der Über-

rollungen

/Tag

Gesamt-

belastung

/Tag

(t)

Züge

/Tag

11,9 13,2 13,5 15,3 15,5 17,5 18 19,5 20 22,5

1

600 440 612 152 135 563 40 96 309 220

3167 49.194

69

2

2325 760 1296 192

285 1178

0

252

679

880

7847

121.451

133

3

450 280 1188 280 83 293 0 192 315 500

3580 57.065

80

4

300 240 492 72 30 345 0 96 146 80

1801 27.576

39

5

200 120 912 320 90 885 0 108 360 300

3295 54.111

85

6

900 240 2736 0 188 98 50 684 169 0

5064 73.045

82

7

275 720 1188 248 150 608 0 204 461 1220 5074 86.213

107

8

1000 320 1728 192 255 518 0 360 399 540

5312 82.548

103

9

0 560 972 232 90 278 0 156 293 600

3181 52.717

76

10

1325 880 696 176 173 353 160 108 437 300

4607 68.791

92

11

775 800 300 200 173 803 150 0 501 760

4461 73.430

91

12

2675 960 372 184 143 563 0 24 535 200

5655 80.062

94

5,95 6,6 6,75 7,65 7,75 8,75 9 9,75 10 11,25

Radlasten

Tabelle 6.4: Anzahl der Lastspiele pro Tag, für die verschiedenen Radlasten. Die am stärksten belastete

Strecke ist gelb markiert.

Die Strecke 2 ist die am stärksten belastete Strecke. Anhand dieser Strecke wird in dieser

Arbeit die Dauerfestigkeitsabschätzung der Schienenoberfläche durchgeführt.

---

61

6.3. Geometrische Daten und Materialwerte

Geometrie von Schiene und Rad

Raddurchmesser:

ICE ­ Mittelwagen

31

(neu/abgenutzt): 920/860 mm

ICE ­ Triebwagen

32

:

1040 mm

Lokomotiven/Triebwagen

33

:

1100 mm

Güterwagen

34

:

920 mm

1000 mm

Reisezugwagen

35

:

920 mm

Für die Rechnung wird für Lokomotivräder ein Radius von

mm

R

x

540

2

und für Waggonräder ein Radius von

mm

R

x

450

2

verwendet. Der Radius R

y2

ist unendlich, das heißt in der Richtung quer zur Schiene ist das

Radprofil nicht gekrümmt

36

. Dies gilt allerdings nur für neue, das heißt nicht abgefahrene

Räder.

Abbildung 15: Radsatzprofil S1002 mit Radienbemaßung. Die Rad-

mitte befindet sich in dieser Abbildung auf der rechten Seite. (aus [20],

S. 35)

31

Aus [9], S. 75.

32

Aus [9], S. 54.

33

Aus [12], S. 14.

34

Aus [17].

35

Aus [11].

36

Vgl. DIN 5573 oder UIC 812-3.

---

62

Schienengeometrie:

Laut der Norm UIC 861 ist der Radius der Kontaktfläche einer Schiene:

mm

R

y

300

1

Der Radius R

x1

ist unendlich, da die Schiene in Fahrtrichtung nicht gekrümmt oder nur sehr

gering gekrümmt ist (Schienendurchbiegung oder Geländeerhebungen) und damit vernach-

lässigbar ist.

Abbildung 16: Schienenprofil UIC 60 mit

Radienbemaßung. (aus [20], S. 34)

Werkstoffeigenschaften für Rad und Schiene:

E-Modul:

2

2

1

210000

mm

N

E

E

Querkontraktionszahl:

3

,

0

2

1

Werkstoffeigenschaften des Schienenstahls:

Zugfestigkeit:

Die Mindestzugfestigkeit ist laut DIN 5901 vorgegeben mit:

2

,

880

min

mm

N

R

m

In der Literatur werden Werte zwischen

2

700

mm

N

und

2

1300

mm

N

angegeben

37

. Die

Verwendung richtet sich nach der Verwendung der Schiene, das heißt manchmal werden im

Bogen oder bei Weichen höherwertige Typen verwendet.

37

Vgl: [1], S. 69, Tafel 3; [3], S. 844; [4], S. 596; [5], S. 26.

---

63

Für die Rechnung wird ein Mittelwert gebildet aus den Messwerten für die 900A Güten, die

beim geraden Gleis verwendet werden:

2

950

mm

N

R

m

Dehngrenze:

Für die Dehngrenze sind in der Literatur Werte zwischen

2

450

mm

N

und

2

850

mm

N

ange-

geben. Für die Rechnung wurde folgender Mittelwert gebildet:

2

600

mm

N

R

E

Verhältnis zwischen Bruchfestigkeit und Dehngrenze beträgt 0,63 - d. h., der Stahl besitzt

eher duktile Eigenschaften.

Wechselfestigkeit:

Untersuchungen zur Wechselfestigkeit von Schienenstahl gibt es bisher nur wenige. Aus der

für Schnellfahrstrecken üblicherweise verwendeten Schiene wurden in einer Untersuchung

38

Proben entnommen, um deren Wechselverformungs- und Lebensdauerverhalten zu ermitteln.

Außerdem wurde noch der Mittelspannungseinfluss untersucht.

Für die Wechsel- bzw. Dauerfestigkeiten wurden folgende Werte ermittelt:

2

%

10

,

mm

N

R

D

2

%

50

,

mm

N

R

D

2

%

90

,

mm

N

R

D

2

100

mm

N

m

369 351 333

2

0

mm

N

m

342 331 321

2

100

mm

N

m

345 315 285

Tabelle 6.5: Wechselfestigkeiten für die Ausfallwahrscheinlichkeiten von 10%, 50% und 90%.

38

Siehe [1], S. 74.

---

64

6.4 Tabellen und Diagramme

6.4.1. Dreidimensionale Darstellung der Spannungsverteilung unter der Oberfläche

Berechnung nach McEwan

Diagramm 6.1-1

Diagramm 6.1-2

---

65

Diagramm 6.1-3

Diagramm 6.1-4

---

66

Diagramm 6.1-5

Diagramm 6.1-6

---

67

Diagramm 6.1-7

Berechnung mit CONTACT

Diagramm 6.2-1

---

68

Diagramm 6.2-2

Diagramm 6.2-3

---

69

Diagramm 6.2-4

Diagramm 6.2-5

---

70

6.4.2. Lastkollektive

Mit Hilfe des Klassengrenzenüberschreitungs-Zählverfahren (siehe Abschnitt 2.2.3) wurden

für die Spannungen in den Hauptspannungsrichtungen Lastkollektive erstellt. Wie oft jeder

Reibwert zwischen 0 und 0,3 auftritt, wurde in Tabelle 3.3 zusammengefasst. Es wurde mit

einer Gesamtliegezeit der Schienen von 20 Jahren gerechnet. In den Diagrammen sind die

Lastkollektive dargestellt. Auf der Abszisse ist die Anzahl N der Lastspiele logarithmisch

aufgetragen und auf der Ordinate die jeweilige Spannung. Aus diesen Diagrammen lässt sich

für jede Lastspielzahl die maximale und die minimale Spannung ablesen, also die jeweilige

Ober- und Unterspannung. Dies wurde jeweils bei einer Lastspielzahl von N = 10

6

­ also für

den Wert, ab dem ein Material dauerfest ist ­ und bei einer Lastspielzahl von N = 0 ­ also

für die maximal auftretenden Spannungen ­ getan. Aus diesen abgelesenen Werten wurden

anhand der Gln. (2.31) und (2.32) die Mittel- und die Amplitudenspannung errechnet.

Zusätzlich sind noch die Lastkollektive und die Spannungswerte der Vergleichsspannung

nach der GEH aufgeführt.

---

71

Werte von der Rechnung nach McEwan

Die Kollektive wurden jeweils für die Spannungen an der Oberfläche und in einer Tiefe von

6 mm ermittelt.

Diagramm 6.3-1: Hauptspannung I

Diagramm 6.3-2: Hauptspannung I

---

72

Diagramm 6.3-3: Hauptspannung II

Diagramm 6.3-4: Hauptspannung II

---

73

Diagramm 6.3-5: Spannung in Y-Richtung

Diagramm 6.3-6: Spannung in Y-Richtung

---

74

Diagramm 6.3-7: Vergleichsspannung

Diagramm 6.3-7: Vergleichsspannung

---

75

Werte bei N = 10

6

z = 0 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

610 -970 -180

790

Hauptspannung II

0 -1750 -875

875

Hauptspannung y

180 -810 -315

495

Vergleichsspannung

870 0 435

435

Tabelle 6.7-1

z = 3 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

0 -350 -175

175

Hauptspannung II

0 -1170 -585

585

Hauptspannung y

0 -460 -230

230

Vergleichsspannung

810 0 405

405

Tabelle 6.7-2

Maximalwerte

z = 0 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

620 -980 -180

800

Hauptspannung II

0 -1760 -880

880

Hauptspannung y

190 -820 -315

505

Vergleichsspannung

880 0 440

440

Tabelle 6.7-3

z = 3 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

0 -370 -185

185

Hauptspannung II

0 -1180 -590

590

Hauptspannung y

0 -470 -235

235

Vergleichsspannung

820 0 410

410

Tabelle 6.7-4

---

76

Werte aus der Rechnung mit CONTACT

Im Unterschied zu der obigen Ausführung mit den Werten aus der Rechnung nach McEwan

ist die Tiefe für die Werte unterhalb der Oberfläche 3 mm.

Diagramm 6.4-2: Hauptspannung I

Diagramm 6.4-2: Hauptspannung I

---

77

Diagramm 6.4-3: Hauptspannung II

Diagramm 6.4-4: Hauptspannung II

---

78

Diagramm 6.4-5: Spannung in Y-Richtung

Diagramm 6.4-6: Spannung in Y-Richtung

---

79

Diagramm 6.4-7: Vergleichsspannung

Diagramm 6.4-5: Vergleichsspannung

---

80

Werte bei N = 10

6

z = 0 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

620

-900

-140

760

Hauptspannung II

0

1570

785

-785

Hauptspannung y

0

1050

525

-525

Vergleichsspannung 790

0

395

395

Tabelle 6.8-1

z = 3 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

30

-260

-115

145

Hauptspannung II

0

1090

545

-545

Hauptspannung y

0

250

125

-125

Vergleichsspannung 840

0

420

420

Tabelle 6.8-2

Maximalwerte

z = 0 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

650

-910

-130

780

Hauptspannung II

0

1580

810

-770

Hauptspannung y

0

1060

530

-530

Vergleichsspannung 800

0

400

400

Tabelle 6.8-3

z = 3 mm

]

/

[

2

mm

N

o

]

/

[

2

mm

N

u

]

/

[

2

mm

N

m

]

/

[

2

mm

N

a

Hauptspannung I

40

-270

-115

155

Hauptspannung II

0

1100

550

-550

Hauptspannung y

0

260

130

-130

Vergleichsspannung 850

0

425

425

Tabelle 6.8-4

---

81

6.4.3. Exakte Darstellung der Haigh-Schaubilder

Diagramm 6.5-1

---

82

Diagramm 6.5-2

---

83

6.5. Literaturverzeichnis

Literatur

[1] Denne, B.; Lang, K.-H.; Löhe, D.: Verformungs- und Lebensdauerverhalten des

Schienenstahls UIC 60 900 A. In: ZEV + DET Glasers Annalen 125 (2001), S. 67-77.

[2] Dietmann, H.: Werkstoffverhalten unter mehrachsiger schwingender Beanspruchung.

Teil 1: Berechnungsmöglichkeiten. In: Zeitschrift für Werkstofftechnik 4 (1973),

S. 255-263.

[3] Flügge, J.; Heller, W.; Schweitzer, R.: Gefüge und mechanische Eigenschaften von

Schienenstählen. In: Stahl und Eisen 99 (1979), S. 841-845.

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-

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DIN 5574

-

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-

Breitfußschienen. Maße, statische Werte und Stahlsorten. November

1995.

DIN 50 100 -

Werkstoffprüfung ­ Dauerschwingversuch. Begriffe; Zeichen; Durch-

führung; Auswertung. Februar 1978.

UIC 810-1

-

Technische Lieferbedingungen für Rohradreifen aus gewalztem

unlegiertem Stahl für Triebfahrzeuge und Wagen. 4. Ausgabe,

1.7.1981.

UIC 812-3

-

Technische Lieferbedingungen für Vollräder aus gewalztem unlegier-

tem Stahl für Triebfahrzeuge und Wagen. 5.Ausgabe, 1.1.1984.

UIC 860

-

Technische Lieferbedingungen für Schienen. 8. Ausgabe, 1.7.1986.

UIC 861-3

-

Einheitliche Schienenprofile von 60 kg/m. 3. Ausgabe, 1.1.1969.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Inhalt dieses Dokuments?

Dieses Dokument ist eine umfassende Sprachvorschau, die den Titel, das Inhaltsverzeichnis, Ziele und Leitthemen, Kapitelzusammenfassungen und Schlüsselwörter enthält. Der Fokus liegt auf der Analyse des Rollkontaktproblems und der Dauerfestigkeit von Schienenoberflächen, speziell in Bezug auf deutsche Schnellfahrstrecken. Das Dokument enthält ebenso eine Nomenklatur und eine Liste von Abkürzungen. Spannungsberechnungen nach McEwans, Berechnungen mit dem Programm CONTACT, Lastakkumulation und Dauerfestigkeitsabschätzungen sind ebenfalls enthalten.

Was sind die Hauptthemen des Dokuments?

Die Hauptthemen umfassen das Rollkontaktproblem, Dauerfestigkeitsberechnung, Spannungsanalyse in Schienenoberflächen, Lastakkumulation, Dauerfestigkeitsgrenzen von Schienenoberflächen und eine ingenieurmäßige Dauerfestigkeitsabschätzung.

Welche Annahmen und Vereinfachungen wurden getroffen?

Es wurden mehrere Annahmen getroffen, darunter: die Betrachtung von Rad und Schiene als Halbräume, lineare Elastizität des Materials, homogene und isotrope Materialien, glatte Oberflächen und Beschreibbarkeit der Oberflächen durch Flächen zweiten Grades (Hertzsche Annahme).

Welche Methoden zur Spannungsberechnung werden verwendet?

Es werden zwei Hauptmethoden verwendet: eine zweidimensionale Rechnung nach der Methode von McEwan und eine dreidimensionale Spannungsberechnung mit dem Programm CONTACT.

Was ist das Programm CONTACT und wie wird es verwendet?

CONTACT ist ein numerisches Rechenprogramm, das auf der Boundary Element Method (BEM) basiert. Es wird verwendet, um Kontaktspannungen und Spannungen im Inneren von sich berührenden Körpern (Rad und Schiene) zu berechnen. Die Ergebnisse werden für die dreidimensionale Spannungsanalyse verwendet.

Was sind die Dauerfestigkeitsgrenzen und wie werden sie bestimmt?

Die Dauerfestigkeitsgrenzen werden anhand von Materialwerten wie Dehngrenze, Zugfestigkeit und Wechselfestigkeit festgelegt. Die Mittelspannungsabhängigkeit wird durch verschiedene Modelle (Goodman-Gerade, Gerber-Parabel) berücksichtigt. Das Haigh-Schaubild wird zur Darstellung der ertragbaren Amplitudenspannungen in Abhängigkeit von der Mittelspannung verwendet.

Was sind die wichtigsten Abkürzungen, die in dem Dokument verwendet werden?

Zu den wichtigsten Abkürzungen gehören: DB (Deutsche Bahn AG), BEM (Boundary Element Method), FEM (Finite Elemente Methode), GEH (Gestaltänderungsenergiehypothese), ICE (Intercity Express), ICG (InterCargo-Zug), ILR (Institut für Luft- und Raumfahrt), KV (Kombinierter Verkehr), PfdW (Parabel für duktile Werkstoffe), RL (Radlast), RSL (Radsatzlast) und UIC (Union International de Chemins de Fer).

Wie wird die Lastakkumulation durchgeführt?

Die Lastakkumulation wird durch eine Klassengrenzenüberschreitungszählung durchgeführt, um ein Belastungskollektiv zu erstellen, das die Anzahl der Überrollungen und die entsprechenden Spannungen auf der Schienenoberfläche berücksichtigt.

Welche Materialwerte werden für Schiene und Rad angenommen?

Für die Schiene werden ein E-Modul von 210000 N/mm² und eine Querkontraktionszahl von 0,3 angenommen. Die Zugfestigkeit (Rm) variiert zwischen 700 N/mm² und 1300 N/mm² je nach Quelle.

Was ist das Ergebnis der Dauerfestigkeitsabschätzung?

Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die Schiene an der Oberfläche dauerfest ist, aber im Inneren (in einer Tiefe von ca. 3-6 mm) die Belastung möglicherweise die Dauerfestigkeitsgrenze überschreitet, abhängig von der verwendeten Berechnungsmethode (McEwan vs. CONTACT) und der angenommenen Dauerfestigkeitsgrenze (Goodman vs. PfdW). Es wird aber darauf hingewiesen, dass reale Gegebenheiten wie Materialabnutzung und die Existenz von Druckspannungen die tatsächliche Dauerfestigkeit positiv beeinflussen können.

Details

• Hochschule: Technische Universität Berlin (Institut für Luft- und Raumfahrttechnik)
• Note: 1,3
• Autor: Klaus Ullrich (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2003
• Seiten: 84
• Katalognummer: V287746
• ISBN (eBook): 9783656880547
• ISBN (Buch): 9783656880554
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: dauerfestigkeitsabschätzung schienenoberfläche belastung