Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik
kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabhängig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata für
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden beschäftigten. Zu nennen sind hier Céa, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schließlich die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente für elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott.
Die Entwicklung einer entsprechenden Methode für
parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis für derartige Probleme bereits weit fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jahres
2014 am Lehrstuhl für Optimale Steuerung der TU München. Nach dieser kurzen Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode parabolischer
Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie präsentiert werden.
Für weitergehende Fehlerabschätzungen und Stabilitätsaussagen der Galerkin-Verfahren für parabolische Probleme sei auf Thomée verwiesen.
Als Standardwerke für die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen möchte ich noch Evans, sowie Lions und Magenes und Friedman nennen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Problemformulierung
- Galerkin-Zeitdiskretisierung
- Superkonvergenzeigenschaften
- Newton-Verfahren zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems
- Eine erste Entkopplungsvariante
- Inexakter Löser der linearen Subprobleme
- Konvergenz der inexakten Newton-Iteration
- Realisierungen erster und zweiter Ordnung
- Eine zweite Entkopplungsvariante
- Approximation der Koeffizientenmatrix
- Single-Newton-Iteration
- Fehleranalyse
- Numerische Resultate
- Fazit und Ausblick
- Literaturverzeichnis
- Anhang
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der zeitlichen Diskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen mittels kontinuierlicher Galerkin-Methoden. Ziel ist es, effiziente numerische Verfahren zur Lösung der resultierenden semidiskreten Gleichungssysteme zu entwickeln und zu analysieren. Dabei werden insbesondere Newton-basierte Lösungsmethoden für nichtlineare parabolische Probleme betrachtet.
- Entwicklung von Entkopplungsstrategien für das Newton-Update-Gleichungssystem
- Analyse der Konvergenz und Effizienz der entwickelten Verfahren
- Numerische Validierung der theoretischen Ergebnisse
- Untersuchung der Superkonvergenzeigenschaften der Galerkin-Zeitdiskretisierung
- Anwendung der entwickelten Verfahren auf konkrete Beispiele
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel bietet eine Einleitung in die Thematik der zeitlichen Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen und stellt den Kontext der Arbeit dar. Kapitel 2 definiert das zu lösende Problem und führt die notwendigen mathematischen Grundlagen ein. Kapitel 3 behandelt die Galerkin-Zeitdiskretisierung und erläutert die grundlegenden Konzepte und Eigenschaften der Methode. Kapitel 4 untersucht die Superkonvergenzeigenschaften der Galerkin-Zeitdiskretisierung. Kapitel 5 widmet sich der Anwendung des Newton-Verfahrens zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems. Kapitel 6 präsentiert eine erste Entkopplungsvariante für das Newton-Update-Gleichungssystem, die auf blockweiser Elimination basiert. Kapitel 7 stellt eine zweite Entkopplungsvariante vor, die auf der Idee der Single-Newton-Iteration beruht. Kapitel 8 zeigt numerische Resultate, die die Effizienz und Genauigkeit der entwickelten Verfahren bestätigen. Das Fazit und der Ausblick in Kapitel 9 fassen die wichtigsten Ergebnisse zusammen und geben Hinweise auf zukünftige Forschungsrichtungen.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die Galerkin-Zeitdiskretisierung, parabolische partielle Differentialgleichungen, Newton-Verfahren, Entkopplungsstrategien, Superkonvergenz, numerische Verfahren, Fehleranalyse und effiziente Implementierung.
- Arbeit zitieren
- Christoph Weber (Autor:in), 2014, Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/283278
