Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik
kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabhängig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata für
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden beschäftigten. Zu nennen sind hier Céa, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schließlich die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente für elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott.
Die Entwicklung einer entsprechenden Methode für
parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis für derartige Probleme bereits weit fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jahres
2014 am Lehrstuhl für Optimale Steuerung der TU München. Nach dieser kurzen Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode parabolischer
Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie präsentiert werden.
Für weitergehende Fehlerabschätzungen und Stabilitätsaussagen der Galerkin-Verfahren für parabolische Probleme sei auf Thomée verwiesen.
Als Standardwerke für die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen möchte ich noch Evans, sowie Lions und Magenes und Friedman nennen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Problemformulierung
3 Galerkin-Zeitdiskretisierung
4 Superkonvergenzeigenschaften
5 Newton-Verfahren zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems
6 Eine erste Entkopplungsvariante
6.1 Inexakter Löser der linearen Subprobleme
6.2 Konvergenz der inexakten Newton-Iteration
6.3 Realisierungen erster und zweiter Ordnung
7 Eine zweite Entkopplungsvariante
7.1 Approximation der Koeffizientenmatrix
7.2 Single-Newton-Iteration
7.3 Fehleranalyse
8 Numerische Resultate
9 Fazit und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der effizienten numerischen Lösung von parabolischen partiellen Differentialgleichungen, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf der zeitlichen Galerkin-Diskretisierung sowie der Entwicklung und Analyse von Entkopplungsvarianten für das resultierende Newton-Verfahren liegt.
- Zeitliche Diskretisierung parabolischer Probleme mittels cG(r)-Verfahren
- Formulierung und Lösung der nichtlinearen Gleichungssysteme durch Newton-Verfahren
- Entwicklung und Vergleich zweier Entkopplungsstrategien zur effizienten Berechnung
- Fehleranalyse und Untersuchung der Superkonvergenzeigenschaften
- Numerische Validierung der Methoden anhand linearer und nichtlinearer Problemstellungen
Auszug aus dem Buch
6.1 Inexakter Löser der linearen Subprobleme
Führt man in (5.3) nun Blockelimination durch, so erhält man ein System der Form, wobei ˆpij die Transformation der rechten Seite repräsentiert. Da keine spezielle Eliminationsstrategie gewählt wurde, ist das obige System für gegebenes r und zeitliche Basen {ψj}r,j=0, {ψ˜i}ri=1 nicht eindeutig bestimmt.
Die Blöcke der oberen Dreiecksmatrix bestehen aus Polynomen pij vom Grad höchstens i in L. Die Polynome ˆpij der rechten Seite haben maximal Grad i−1. Durch eine geeignete Eliminationsstrategie kann unter Umständen ein kleinerer Polynomgrad erzielt werden. Offensichtlich ist es nicht zielführend, Gleichungen zu lösen, in denen Potenzen von L vorkommen, die größer als 1 sind, da durch Potenzieren der Matrix ¯A die Steifigkeit und somit die Kondition des Systems stark wächst, sowie die Matrix L i.A. nicht mehr so dünn besetzt sein wird. Mit derartigen Polynomen kann nur effektiv umgegangen werden, wenn sie in Linearfaktoren zerfallen. Sodann ist es möglich die Gleichungen in mehreren Schritten mit Matrizen der Form Id+θL zu lösen. Eine Assemblierung von L kann durch Multiplikation mit M auf beiden Seiten vermieden werden.
Die Frage ist nun also, ob die zeitliche Basis und die Eliminationsstrategie so gewählt werden können, dass alle Polynomne pii mit i = 1, ..., r nur reelle Nullstellen haben und daher in Linearfaktoren zerfallen. Man betrachte zunächst eine einfache eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung d/dt u + λu = 0, u(0) = u0 mit λ > 0 als Testproblem, um diesen Sachverhalt besser zu verstehen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Historischer Abriss der Finite-Elemente-Methode und Einordnung der Arbeit im Rahmen der Independent Studies an der TU München.
2 Problemformulierung: Definition des funktionalanalytischen Rahmens für die untersuchte Klasse parabolischer Differentialgleichungen inklusive der schwachen Formulierung.
3 Galerkin-Zeitdiskretisierung: Einführung der semidiskreten cG(r)-Formulierung und der vollständig diskretisierten Variante mittels finiter Elemente.
4 Superkonvergenzeigenschaften: Analyse der Konvergenzeigenschaften des cG(r)-Verfahrens an ausgezeichneten Punkten wie Stützstellen.
5 Newton-Verfahren zur Lösung des diskretisierten Gleichungssystems: Herleitung und Formulierung des Newton-Verfahrens zur Lösung der nichtlinearen Systeme.
6 Eine erste Entkopplungsvariante: Vorstellung einer auf Blockelimination basierenden Entkopplungsmethode zur Vermeidung der vollständigen Systemassemblierung.
7 Eine zweite Entkopplungsvariante: Analyse der Single-Newton-Iteration, welche auf einer Approximation der Koeffizientenmatrix basiert.
8 Numerische Resultate: Umfangreiche experimentelle Überprüfung der vorgestellten Methoden an linearen und nichtlinearen Testbeispielen.
9 Fazit und Ausblick: Zusammenfassung der Ergebnisse und Diskussion offener Fragen zur weiteren Optimierung und Anwendung.
Schlüsselwörter
Parabolische Differentialgleichungen, Galerkin-Zeitdiskretisierung, cG(r)-Verfahren, Newton-Verfahren, Entkopplungsvarianten, Blockelimination, Single-Newton-Iteration, Superkonvergenz, Finite-Elemente-Methode, Numerische Realisierung, Fehleranalyse, Kontraktionsraten, Stabilität, Zeitdiskretisierung, Numerische Resultate.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von parabolischen partiellen Differentialgleichungen, speziell mit der Zeitdiskretisierung durch stetige Galerkin-Verfahren (cG(r)) und effizienten Lösungsalgorithmen für die dabei auftretenden nichtlinearen Gleichungssysteme.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Zentrale Themen sind die mathematische Formulierung, die Anwendung des Newton-Verfahrens zur Lösung diskretisierter Systeme, die Entwicklung von Entkopplungsstrategien zur Reduktion des Rechenaufwands sowie die Fehler- und Konvergenzanalyse dieser Verfahren.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das primäre Ziel ist es, effiziente numerische Realisierungen für das cG(r)-Verfahren zu entwickeln, insbesondere durch die Entkopplung der zu lösenden Newton-Update-Systeme, und die Qualität dieser Approximationen theoretisch und numerisch zu belegen.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär verwendet?
Es wird die Methode der finiten Elemente in Verbindung mit einer zeitlichen cG(r)-Diskretisierung verwendet. Zur Lösung der nichtlinearen Probleme kommen inexakte Newton-Verfahren zum Einsatz.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden nach der mathematischen Problemstellung das Galerkin-Verfahren und Superkonvergenzeigenschaften analysiert. Es folgen zwei unterschiedliche Entkopplungsansätze (Blockelimination und Single-Newton-Iteration) sowie umfangreiche numerische Tests an linearen und nichtlinearen Modellproblemen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren diese Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Zeitdiskretisierung, Petrov-Galerkin-Methoden, Newton-Verfahren, Entkopplung, Konvergenzanalyse und Finite-Elemente-Methode charakterisieren.
Wie unterscheidet sich die erste Entkopplungsvariante von der zweiten?
Die erste Variante nutzt eine Blockelimination zur Entkopplung, während die zweite Variante (Single-Newton-Iteration) auf einer Approximation der Koeffizientenmatrix durch eine Matrix mit einem r-fachen Eigenwert beruht, um die Entkopplung in Zeitkomponenten zu erreichen.
Welche Rolle spielt die Superkonvergenz für das Verfahren?
Die Superkonvergenz beschreibt den Effekt, dass an bestimmten Stellen (wie Stütz- oder Gauss-Lobatto-Punkten) eine höhere Konvergenzrate erreicht wird, was für die Effizienz und Genauigkeit der numerischen Lösung von entscheidender Bedeutung ist.
Wie werden die numerischen Ergebnisse evaluiert?
Die Evaluation erfolgt durch Messung der Fehler in der L2- und L-unendlich-Norm sowie durch die Berechnung der experimentellen Konvergenzordnung (EOC) und den Vergleich der erzielten Kontraktionsraten mit den theoretischen Schranken.
- Arbeit zitieren
- Christoph Weber (Autor:in), 2014, Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/283278
