Stochastik für Lehrämtler

Zusammenfassung der Vorlesung

Dies ist eine Mitschrift der Vorlesung „Stochastik für Lehrämtler“. Ich habe ausschließlich die Tafelschrift
des Dozenten mitgetippt, ohne weitere Kommentare in diese Mitschrift einzubeziehen. Diese Mitschrift kann
und soll also nicht den ganzen Wortlaut der Vorlesung wiedergeben. Sie soll das Nacharbeiten des Inhalts der
Vorlesung erleichtern. Damit ich für die Übungsblätter dem Skript besser folgen kann und für den besseren
roten Faden, habe ich am Rand die Daten der jeweiligen Vorlesung geschrieben. Teilweise kommen nach
diesen Daten Wiederholungen der letzten Vorlesung. Auch möchte ich anmerken, dass diese Mitschrift trotz
einmaligen Korrekturlesens Fehler beinhalten wird.

Inhaltsverzeichnis

• 0 Einleitung: „Was ist Stochastik"
• I Wahrscheinlichkeitstheorie
  • 1 Laplace-Experiment
    • 1.1 Motivierendes Beispiel: „Das drei Würfel Problem"
    • 1.2 Weiteres Beispiel
    • 1.3 Definition: „Laplace-Experiment" (LE)
    • 1.4 Sprechweise
    • 1.5 Schreibweise: „Disjunkte Vereinigung"
    • 1.6 Bemerkung
    • 1.7 Folgerungen
  • 2 Die vier Grundprobleme der Kombinatorik
    • 2.1 Proposition
    • 2.2 Folgerung
    • 2.3 Folgerung
    • 2.4 Beispiel: „Paradoxon des Chevalier de Méré
    • 2.5 Beispiel: Lotto „6 aus 49"
    • 2.6 Lemma: „Rechenregeln für Binomialkoeffizienten"
    • 2.7 Satz: „Binomische Formeln"
    • 2.8 Beispiel:
    • 2.9 Kombination mit Wiederholung
    • 2.10 Beispiel:
    • 2.11 Beispiel: „Rote und schwarze Kugeln in einer Urne"
    • 2.12 Stirling'sche Formel
    • 2.13 Anwendung
  • 3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    • 3.1 Definition: Endliches Zufallsexperiment (EZ)
    • 3.2 Bemerkung
    • 3.3 Lemma
    • 3.4 motivierendes Beispiel
    • 3.5 Definition Satz: „n-fach unabhängige Durchführung"
    • 3.6 Anmerkung
    • 3.7 motivierendes Beispiel
    • 3.8 Beispiel
    • 3.9 Definition: Abzählbar-unendliches ZE (AUZE)
    • 3.10 Bemerkung
    • 3.11 Satz
    • 3.12 Bemerkung
    • 3.13 Bemerkung
    • 3.14 Beispiel
    • 3.15 Beispiel
    • 3.16 Satz
    • 3.17 Anwendung
    • 3.18 Definition: diskretes Zufallsexperiment (DZE)
    • 3.19 Bemerkung
    • 3.20 Beispiele .
    • 3.21 Lemma
    • 3.22 Lemma
    • 3.23 Satz
    • 3.24 Satz (Inklusions-Exklusions-Formel)
    • 3.25 Anwendung („Wichteln“; fixpunktfreie Permutation)
    • 3.26 Sprachgebrauch
  • 4 Zufallsgrößen
    • 4.1 motivierendes Beispiel
    • 4.2 Lemma
    • 4.3 Bezeichnungen und Schreibweisen
    • 4.4 Beispiel
    • 4.5 Beispiel
    • 4.6 Beispiel
    • 4.7 Bemerkung
    • 4.8 motivierendes Beispiel
    • 4.9 Definition (Erwartungswert)
    • 4.10 Beispiel für eine ZG ohne Erwartungswert
    • 4.11 Würfeln mit „großem Würfel"
    • 4.12 Erwartungswert der Binomial-Verteilung.
    • 4.13 Erwartungswert der Poisson-Verteilung zum Parameter \ > 0
    • 4.14 EW für hypergeometrisch verteilte ZG
    • 4.15 EW für negative Binomialverteilung
    • 4.16 Beispiel
    • 4.17 Satz
    • 4.18 Transformationssatz
    • 4.19 Rechenregeln für EW
    • 4.20 Bemerkung
    • 4.21 Hinreichendes Kriterium für die Existenz von Erwartungswerten (Majorantenkriterium)
    • 4.22 motivierendes Beispiel (Varianz)
    • 4.23 Definition der Varianz
    • 4.24 Kriterium für die Existenz der Varianz
    • 4.25 Beispiel
    • 4.26 Lemma
    • 4.27 Verschiebungssatz
    • 4.28 Varianz der Laplace-Verteilung
    • 4.29 Varianz der Binomialverteilung
    • 4.30 weitere Varianzen.
    • 4.31 Lemma (Rechenregeln)
    • 4.32 Beispiel
    • 4.33 Satz
    • 4.34 Definition (Kovarianz)
    • 4.35 Satz
    • 4.36 Beispiel
    • 4.37 Definition + Satz
  • 5 Das schwache Gesetz der großen Zahlen
    • 5.1 Das empirische Gesetz der großen Zahlen
    • 5.2 Lemma (Abschätzung von Tschebyscheff)
    • 5.3 Beispiel: Der n-fache Würfelwurf
    • 5.4 Satz (Das schwache Gesetz der großen Zahlen)
    • 5.5 Beispiel: Bernoulli-Kette der Länge n.
    • 5.6 Definition
    • 5.7 Satz
    • 5.8 Satz
  • 6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit
    • 6.1 Beispiel
    • 6.2 Definition (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
    • 6.3 Satz
    • 6.4 Satz (totale Wahrscheinlichkeit)
    • 6.5 Beispiel
    • 6.6 Anmerkung
    • 6.7 Formel von Bayes
    • 6.8 Beispiel
    • 6.9 Definition
    • 6.10 Anmerkung
    • 6.11 Beispiele .
    • 6.12 Definition
    • 6.13 Multiplikationssatz
    • 6.14 Bemerkung
    • 6.15 Lemma
    • 6.16 Schreibweise
    • 6.17 Definition
    • 6.18 Lemma
    • 6.20 Korollar
    • 6.19 Multiplikationssatz für Erwartungswerte
    • 6.21 Beispiel
  • 7 Der zentrale Grenzwertsatz und die Näherungsformel von Moivre-Laplace
    • 7.1 motivierendes Beispiel
    • 7.2 Die Apprixomation von Moivre-Laplace
    • 7.3 Bemerkungen
    • 7.4 Zurück zu Beispiel 7.1
    • 7.5 Konfidenzintervalle angeben
    • 7.6 Zentralen Grenzwertsatzes
    • 7.7 Anmerkungen
  • 8 Stetig verteilte Zufallsgrößen
    • 8.1 Definition (Kolmogoroff)
    • 8.2 Definition
    • 8.3 Definition (Erwartungswert und Varianz)
    • 8.4 Definition und Lemma
• II Beurteilende Statistik
  • 1 Statistische Testverfahren
    • 1.1 Beispiel: Ein Glücksspielanbieter
    • 1.2 Beispiel
    • 1.3 Begrifflichkeiten der Schätztheorie
    • 1.4 zweiseitige Hypothesentests
    • 1.5 Testplanung für einen einseitigen Test
  • 2 Parameter schätzen
    • 2.1 Beispiel
    • 2.2 Beispiel
    • 2.3 Beispiel (zurück zu Beispiel 2.1)
    • 2.4 Motivation
    • 2.5 (offizielle) Definition
    • 2.6 Definition (Schätzer)
    • 2.7 Beispiele .
    • 2.8 Definition (Kriterien für Schätzgrößen)
    • 2.9 Satz
    • 2.10 Satz
    • 2.11 Definition (empirische Stichprobenvarianz)
  • 3 Intervalle schätzen
    • 3.1 Definition
    • 3.2 Zusammenfassung
    • 3.3 Die σ-Regeln

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Mitschrift der Vorlesung „Stochastik für Lehrämtler“ von Lukas Baumann dient als Nachschlagewerk für Studierende des Lehramts, um den Stoff der Vorlesung zu wiederholen und zu vertiefen. Die Mitschrift enthält ausschließlich die Tafelschrift des Dozenten und soll das Nacharbeiten des Inhalts der Vorlesung erleichtern.

• Laplace-Experimente und die Grundprobleme der Kombinatorik
• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Eigenschaften
• Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz
• Das schwache Gesetz der großen Zahlen
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit

Zusammenfassung der Kapitel

Die Einleitung führt in die Stochastik als Mathematik des Zufalls ein und erläutert die grundlegenden Konzepte von zufälligen Phänomenen und deren mathematischer Modellierung. Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird als Teilbereich der Stochastik vorgestellt, der sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf Basis apriori gegebener Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Die beurteilende oder schließende Statistik hingegen befasst sich mit dem Schließen auf zugrundeliegende Wahrscheinlichkeiten aus erhobenen Daten.

Kapitel 1 behandelt das Laplace-Experiment, ein grundlegendes Modell für Zufallsexperimente mit gleichwahrscheinlichen Ausgängen. Es werden Beispiele für Laplace-Experimente vorgestellt und die Definition des Laplace-Experiments sowie die Sprechweise und Schreibweise im Zusammenhang mit disjunkten Vereinigungen erläutert.

Kapitel 2 befasst sich mit den vier Grundproblemen der Kombinatorik, die für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten von großer Bedeutung sind. Es werden Propositionen, Folgerungen und Beispiele vorgestellt, die die Anwendung der Kombinatorik in der Wahrscheinlichkeitstheorie verdeutlichen. Die Rechenregeln für Binomialkoeffizienten und die binomischen Formeln werden ebenfalls behandelt.

Kapitel 3 führt in die Theorie der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein. Es werden verschiedene Arten von Zufallsexperimenten definiert, wie z.B. endliche Zufallsexperimente und abzählbar-unendliche Zufallsexperimente. Die Definition des diskreten Zufallsexperiments und die Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden erläutert. Es werden verschiedene Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt, wie z.B. die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die hypergeometrische Verteilung.

Kapitel 4 beschäftigt sich mit Zufallsgrößen, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen. Es werden die Definition des Erwartungswerts und der Varianz einer Zufallsgröße sowie die Rechenregeln für Erwartungswerte und Varianzen behandelt. Es werden verschiedene Beispiele für Zufallsgrößen und ihre Eigenschaften vorgestellt.

Kapitel 5 behandelt das schwache Gesetz der großen Zahlen, ein fundamentales Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie, das die Beziehung zwischen der relativen Häufigkeit eines Ereignisses und seiner Wahrscheinlichkeit beschreibt. Es werden verschiedene Beispiele für die Anwendung des schwachen Gesetzes der großen Zahlen vorgestellt.

Kapitel 6 führt in die Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeiten und der stochastischen Unabhängigkeit ein. Es werden die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes behandelt. Es werden verschiedene Beispiele für die Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit und der stochastischen Unabhängigkeit vorgestellt.

Kapitel 7 behandelt den zentralen Grenzwertsatz und die Näherungsformel von Moivre-Laplace, die wichtige Werkzeuge für die Approximation von Wahrscheinlichkeiten in der Praxis sind. Es werden verschiedene Beispiele für die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes und der Näherungsformel von Moivre-Laplace vorgestellt.

Kapitel 8 führt in die Theorie der stetig verteilten Zufallsgrößen ein. Es werden die Definition der stetigen Zufallsgröße, des Erwartungswerts und der Varianz einer stetigen Zufallsgröße sowie verschiedene Beispiele für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt.

Schlüsselwörter

Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen Laplace-Experimente, Kombinatorik, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Zufallsgrößen, Erwartungswert, Varianz, das schwache Gesetz der großen Zahlen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, stochastische Unabhängigkeit, der zentrale Grenzwertsatz, die Näherungsformel von Moivre-Laplace und stetig verteilte Zufallsgrößen. Die Mitschrift bietet eine umfassende Einführung in die Stochastik für Lehramtsstudenten und vermittelt die wichtigsten Konzepte und Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie und der beurteilenden Statistik.

Details

• Autor: Lukas Baumanns (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2014
• Seiten: 71
• Katalognummer: V277935
• ISBN (eBook): 9783656711377
• ISBN (Buch): 9783656712329
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: stochastik lehrämtler zusammenfassung vorlesung