Sowohl in der Physik, als auch in der heutigen Technologie ist der Einsatz komplexer Mathematik unverzichtbar. Viele Dinge die heutzutage selbstverständlich erscheinen und über deren Funktionsfähigkeit wir uns keine Gedanken machen, gehen auf die Entdeckungen renommierter Mathematiker zurück. Mit nachfolgender Arbeit wird ein kleiner Teil unseres alltäglichen Lebens mathematisch betrachtet – Wie gelingt es die hervorragende Tonqualität zu erzeugen, die wir kennen? Wie können große Bild- und Audiosignale so schnell übertragen werden? Jene Fragen sollen abschließend beantwortbar sein. Dabei ist die von Joseph Fourier entwickelte Mathematik heute nicht mehr wegzudenken. Sie findet unter anderem Einsatz in der digitalen Signalverarbeitung, der Nachrichten- und Regelungstechnik sowie der Hochfrequenztechnik. Die mathematischen Verfahren geben den Ingenieuren dabei die Möglichkeit zur Analyse und Synthese von Signalen, wodurch ein besseres Verständnis diverser technischer Systeme in den genannten Bereichen erzielt wird. Ein Teil dieses Verständnisses soll in vorliegender Arbeit geschaffen werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung
- Inhaltliche Hinführung
- Problemstellung
- Zielsetzung
- Komplexe Zahlen
- Imaginäre Einheit i
- Rechnen mit komplexen Zahlen
- Gaußsche Zahlenebene
- Konjugation, Betrag und Argument komplexer Zahlen
- Eulersche Identität
- Fourier-Analysis
- Idee von Fourier
- Komplexe Fourier-Reihe
- Fourier-Reihe von Funktionen mit der Periode 1
- Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten
- Fourier-Reihe von Funktionen beliebiger Periode T
- Fourier-Reihe mit Sinus und Kosinus
- Reelle Fourierkoeffizienten
- Beispiel: Fourier-Reihe einer Rechteckschwingung
- Kontinuierliche Fouriertransformation
- praktische Anwendung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung
- Beispiel Tonanalyse
- Abschlussgedanke
- Abbildungsverzeichnis
- Literaturverzeichnis
- Anhang
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit befasst sich mit der Fourier-Analysis und ihrer Anwendung in der Signalverarbeitung. Ziel ist es, die mathematischen Grundlagen der Fourier-Analysis verständlich darzustellen und aufzuzeigen, wie diese in technischen Anwendungen, insbesondere in der Signalverarbeitung, zum Einsatz kommen. Die Arbeit konzentriert sich dabei auf die Zerlegung periodischer und nicht-periodischer Funktionen in sinusförmige Funktionen.
- Komplexe Zahlen und ihre Eigenschaften
- Die Fourier-Reihe und ihre Anwendung auf periodische Funktionen
- Die Fourier-Transformation und ihre Anwendung auf nicht-periodische Funktionen
- Praktische Anwendungen der Fourier-Analysis in der Signalverarbeitung, insbesondere in der Audiotechnik
- Die Bedeutung der Fourier-Analysis in anderen wissenschaftlichen und technischen Bereichen
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einführung in die Seminararbeit beleuchtet die Bedeutung der komplexen Mathematik in der Physik und Technologie. Es wird die Problemstellung aufgezeigt, dass die Analyse periodischer Funktionen mit Hilfe der Fourier-Analysis vereinfacht werden kann. Die Zielsetzung der Arbeit ist es, periodische Funktionen mit Sinus- und Kosinusschwingungen darzustellen.
Im zweiten Kapitel werden die komplexen Zahlen eingeführt und ihre Eigenschaften erläutert. Es wird die imaginäre Einheit i, die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen, die Gaußsche Zahlenebene, die Konjugation, der Betrag und das Argument komplexer Zahlen sowie die Eulersche Identität behandelt.
Das dritte Kapitel widmet sich der Fourier-Analysis. Es wird die Idee von Fourier erläutert, die besagt, dass sich jede periodische Funktion als eine Überlagerung von sinusförmigen Funktionen darstellen lässt. Die komplexe Fourier-Reihe wird eingeführt, die es ermöglicht, periodische Funktionen mit der Periode 1 in Sinuswellen zu zerlegen. Die Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten wird anhand von Beispielen erläutert. Die Fourier-Reihe für Funktionen beliebiger Periode T wird ebenfalls behandelt. Anschließend wird die Fourier-Reihe mit Sinus und Kosinus betrachtet, wobei die reellen Fourierkoeffizienten berechnet werden. Anhand einer Rechteckschwingung wird die Fourier-Reihe veranschaulicht. Zum Abschluss des Kapitels wird die kontinuierliche Fouriertransformation behandelt, die es ermöglicht, auch nicht-periodische Funktionen in sinusförmige Funktionen zu zerlegen. Die Anwendung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung wird anhand von Beispielen aus der Audiotechnik erläutert.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die Fourier-Analysis, die Signalverarbeitung, komplexe Zahlen, Fourier-Reihe, Fourier-Transformation, Sinus- und Kosinusschwingungen, periodische Funktionen, nicht-periodische Funktionen, Audio-Filter, Tonanalyse, Frequenzanalyse, Spektraldarstellung und Anwendungen der Fourier-Analysis in verschiedenen Wissenschafts- und Technikbereichen.
- Quote paper
- Bernd Kohler (Author), 2012, Fourier-Analysis in der Signalverarbeitung, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/274952
