In unserer Arbeit stellen wir numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen vor. Wir erachten dies gerade in Anbetracht der aktuellen Finanzkrise (Subprimekrise seit 2007), die unter anderem aufgrund des short-sellings von Optionsscheinen hervorgerufen wurde, als ein äußerst wichtiges Teilgebiet der angewandten Mathematik. Um dem Leser den Einstieg in die
Problematik der mathematischen Modellierung des Finanzmarkts zu erleichtern, werden wir in Kapitel 2 auf die grundlegenden Definitionen und Sachverhalte, die im Bezug zu dieser Arbeit stehen, eingehen.
Im Folgenden verwenden wir tatsächliche Aktien- und Optionswerte der letzten 10 Jahre und analysieren diese in verschiedenen Volatilitätsmodellen und zeigen unsere Prognosen für die nächsten Jahre an Hand der dazugehörigen Trinomialbäume und der Monte-Carlo-Simulation.Unter anderem verwenden wir das Heston-Modell als ein stochastisches Volatilitätsmodell.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte
2.1 Begriffe aus der Optionstheorie
2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen
2.3 Das Finanzmarktmodell
2.4 Die Dynamik des Aktienkurses
3 Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung
3.1 Herleitung der Black-Scholes Gleichung
3.2 Die Kennzahlen des Black-Scholes Modells
3.2.1 Delta
3.2.2 Gamma
3.2.3 Theta
3.2.4 Rho
3.2.5 Vega oder Kappa
4 Die Volatilität
4.1 Historische Volatilität
4.2 New Volatility
4.3 Implizite Volatilität
4.4 Stochastische Volatilität
4.5 Lokale Volatilität
5 Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl mit Hilfe des Black-Scholes Modells
5.1 Portfolio 1 (große Werte der historischen Volatilität)
5.2 Portfolio 2 (kleine Werte der historischen Volatilität)
5.3 Portfolio 3 (große New-Volatility Werte)
5.4 Portfolio 4 (kleine New-Volatility Werte)
6 Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tatsächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten
7 Optionspreisberechnung durch Baummodelle
7.1 Die Geschichte der Baummodelle
7.2 Binomialbäume als Berechnungsgrundlage für Optionsscheine
7.3 Trinomialbäume
7.4 Implizite Theorie
7.5 Implizite Binomialbäume
7.6 Konstruktion eines impliziten Trinomialbaumes
8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle
8.1 Grundidee
8.2 Zufallszahlen
8.2.1 Algorithmen zur Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen
8.2.2 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen
8.3 Monte-Carlo Simulation einer europäischen Call-Option
8.4 Konvergenz bezüglich der numerischen Integration stochastischer Differentialgleichungen
8.5 Das Heston-Modell in Monte-Carlo-Simulationen (stochastisches Volatilitätsmodell)
8.5.1 Asiatische Option im Heston-Modell
8.5.1 Kalibrierung des Heston-Modells mit aktuellen Marktdaten für europäische Option
8.6 Lokales Volatilitätsmodell
8.7 Vergleich der Volatilitätsmodelle
9 Schlussbemerkung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen, um deren Anwendung in volatilen Finanzmärkten zu bewerten. Dabei liegt der Fokus auf der Modellierung der Volatilität, der Analyse verschiedener Schätzansätze (historisch vs. New Volatility) und der Überprüfung ihrer Genauigkeit durch den Vergleich mit tatsächlichen Kursentwicklungen von Euro Stoxx 50-Aktien mittels statistischer Tests und Monte-Carlo-Simulationen.
- Mathematische Grundlagen der Optionstheorie und Finanzmarktmodellierung
- Vergleich historischer Volatilitätsmodelle mit der "New Volatility"
- Implementierung numerischer Verfahren wie Binomial-/Trinomialbäume und Monte-Carlo-Simulationen
- Empirische Evaluierung der Modellgüte an realen Marktdaten der Daimler-Aktie und Euro Stoxx 50
Auszug aus dem Buch
Definition 2.1.1 (Option)
Durch eine Option besitzt man das Recht, zu einem festen Zeitpunkt oder bis zu einem festen Zeitpunkt, einen vorher festgelegten Basiswert zum vorher festgelegten Basispreis zu kaufen oder zu verkaufen. Dieser feste Zeitpunkt heißt Laufzeitende T der Option.
Der Basiswert sollte jederzeit handelbar sein und der Kurs sollte sich nach den Gesetzen von Angebot und Nachfrage bilden. Als Basiswerte kommen Aktien, Anleihen, Rohstoffe sowie auch zusammengesetzte Finanzprodukte wie z.B. ein Index in Betracht.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Stellt das Ziel der Arbeit vor, numerische Methoden zur Optionspreisberechnung in einem volatilen Finanzmarktumfeld zu analysieren.
2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte: Führt die mathematischen und finanztheoretischen Grundlagen ein, einschließlich der Definition von Optionen, Wahrscheinlichkeitsräumen und des Finanzmarktmodells.
3 Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung: Leitet die zentrale Black-Scholes-Gleichung her und erläutert die sensitiven Kennzahlen, die sogenannten "Greeks".
4 Die Volatilität: Diskutiert verschiedene Ansätze zur Volatilitätsschätzung, von historischen Daten über die "New Volatility" bis hin zu stochastischen und lokalen Volatilitätsmodellen.
5 Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl mit Hilfe des Black-Scholes Modells: Analysiert Portfolios basierend auf unterschiedlichen Volatilitätsschätzungen und deren Einfluss auf Optionspreise.
6 Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tatsächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten: Vergleicht die Vorhersagequalität der verschiedenen Volatilitätsmodelle anhand eines statistischen Signifikanztests.
7 Optionspreisberechnung durch Baummodelle: Untersucht Binomial- und Trinomialbäume als alternative Berechnungsmethoden, insbesondere im Kontext impliziter Volatilitäten.
8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle: Erklärt die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Aktienkursen und wendet sie auf das Heston-Modell und andere Volatilitätsansätze an.
9 Schlussbemerkung: Fasst die Ergebnisse zusammen und bewertet die Anwendbarkeit der untersuchten Modelle für praktische Optionsstrategien.
Schlüsselwörter
Optionstheorie, Black-Scholes Modell, Volatilität, New Volatility, Monte-Carlo-Simulation, Binomialbaum, Trinomialbaum, Heston-Modell, Finanzmarkt, Derivate, Aktienkurs, Statistik, Regressionsanalyse, Portfolio-Auswahl, Optionspreisberechnung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen unter Berücksichtigung verschiedener Volatilitätsmodelle, um deren Genauigkeit und Anwendbarkeit zu evaluieren.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Modellierung von Finanzmärkten, der Schätzung von Volatilität mittels verschiedener Ansätze sowie der numerischen Simulation von Optionspreisen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, zu analysieren, wie unterschiedliche Volatilitätsmodelle die Optionspreisberechnung beeinflussen und wie gut diese Modelle die tatsächliche zukünftige Marktentwicklung prognostizieren können.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden mathematische Ableitungen stochastischer Differentialgleichungen, statistische Signifikanztests sowie numerische Verfahren wie Binomial-/Trinomialbäume und Monte-Carlo-Simulationen mittels MATLAB eingesetzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Herleitung des Black-Scholes Modells, der detaillierten Untersuchung verschiedener Volatilitätsschätzer und der empirischen Überprüfung dieser Modelle anhand von Aktien des Euro Stoxx 50.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen zählen Optionspreise, Volatilität (historisch, implizit, stochastisch, lokal), Monte-Carlo-Simulation, Black-Scholes-Gleichung und Finanzderivate.
Wie unterscheidet sich die "New Volatility" von der historischen Volatilität?
Die "New Volatility" gewichtet zeitnahe Daten stärker und basiert auf den Tagesspannen (Höchst-/Tiefstpreise), während die historische Volatilität als Standardabweichung der logarithmischen Kursänderungen über längere Zeiträume berechnet wird.
Warum ist das Heston-Modell in dieser Arbeit von Bedeutung?
Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das hilft, das Phänomen des "Volatility Smile" besser zu erklären, indem es die Volatilität selbst als stochastischen Prozess behandelt.
- Quote paper
- Nicolai Stuppi (Author), 2011, Numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/183128
