Eine Vielzahl von ökonomischen, technischen bzw. naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen sich modellhaft durch lineare Gleichungssysteme abbilden. Zur Behandlung solcher Gleichungssysteme in kom¬pakter Form werden sogenannte Matrizen genutzt. Auch werden oft größere Datenblöcke, die häufig in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, in Matrizenform verarbeitet, da sich die Beziehun¬gen zwischen den Datenblöcken durch die Schreibweise übersichtlicher darstellen und berechnen lassen. Die Bezeichnung Matrizen und das Rechnen mit ihnen führen auf den Mathemati¬ker Arthur Cayley (1821-1895) zurück. Die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen ist Gegenstand der Linearen Algebra.
Das erste Kapitel soll die mathematischen Grundlagen für das Thema Matrizen schaffen, d.h. die erforderlichen Definitionen zu Matrizen erläutern und die im späteren Verlauf der Arbeit genutzten Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) allgemein sowie an einfachen Beispielen erklären.
Im Hauptkapitel meiner Arbeit stelle ich unterschiedliche Anwendungsbeispiele vor, bei denen Matri¬zen zur Problembeschreibung und -lösung eingesetzt werden können.
Als erste Anwendung wird ein Ansatz zur Bedarfsplanung als Teilaufgabe der Produktionsplanung untersucht. Zentraler Begriff ist hierbei die Bedarfsmatrix. Die Grundidee des Verfahrens soll anhand verschiedener Beispiele und Fragestellungen dargestellt werden.
Der zweite Anwendungsfall beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen. Als besondere Klasse von stochastischen Prozessen sollen für sogenannte Markow-Ketten mit Hilfe der Matrizenrechnung ausgewählte Fragestellungen beleuchtet werden. In diesem Zusammenhang soll der Begriff der Über¬gangsmatrix eingeführt werden.
Die Untersuchung von Populationsprozessen, die als stochastische zyklische Prozesse zu verstehen sind, dient als letztes Anwendungsfeld von Matrizen. Auch hier sollen mittels eines einführenden Beispiels unterschiedliche Fragestellungen und deren mathematische Lösung vermittelt werden.
Zum Abschluss soll als Zusammenfassung eine kurze Bewertung der Anwendungsfälle erfolgen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Matrizen – Mathematische Grundlagen
2.1 Definitionen
2.2 Rechenoperationen
2.2.1 Addition und Subtraktion
2.2.2 Multiplikation mit einem Skalar
2.2.3 Multiplikation zweier Matrizen
2.3 Inverse
3 Anwendungsbeispiele
3.1 Bedarfsplanung
3.1.1 Beispiel einer einstufigen Produktion
3.1.2 Beispiel für einen mehrstufigen Produktionsprozess
3.1.3 Behandlung praxisrelevanter Erzeugnisstrukturen
3.2 Stochastische Prozesse - Markow-Ketten
3.2.1 Ein einführendes Beispiel
3.2.2 Die Berechnung der Grenzverteilung
3.3 Populationsprozesse – Zyklische Prozesse
3.3.1 Ein einführendes Beispiel
3.3.2 Aussagen zur Populationsentwicklung
4 Zusammenfasung
Zielsetzung & Themen
Die Facharbeit untersucht verschiedene mathematische Einsatzgebiete von Matrizen, insbesondere zur Modellierung ökonomischer und biologischer Fragestellungen. Ziel ist es, die Eignung der Matrizenrechnung zur Problemanalyse, -beschreibung und -lösung in deterministischen und stochastischen Modellen aufzuzeigen.
- Mathematische Grundlagen der Matrizenrechnung und deren Rechenoperationen
- Bedarfsplanung in der Produktionswirtschaft mittels Bedarfsmatrizen
- Anwendung von Markow-Ketten auf stochastische Prozesse
- Modellierung von Populationsentwicklungen durch Leslie-Matrizen
- Bewertung der Leistungsfähigkeit und Grenzen matrixbasierter Ansätze
Auszug aus dem Buch
3.1.1 Beispiel einer einstufigen Produktion
An einem einfachen Beispiel einer einstufigen „Produktion“ soll dies erläutert werden. Um die Cocktails Jamaika und Bahamas mixen zu können, braucht man die Fruchtsäfte Ananas, Banane, Erdbeere und Kokosmilch. Aus welchen Bestandteilen die beiden Cocktails bestehen, zeigt der nachstehende Gozintograph und die daraus abgeleitete Tabelle.
Aufgabe der Bedarfsplanung ist es nun, zu bestimmen, welche Menge der Säfte Ananas, Banane, Erdbeere und Kokosmilch (die Rohstoffe) benötigt werden, um eine vorgegebene Menge Jamaika Cocktails bzw. Bahamas Cocktails herstellen zu können.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Vorstellung der Bedeutung von Matrizen zur Modellierung ökonomischer und naturwissenschaftlicher Zusammenhänge sowie Definition des Ziels der Arbeit.
2 Matrizen – Mathematische Grundlagen: Erläuterung der notwendigen Definitionen, Typen und grundlegenden Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation.
3 Anwendungsbeispiele: Detaillierte Betrachtung der Matrizenanwendung in den Bereichen Bedarfsplanung, Markow-Ketten und Populationsprozesse.
4 Zusammenfasung: Resümee der Arbeit mit einer Bewertung der Möglichkeiten und Grenzen der Matrizenrechnung bei der Abbildung realer Problemstellungen.
Schlüsselwörter
Matrizenrechnung, Lineare Gleichungssysteme, Bedarfsplanung, Produktionsprozess, Bedarfsmatrix, Stochastische Prozesse, Markow-Ketten, Übergangsmatrix, Populationsprozesse, Leslie-Matrix, Grenzverteilung, Fixvektor, Rohstoffbedarf, Modellierung, Mathematik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Matrizenrechnung zur Modellierung und Lösung komplexer Probleme aus den Bereichen Wirtschaft und Biologie.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit konzentriert sich auf drei Hauptbereiche: die betriebswirtschaftliche Bedarfsplanung, die Analyse stochastischer Prozesse mittels Markow-Ketten sowie die mathematische Modellierung von Populationsprozessen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie Matrizen als kompaktes mathematisches Werkzeug zur Problembeschreibung und -lösung in verschiedenen Anwendungsfeldern eingesetzt werden können.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Autorin nutzt mathematische Verfahren der Linearen Algebra, insbesondere die Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme und Grenzwertberechnungen, um die jeweiligen Prozesse abzubilden und zu analysieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in Anwendungsbeispiele zur ein- und mehrstufigen Bedarfsplanung, die mathematische Beschreibung zeitabhängiger Zustandsänderungen durch Markow-Ketten sowie die Analyse zyklischer Populationsentwicklungen mit Hilfe von Leslie-Matrizen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren diese Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Matrizenrechnung, Bedarfsplanung, Markow-Ketten, Leslie-Matrix, stochastische Prozesse und Populationsdynamik.
Was unterscheidet die Bedarfsplanung bei mehrstufigen Produktionsprozessen von der einstufigen?
Bei der mehrstufigen Produktion müssen auch Zwischenprodukte betrachtet werden, was die Multiplikation mehrerer Bedarfsmatrizen erforderlich macht, um den gesamten Rohstoffbedarf zu ermitteln.
Welche Aussage kann die Leslie-Matrix über die langfristige Stabilität einer Population treffen?
Die Analyse der Übergangsmatrix zeigt, ob eine Population durch den Faktor der Vermehrungsrate und Überlebensraten langfristig stabil bleibt, ausstirbt oder wächst.
- Arbeit zitieren
- Kristina Kuhlmann (Autor:in), 2011, Matrizen zur Beschreibung von Zustandsänderungen, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/173306
