Das physikalische System „invertiertes Pendel“ besteht aus der Realisierung einer instabilen Regelstrecke mit zugehörigem Stellglied und einem digitalen Regler. Auf einem beweglichen Wagen ist ein frei drehbares Pendel angebracht, welches durch den beobachtergestützten Zustandsrückkopplungsregler in einer nach oben senkrecht stehenden Position ausgerichtet werden soll. Um das Pendel an einer vorgegebenen Stelle in aufrechter Lage zu stabilisieren, wird der Wagen, auf dem sich das Pendel befindet, über ein Transmissionsband mit Hilfe eines stromgeregelten Gleichstrommotors angetrieben. Aus den Messgrößen Position des Wagens r, Geschwindigkeit des Wagens v und dem Winkel des Pendelstabes φ erzeugt der digitale Regler ein Stellsignal welches zur Stabilisierung den Gleichstrommotor über ein Stellglied geeignet ansteuert. Die Position r des Wagens wird mittels eines Wendelpotentiometers an der Antriebswelle des Motors ermittelt. Zusätzlich ist am Motor ein Tachogenerator angebracht um so die Geschwindigkeit v des Wagens zu erfassen. Zur Messung des Winkels φ des Pendelstabes dient ein Schichtpotentiometer an der Drehachse.
Inhaltsverzeichnis
1. Beschreibung des physikalischen Systems
1.1 Mechanische Beschreibung des Systems „Invertiertes Pendel“ ...
1.2 Mathematische Beschreibung des Systems/ Differentialgleichungssystem ...
2. Notwendigkeit einer Linearisierung
2.1 Durchführung der Linearisierung anhand der Versuchsanleitung ...
2.2 Andere Methode der Linearisierung und entsprechende Durchführung ...
3. Beschreibung des Systems im Zustandsraum
4. Systemuntersuchung Stabilität, Beobachtbarkeit & Steuerbarkeit
4.1 Stabilitätsuntersuchung mittel Polstellen des Systems ...
4.2 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ...
5. Reglerentwurf durch Zustandsrückführung
6. Entwicklung eines Zustandsbeobachters
6.1. Zustandsbeobachter für Position r, Winkel φ & Geschwindigkeit v ...
6.2. Zustandsbeobachter für Position r & Winkel φ ...
6.3. Zustandsbeobachter für Winkel φ & Geschwindigkeit v ...
6.4. Zustandsbeobachter für Position r & Geschwindigkeit v ...
7. Vorteile eines Störgrößenbeobachters
8. Zweck eines PI- Zustandsreglers
9. Entwicklung einer Zustandsrückführung für 7 oder 8
10. Anhang des ausgearbeiteten M-Files
11. Literatur/ Quellen
12. Aufgabenstellung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Regelung des instabilen Systems „Invertiertes Pendel“ mittels Zustandsrückführung. Das primäre Ziel besteht darin, das Pendel an einer vorgegebenen Position in aufrechter Lage zu stabilisieren, wobei die nichtlinearen Differentialgleichungen des Systems durch eine Linearisierung für die Zustandsraumdarstellung nutzbar gemacht werden.
- Mathematische Modellierung und Linearisierung der physikalischen Regelstrecke.
- Analyse von Stabilität, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems.
- Entwurf eines Zustandsreglers mittels Polvorgabe zur Stabilisierung.
- Entwicklung und Vergleich verschiedener Zustandsbeobachter zur Zustandsschätzung.
- Erweiterung des Reglerkonzepts durch Störgrößenbeobachtung und PI-Zustandsregelung.
Auszug aus dem Buch
1.1 Mechanische Beschreibung des Systems „Invertiertes Pendel“ ...
Das physikalische System „invertiertes Pendel“ besteht aus der Realisierung einer instabilen Regelstrecke mit zugehörigem Stellglied und einem digitalen Regler.
Auf einem beweglichen Wagen ist ein frei drehbares Pendel angebracht, welches durch den beobachtergestützten Zustandsrückkopplungsregler in einer nach oben senkrecht stehenden Position ausgerichtet werden soll.
Um das Pendel an einer vorgegebenen Stelle in aufrechter Lage zu stabilisieren, wird der Wagen, auf dem sich das Pendel befindet, über ein Transmissionsband mit Hilfe eines stromgeregelten Gleichstrommotors angetrieben.
Aus den Messgrößen Position des Wagens r, Geschwindigkeit des Wagens v und dem Winkel des Pendelstabes φ erzeugt der digitale Regler ein Stellsignal welches zur Stabilisierung den Gleichstrommotor über ein Stellglied geeignet ansteuert. Die Position r des Wagens wird mittels eines Wendelpotentiometers an der Antriebswelle des Motors ermittelt. Zusätzlich ist am Motor ein Tachogenerator angebracht um so die Geschwindigkeit v des Wagens zu erfassen. Zur Messung des Winkels φ des Pendelstabes dient ein Schichtpotentiometer an der Drehachse.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Beschreibung des physikalischen Systems: Definition und mechanische sowie mathematische Herleitung der Differentialgleichungen für das instabile Gesamtsystem.
2. Notwendigkeit einer Linearisierung: Anwendung von Taylorreihenentwicklungen, um das nichtlineare System für lineare regelungstechnische Verfahren zu approximieren.
3. Beschreibung des Systems im Zustandsraum: Überführung der linearisierten Differentialgleichungen in die mathematische Zustandsraumdarstellung mit System- und Steuermatrix.
4. Systemuntersuchung Stabilität, Beobachtbarkeit & Steuerbarkeit: Überprüfung der Systemeigenwerte sowie der mathematischen Voraussetzungen für Regelbarkeit und Zustandsschätzung.
5. Reglerentwurf durch Zustandsrückführung: Realisierung eines stabilen Regelkreises mittels Polvorgabe unter Verwendung eines Proportionalgliedes und eines Vorfilters.
6. Entwicklung eines Zustandsbeobachters: Konzeption eines LUENBERGER-Beobachters zur Schätzung nicht messbarer Zustandsgrößen unter verschiedenen Sensor-Konfigurationen.
7. Vorteile eines Störgrößenbeobachters: Erörterung der Verbesserung der Regelgüte bei auftretenden Störungen durch Erweiterung der Regelkreisstruktur.
8. Zweck eines PI- Zustandsreglers: Einsatz eines PI-Zustandsreglers zur Beseitigung bleibender Regelabweichungen und Kompensation von Störeffekten.
9. Entwicklung einer Zustandsrückführung für 7 oder 8: Detaillierte Herleitung der Störgrößenaufschaltung und PI-Zustandsregelung zur Optimierung des Gesamtsystems.
10. Anhang des ausgearbeiteten M-Files: Dokumentation der verwendeten MATLAB-Skripte zur Simulation und Reglerberechnung.
11. Literatur/ Quellen: Auflistung der verwendeten Vorlesungsskripte und Online-Ressourcen.
12. Aufgabenstellung: Zusammenfassung der ursprünglichen Anforderungen an die Projektarbeit.
Schlüsselwörter
Invertiertes Pendel, Zustandsrückführung, Regelungstechnik, Linearisierung, Zustandsraum, Taylorreihe, Stabilitätsanalyse, Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit, Zustandsbeobachter, LUENBERGER-Beobachter, Störgrößenaufschaltung, PI-Zustandsregler, MATLAB, Systemdynamik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Modellierung, Analyse und Regelung eines instabilen Systems, konkret des sogenannten invertierten Pendels auf einem beweglichen Wagen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die klassische Regelungstheorie, die Zustandsraumdarstellung, Methoden der Linearisierung, der Reglerentwurf sowie die Zustandsbeobachtung.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die Stabilisierung des invertierten Pendels in einer senkrechten Position mittels eines Zustandsreglers, der auf Basis der Systemzustände operiert.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Methoden zur Systemidentifikation (Differentialgleichungen), analytische Verfahren zur Linearisierung (Taylorreihen) und numerische Ansätze mittels MATLAB zur Polvorgabe und Beobachterentwicklung genutzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil erstreckt sich von der physikalischen Modellierung über die Linearisierung und Zustandsraumbeschreibung bis hin zum konkreten Entwurf von Reglern und Beobachtern zur Stabilisierung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Schlüsselwörter sind unter anderem Invertiertes Pendel, Zustandsrückführung, Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit, PI-Zustandsregler und Störgrößenbeobachter.
Warum ist eine Linearisierung für dieses System notwendig?
Das invertierte Pendel ist ein nichtlineares System höherer Ordnung. Da die meisten Standard-Regelungsverfahren für lineare Systeme optimiert sind, ist die Linearisierung notwendig, um eine Approximation am Arbeitspunkt zu erzielen.
Was unterscheidet den PI-Zustandsregler vom normalen Zustandsregler?
Der PI-Zustandsregler integriert einen I-Anteil, der es ermöglicht, bleibende Regelabweichungen zu eliminieren und die Wirkung von Störgrößen ohne exakte Kenntnis der Störung zu kompensieren.
Wie wird die Qualität der Zustandsschätzung sichergestellt?
Die Qualität wird durch die Prüfung der Beobachtbarkeit des Systems (Rang der Beobachtbarkeitsmatrix) und eine geeignete Platzierung der Beobachter-Polstellen gewährleistet, die schneller als die Regler-Polstellen gewählt werden.
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- Dipl.-Ing. Jens Markusch (Author), 2005, Systembeschreibung eines Invertierten Pendels LIP100 unter Verwendung von MatLAB, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/169219
