Das Drei-Körper-Problem tauchte zum 1. Mal Ende des 18. Jahrhunderts auf und genießt seitdem ungebrochenes Interesse von Generationen von Mathematikern und Physikern. Schon I. Newton warf dieses Problem mit seinem Gravitationsgesetz auf: Wie bewegen sich drei Körper nur durch den Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitation?
Da dieses Problem streng mathematisch nicht lösbar ist, versuchte Euler und Lagrange es durch Einschränkungen zu lösen. L. Euler erkannte bereits 1772 die Komplexität und die Unlösbarkeit dieses Problems und versuchte es durch bestimmte Annahmen zu vereinfachen und lösbar zu machen. Er betrachtete das sogenannte eingeschränkte Drei-Körper-Problem (problème restreint): Wie bewegen sich drei Körper nur durch den Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitation, wenn der dritte Körper wesentlich leichter ist als die anderen zwei und somit die Bewegung der beiden schweren Körper nur „stört“?
Weitere Spezialfälle, die exakt lösbar sind hatte J.-L. Lagrange erforscht. Der bekannteste Fall sind die Lagrange- oder Liberationspunkte.
Trotz der Bemühungen bekannter Forscher wie Newton, Euler und Lagrange konnte dieses Problem bisher nicht mathematisch sauber und korrekt gelöst werden. Schließlich gelang es einen Herren namens H. Poincaré 1898 in seinen Werk „Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste“1) zu zeigen, dass es außer den 10 bekannten Bewegungsintegrale keine weiteren gibt, so dass es nicht möglich ist, die zur analytischen Lösung der Bewegungsgleichungen nötigen 16 Integrale herauszufinden. Deshalb konzentrierten sich seitdem die nachfolgenden Wissenschaftler auf Annäherungsmethoden.
Als ein wichtiges Hilfsmittel entstand Anfang des 20. Jahrhunderts die astronomische Störungsrechnung. Man fokussiert sich auf den eingeschränkten Fall des Drei-Körper-Problems und verbesserte bereits vorhandene Näherungsverfahren wie dem Euler-Verfahren zu moderneren Algorithmen, mit deren und der Hilfe moderner Leistungscomputer ist es heutzutage möglich numerisch-iterativ beliebig exakt die Bahnen von Himmelskörpern auszurechnen.
Obwohl es viele Versuche gab eine mathematisch einwandfreie Lösung zu finden, müssen wir uns wohl oder übel mit einem Näherungsverfahren anfreunden. Im folgenden soll genauer auf das Problem eingegangen werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung
- Darstellung des allgemeinen n-Körper-Problems
- Grundlagen
- Die 10 Bewegungsintegrale
- Die Lösung des Zwei-Körper-Problems
- Die Erweiterung auf das Drei-Körper-Problem
- Die Lagrange-Punkte
- Satz über die Nichtexistenz von elementaren Integrale von Poincarné
- Das Euler-Verfahren
- Astronomische Störungsrechnung
- Schluss
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit beschäftigt sich mit dem komplexen Drei-Körper-Problem in der Himmelsmechanik. Sie analysiert die historischen Entwicklungen, die mathematischen Herausforderungen und die aktuellen Lösungsansätze dieses Problems, das seit der Zeit von Isaac Newton Wissenschaftler weltweit fasziniert.
- Die Entwicklung und Komplexität des Drei-Körper-Problems
- Die mathematischen Grundlagen und Herausforderungen der Problemlösung
- Die historische Entwicklung von Lösungsansätzen, insbesondere die Arbeiten von Euler und Lagrange
- Die Bedeutung der astronomischen Störungsrechnung für die Approximation des Problems
- Die Einschränkungen und Unlösbarkeit des Problems im streng mathematischen Sinne
Zusammenfassung der Kapitel
- Einführung: Das Drei-Körper-Problem wird vorgestellt und seine historische Bedeutung sowie die Komplexität werden hervorgehoben. Die Arbeit von Henri Poincaré und die Bedeutung der astronomischen Störungsrechnung werden kurz beleuchtet.
- Darstellung des allgemeinen n-Körper-Problems: Das Drei-Körper-Problem wird als Spezialfall des allgemeinen n-Körper-Problems der Himmelsmechanik betrachtet. Grundlagen wie Inertialsysteme, konservative Felder und Zentralkraftfelder werden erläutert. Das Gravitationsgesetz und die Keplerschen Gesetze werden im Kontext der Planetenbewegung dargestellt.
- Die Erweiterung auf das Drei-Körper-Problem: Die Lagrange-Punkte als spezielle Lösungen des Problems werden behandelt. Der Satz von Poincaré über die Nichtexistenz von elementaren Integralen und die Bedeutung von Näherungsverfahren werden erklärt. Das Euler-Verfahren und die astronomische Störungsrechnung als Hilfsmittel für die Approximation des Problems werden dargestellt.
Schlüsselwörter
Drei-Körper-Problem, Himmelsmechanik, Gravitation, Newton, Euler, Lagrange, Poincaré, astronomische Störungsrechnung, Näherungsverfahren, Lagrange-Punkte, Bewegungsintegrale, eingeschränktes Drei-Körper-Problem, Inertialsystem, konservatives Kraftfeld, Zentralkraftfeld, Keplersche Gesetze.
- Quote paper
- Siyuan Chen (Author), 2011, Das Drei-Körper-Problem der Himmelsmechanik, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/166233
