Die vorliegende Arbeit basiert auf der Ausarbeitung der im Seminar „Quadratische Formen“ vorgestellten Vorträge zu den Themen bzw. Ausschnitten der Theorie der binären quadratischen Formen und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. In dieser Arbeit sollen diese zwei Vorträge ausführlicher dargelegt und verdeutlicht werden. Ausgegangen wird dabei, soweit nicht anders vermerkt, vom dem Seminar zugrundeliegenden Buches von Scharlau & Opolka (1980).
Die Vorträge basieren wiederum auf den vorangehenden Vorträgen, dessen Inhalte für diese Arbeit grundlegend sind. Diese werden, falls nicht anders verzeichnet, als korrekt, geltend und bewiesen vorausgesetzt.
Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Fragestellung, welche Lösun-gen die Gleichung ax²+2bxy+cy² = m hat (für a, b, c, m ) bzw. für welche m diese Gleichung mit gegebenem a, b, c ganzzahlig lösbar ist. Diese Fragestel-lungen führen zur der Theorie der binären quadratischen Formen. Darin werden wichtige, elementare und für diese Theorie notwendigen Grundlagen, Sätze, Definitionen etc. verdeutlicht bzw. bewiesen werden. Um diese Theorie zeitlich einord-nen und mit dem Mathematiker Joseph Louis Lagrange in Verbindung setzen zu können, werden zu Beginn ein paar einleitende Worte zur Person genannt. Im Anschluss daran erfolgt dann die genauere Thematisierung des ersten zugrundeliegenden Themas dieser Arbeit.
An dieser Stelle soll bereits die Definition einer quadratischen Form erfolgen. Im Anschluss daran erfolgt zur Verdeutlichung eine Darstellung eines diesbezüglichen Beispiels.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Joseph Louis Lagrange:
3. Theorie der quadratischen Formen
4. Johann Carl Friedrich Gauß
5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Zielsetzung & Themen der Arbeit
Diese Arbeit befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der binären quadratischen Formen sowie dem Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, basierend auf den Arbeiten von Lagrange und Gauß.
- Grundlagen und Definitionen binärer quadratischer Formen
- Biografische Einblicke in die Mathematiker Lagrange und Gauß
- Theorie der Äquivalenz von quadratischen Formen
- Herleitung und Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes mittels Gaußscher Summen
Auszug aus dem Buch
Definition 1: Eine Zahl m heißt durch eine Form q(x, y) = ax²+2bxy+cy² dargestellt, wenn die Gleichung m = ax²+2bxy+cy² in ganzen Zahlen lösbar ist.
Um sich den quadratischen Formen auch von der geschichtlichen Seite zu nähern, wird im Rahmen dieser Arbeit wie Lagrange vorgegangen. Das bedeutet, dass zunächst der folgende Satz über die quadratischen Formen der Art q(x,y) = ax²+bxy+cy² bewiesen wird. Anschließend erfolgt die Verallgemeinerung (mit dem Faktor 2), so dass dann die Formen q(x, y) = ax²+2bxy+cy² betrachtet werden.
Satz 2: Es sei r ein Teiler einer Zahl, die von der Form ax²+bxy+cy² mit teilerfremden x = x0, y = y0 dargestellt wird. Dann wird r von einer Form AX²+BXY+CY² mit teilerfremden X = X0, Y = Y0 dargestellt, wobei 4AC-B² = 4ac-b².
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Vorstellung der Thematik der binären quadratischen Formen und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes sowie Einordnung in den Kontext der Literatur.
2. Joseph Louis Lagrange:: Kurzbiografie des Mathematikers Joseph Louis Lagrange und seine Beiträge zur Zahlentheorie.
3. Theorie der quadratischen Formen: Einführung in die Grundlagen, Definitionen und die Theorie der Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
4. Johann Carl Friedrich Gauß: Kurzbiografie des Mathematikers Johann Carl Friedrich Gauß und seine Bedeutung für die Zahlentheorie.
5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Detaillierte Herleitung und Beweisführung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Gaußsche Summen.
Schlüsselwörter
Quadratische Formen, Binäre quadratische Formen, Reziprozitätsgesetz, Zahlentheorie, Lagrange, Gauß, Legendre-Symbol, Gaußsche Summen, Äquivalenz, Primzahlen, Definitheit, Determinante, Polynom, Modulo, Einheitswurzeln
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Theorie der binären quadratischen Formen und führt zum Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen, deren Äquivalenzklassen sowie der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes über Gaußsche Summen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die ausführliche Darlegung und Verdeutlichung der mathematischen Zusammenhänge bei quadratischen Formen und die schrittweise Beweisführung des Reziprozitätsgesetzes.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematisch-deduktive Methode angewandt, die auf Definitionen, Sätzen, Lemmata und algebraischen Transformationen basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Definition von quadratischen Formen, deren Reduktion und Äquivalenz sowie in die theoretische Herleitung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Quadratische Formen, Reziprozitätsgesetz, Zahlentheorie, Legendre-Symbol und Gaußsche Summen stehen im Mittelpunkt.
Was besagt die Definition einer quadratischen Form in dieser Arbeit?
Eine Zahl m wird durch die Form dargestellt, wenn die Gleichung ax²+2bxy+cy² = m für ganze Zahlen lösbar ist.
Warum spielt die Determinante bei quadratischen Formen eine Rolle?
Die Determinante ist eine Invariante bei äquivalenten Formen und bestimmt die Definitheit der Form.
Welche Bedeutung haben Gaußsche Summen für den Beweis?
Gaußsche Summen dienen als Hilfsmittel, um eine Brücke zwischen der Primfaktorzerlegung und dem quadratischen Reziprozitätsgesetz zu schlagen.
Was ist das Ergebnis der Untersuchung zu den Äquivalenzklassen?
Es wird bewiesen, dass es zu jeder Determinante nur endlich viele eigentliche Äquivalenzklassen positiver binärer quadratischer Formen gibt.
- Quote paper
- Frauke Schaper (Author), 2010, Quadratische Formen und das quadratische Reziprozitätsgesetz, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/162396
