Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Ausgaben richtig kalkulieren zu können, ist die Bestimmung der Verteilung aller Schäden in einem festen Beobachtungszeitraum von großer Bedeutung.
In der vorliegenden Arbeit steht das kollektive Modell im Mittelpunkt, welches davon ausgeht, dass der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist. Nach einem Ansatz von H. Panjer kann man verschiedene Verteilungen für die zufällige Anzahl der Schäden über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der Panjer-Klasse) zusammenfassen. Dies ermöglicht die Herleitung von Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell.
Die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse erfolgt über die Abwandlung der Rekursionsformel durch eine spezielle Folge, wodurch sich die Klasse um die sogenannte Annuitätenverteilung erweitert. Untersucht werden die Existenzvoraussetzungen einer solchen Verteilung und die Form der erzeugenden Funktion. Im Anschluss an die Parameterschätzung der Annuitätenverteilung lassen sich Rekursionsformeln für die Verteilung eines diskontierten Gesamtschadens ableiten.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell
1.1 Das Modell
1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens
1.2.1 Erwartungswert und Varianz
1.2.2 Faltung
1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen
2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen
2.1 Charakterisierung
2.2 Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall
2.3 Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall
3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse
3.1 Annuitätenverteilungen und ihre Existenz
3.2 Eigenschaften von Annuitätenverteilungen
3.2.1 Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung
3.2.2 Zusammengesetzte Poissonverteilung
3.3 Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung
3.4 Anwendung der Annuitätenverteilung
A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme
A.1 Exakte Verteilung des Gesamtschadens
A.2 Panjer-Rekursion: Diskreter Fall
A.3 Panjer-Rekursion: Stetiger Fall
A.4 Parameterschätzung
A.5 Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens
B Verzeichnis über Verteilungen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht Methoden zur Berechnung von Schadensverteilungen im kollektiven Versicherungsmodell. Das primäre Ziel besteht darin, die klassische Panjer-Klasse zu verallgemeinern, indem Annuitätenverteilungen als flexiblere Schadenzahlverteilungen eingeführt und analysiert werden, um eine präzisere Modellierung von Gesamtschäden, insbesondere unter Berücksichtigung von Diskontierungsfaktoren, zu ermöglichen.
- Mathematische Modellierung des Gesamtschadens mittels kollektivem Modell.
- Analyse der Panjer-Klasse und deren Rekursionsformeln für diskrete und stetige Schadenshöhen.
- Herleitung und mathematische Charakterisierung von Annuitätenverteilungen.
- Methoden zur Schätzung der Verteilungsparameter aus empirischen Schadensdaten.
- Implementierung numerischer Lösungsverfahren mittels Maple-Programmierung.
Auszug aus dem Buch
1.1 Das Modell
Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Zahlungen richtig kalkulieren zu können, ist das Ausmaß aller auftretenden Schäden von großer Bedeutung. Dazu betrachtet man das folgende, sogenannte kollektive Modell:
• Sei (Xi)i∈N eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten (i.i.d.), nichtnegativen Schadenhöhen Xi.
• Sei N die zufällige Anzahl der Schäden in einer Beobachtungsperiode, die sogenannte Schadenzahl. Man nimmt an, dass N unabhängig von den Schadenhöhen (Xi)i∈N ist.
• Der Gesamtschaden S in einer bestimmten Beobachtungsperiode ist dann gegeben durch:
S := 0 falls N = 0; Summe(i=1 bis N) Xi falls N > 0.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell: Dieses Kapitel führt in das kollektive Risikomodell ein, definiert den Gesamtschaden als zufällige Summe und erarbeitet grundlegende Formeln für dessen Erwartungswert und Varianz.
2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen: Hier wird der Algorithmus von H. Panjer vorgestellt, der durch eine spezielle Rekursionsformel die Berechnung der Gesamtschadenverteilung für eine bestimmte Klasse von Schadenzahlverteilungen ermöglicht.
3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse: In diesem zentralen Kapitel wird die Panjer-Klasse durch die Einführung von Annuitätenverteilungen erweitert und es werden Verfahren zur Parameterschätzung sowie zur Modellierung diskontierter Gesamtschäden entwickelt.
A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme: Der Anhang dokumentiert die zur Berechnung und Simulation verwendeten Maple-Programme, die die theoretischen Ergebnisse der vorangegangenen Kapitel praktisch umsetzbar machen.
B Verzeichnis über Verteilungen: Dieses Kapitel bietet eine kompakte Übersicht der in der Arbeit verwendeten diskreten und stetigen Verteilungen inklusive ihrer Kenngrößen.
Schlüsselwörter
Risikotheorie, kollektives Modell, Panjer-Klasse, Schadenzahlverteilung, Annuitätenverteilung, Gesamtschaden, Faltung, erzeugende Funktion, diskontierter Gesamtschaden, Parameterschätzung, Momentenmethode, Poissonverteilung, Binomialverteilung, negative Binomialverteilung, Maple-Programmierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der versicherungsmathematischen Modellierung von Gesamtschäden, wobei der Fokus auf der effizienten Berechnung der Verteilung dieser Schäden unter Verwendung von Rekursionsformeln liegt.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen sind das kollektive Risikomodell, die Panjer-Rekursion für verschiedene Schadenzahlverteilungen sowie die theoretische Erweiterung dieses Modells durch Annuitätenverteilungen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse zur besseren Abbildung komplexer Schadenszenarien und die Entwicklung numerischer Methoden zur Berechnung von diskontierten Gesamtschäden.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden mathematische Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie (Momentenerzeugende Funktionen, Faltung) sowie numerische Approximationsverfahren mittels Softwareunterstützung (Maple) verwendet.
Welche Inhalte werden im Hauptteil vertieft?
Der Hauptteil behandelt die theoretische Herleitung der Annuitätenverteilungen, deren Existenzbedingungen sowie die spezifische Anwendung auf Modelle mit einem Diskontierungsfaktor.
Was charakterisiert die vorliegende Arbeit?
Die Arbeit verbindet eine tiefgehende theoretische Fundierung der Risikotheorie mit konkreten Ansätzen zur praktischen algorithmischen Umsetzung in der Versicherungsmathematik.
Wie unterscheidet sich die "Annuitätenverteilung" von klassischen Verteilungen?
Sie bietet eine flexiblere Struktur für die Schadenzahl, die durch einen zusätzlichen Parameter (δ) gesteuert werden kann, was sie zu einer verallgemeinerten Form klassischer Verteilungen wie der Poisson- oder Binomialverteilung macht.
Warum spielt die Maple-Programmierung eine so große Rolle in der Arbeit?
Da für die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens oft keine geschlossenen analytischen Lösungen existieren, ist der Einsatz numerischer Verfahren mittels Maple notwendig, um praxisrelevante Ergebnisse zu erzielen.
- Arbeit zitieren
- Anett Weber (Autor:in), 2007, Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/145315
