In der Mathematik müssen wir oft die lokalen Extrema von Funktionen berechnen, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und prüfen, ob die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist. Für mehrdimensionale Funktionen ist es aber nicht so einfach ihre Extrema zu berechnen. Deshalb verwenden wir das Gradientenverfahren aus der Numerik, um das lokale Minimum näherungsweise zu bestimmen.
Die Idee besteht darin, dass man ausgehend von einem Startpunkt entlang der Richtung des höchsten Abstiegs sucht, bis die Funktion wieder steigt. Wir finden also ein lokales Minimum, aber nicht unbedingt ein globales, da die Funktion nach dem Anstieg wieder absteigen kann.
Ausarbeitung eines Projekts in LaTex über das Gradientenverfahren mit:
- Ausschnitten der Implementierung des Verfahrens in MatLab
- Erklärung der Implementierung
- Grafiken
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Idee
- Das Verfahren
- Implementierung des Verfahrens in MATLAB
- Funktion grad
- Beispiel
- Zweidimensionaler Plot einer Funktion F durch Höhenlinien
- Erweiterung der Funktion grad.m zu gradIt.m
- Schnitt der Funktion f mit einer besonderen Ebene
- Funktion grad
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Projekt zielt darauf ab, die Anwendung des Gradientenverfahrens zur Approximation des lokalen Minimums einer quadratischen Funktion zu demonstrieren. Das Verfahren wird in der Programmiersprache MATLAB implementiert und anhand eines konkreten Beispiels erläutert.
- Anwendung des Gradientenverfahrens in der numerischen Mathematik
- Implementierung des Gradientenverfahrens in MATLAB
- Analyse der Funktionsweise und der Eigenschaften des Verfahrens
- Berechnung des lokalen Minimums einer quadratischen Funktion
- Visualisierung der Funktion und der Gradientenrichtung
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Dieses Kapitel führt in das Gradientenverfahren ein und erläutert seine Funktionsweise. Es wird die Idee des Verfahrens vorgestellt, das darauf basiert, ausgehend von einem Startpunkt entlang der Richtung des höchsten Abstiegs zu suchen, bis die Funktion wieder steigt.
Implementierung des Verfahrens in MATLAB
Dieses Kapitel behandelt die Implementierung des Gradientenverfahrens in der Programmiersprache MATLAB. Es wird eine Funktion namens "grad" erstellt, die die Parameter der quadratischen Funktion und einen Startwert als Eingabe nimmt. Die Funktion verwendet eine While-Schleife, um das lokale Minimum der Funktion zu approximieren, indem sie iterativ die Abstiegsrichtung und die Schrittweite berechnet.
Schlüsselwörter
Gradientenverfahren, numerische Mathematik, MATLAB, quadratische Funktion, lokales Minimum, Abstiegsrichtung, Schrittweite, Iteration, Approximation, Optimierung, Visualisierung, Höhenlinien.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Ziel des Gradientenverfahrens?
Das Gradientenverfahren dient dazu, das lokale Minimum einer Funktion näherungsweise zu bestimmen, indem man iterativ in Richtung des steilsten Abstiegs sucht.
Wie wird das Verfahren in MATLAB implementiert?
Die Implementierung erfolgt über eine Funktion (z.B. grad.m), die mittels einer While-Schleife, der Abstiegsrichtung und einer berechneten Schrittweite das Minimum approximiert.
Findet das Gradientenverfahren immer das globale Minimum?
Nein, es findet zuverlässig ein lokales Minimum. Da die Funktion nach einem Anstieg wieder abfallen kann, ist das Erreichen des globalen Minimums nicht garantiert.
Welche Rolle spielen Höhenlinien bei der Visualisierung?
Höhenlinien in zweidimensionalen Plots helfen dabei, den Verlauf der Funktion und die Bewegung des Verfahrens hin zum Minimum grafisch darzustellen.
Warum nutzt man dieses Verfahren statt der klassischen Ableitung?
Bei mehrdimensionalen oder komplexen Funktionen ist die direkte Berechnung der Nullstellen der Ableitung oft zu schwierig, weshalb numerische Näherungsverfahren effizienter sind.
- Arbeit zitieren
- Alex Meros (Autor:in), 2022, Gradientenverfahren zur Bestimmung des lokalen Minimums, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/1280398
