In meiner Hausarbeit möchte ich zu Beginn das Leben zweier bedeutender Mathematiker der Zeitgeschichte, den griechischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes von Syrakus und den französischen Mathematiker und Jurist Pierre de Fermat, die sie beide in unterschiedlichster Weise geprägt haben, vorstellen.
Da mein Thema die Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes krummlinig begrenzter Flächen ist, beschäftige ich mich im Wesentlichen in meiner Arbeit damit, wie Archimedes von Syrakus mit seiner „archimedischen Exhaustion“ und Pierre de Fermat mit seiner Berechnung des Integrals durch einen geschickten Ansatz Flächeninhalte bestimmen konnten.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Kurzbiographien
2.1. Archimedes von Syrakus
2.2. Pierre de Fermat
3. Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes
3.1. Die archimedische Exhaustion
3.2. Die FERMAT´sche Berechnung des Integrals
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die historischen Methoden zur Flächeninhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen, bevor die moderne Integralrechnung durch den Hauptsatz etabliert wurde, und beleuchtet dabei die mathematischen Ansätze von Archimedes von Syrakus sowie Pierre de Fermat.
- Biographische Einordnung von Archimedes und Fermat
- Die archimedische Exhaustionsmethode und deren Anwendung
- Fermats Ansatz zur Integralberechnung bei Kurvenfamilien
- Vergleich der antiken Methoden mit dem modernen Integralbegriff
Auszug aus dem Buch
3.1. Die archimedische Exhaustion
Der griechische Philosoph Antiphon (430 v. Chr.), der auch Überlegungen zur Mathematik überlieferte, war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren und so Pi bestimmen könne, da sich jedes Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel), also Vielecke, in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig "erschöpft" sei.
Mit dieser Idee entwickelte der griechische Mathematiker Eudoxos von Knidos (44-347 v.Chr.) die sogenannte „Exhaustionsmethode“ (von exhaurire, lat. "herausnehmen, erschöpfen, vollenden"), um Formeln für Inhalt und Volumen von krummlinig begrenzten Flächen bzw. Körpern herzuleiten bzw. diese zu beweisen. Er gilt als der Urheber einer Methode zum strengen Beweis von Formeln für Flächen- und Rauminhalte.
Sein bestreben war es, eine krummlinig begrenzte Figur in ein flächengleiches Quadrat oder allgemeines Dreieck zu verwandeln. Deshalb spricht man bei einer Flächeninhaltsbestimmung auch von einer Quadratur. Ziel dieser „Exhaustionsmethode“ war es, dass z.B. der Inhalt eines Kegels durch die Inhalte von Zylindern "ausgeschöpft" werden kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Einleitung führt in die historische Bedeutung der beiden Mathematiker ein und definiert das Ziel der Arbeit, die mathematischen Methoden zur Inhaltsbestimmung vor der Zeit von Newton und Leibniz darzulegen.
2. Kurzbiographien: Dieses Kapitel widmet sich dem Lebenswerk von Archimedes von Syrakus und Pierre de Fermat, wobei ihre jeweilige Rolle als Vorbereiter der modernen Analysis hervorgehoben wird.
3. Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes: Hier werden die Exhaustionsmethode des Archimedes sowie Fermats neuartige Integralberechnung für Potenzfunktionen detailliert analysiert und mathematisch nachvollzogen.
Schlüsselwörter
Mathematikgeschichte, Flächeninhaltsbestimmung, Archimedes, Exhaustionsmethode, Pierre de Fermat, Integral, Quadratur, Parabel, Grenzwert, Analysis, Geometrie, Antike, Wissenschaftsgeschichte, Kurven, Integralrechnung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der historischen Entwicklung der mathematischen Methoden zur Bestimmung von Flächeninhalten unter krummlinig begrenzten Kurven vor der Etablierung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Zentrale Themen sind die mathematischen Biographien von Archimedes und Fermat sowie die methodischen Ansätze zur Flächenberechnung, konkret die Exhaustionsmethode und erste Ansätze zur Integration von Potenzfunktionen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es aufzuzeigen, wie Archimedes und Fermat durch geschickte, auf Approximation basierende Ansätze mathematische Probleme lösten, die später die Grundlage für die moderne Integralrechnung bildeten.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es handelt sich um eine historisch-mathematische Analyse, die auf der Rekonstruktion und Interpretation antiker sowie frühneuzeitlicher mathematischer Beweisführungen basiert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit schwerpunktmäßig behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die detaillierte mathematische Beschreibung der archimedischen Exhaustion am Beispiel der Parabel und die von Fermat entwickelte Methode zur Integration der Kurvenfamilie y = x^n.
Welche Schlagworte charakterisieren diese Arbeit?
Die Arbeit lässt sich am besten durch Begriffe wie Mathematikgeschichte, Analysis, Quadratur, Exhaustionsmethode und Integralberechnung beschreiben.
Warum konnte Fermat die Hyperbel y = 1/x nicht erfolgreich in sein System integrieren?
Fermat scheiterte an diesem speziellen Fall, da der in seiner allgemeinen Formel verwendete Nenner n + 1 für n = -1 zu einer Division durch Null führen würde.
Welchen Einfluss hatten die Griechen auf die mathematische Notation des Unendlichen?
Die antiken griechischen Mathematiker hatten das Konzept des Unendlichen aus ihrem formalen System verbannt, weshalb Archimedes seine Beweise ausschließlich unter Verwendung endlicher Summen formulieren musste.
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- Anonym (Author), 2008, Flächeninhaltsbestimmung vor der Entdeckung des Hauptsatzes (Mathematik), Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/998030
