Dans ce travail nous avons modélisé numériquement les équations de Saint Venant qui régissent les écoulements en eau peu profonde, couplées à l'équation de diffusion d'un polluant. Nous avons utilisé deux techniques de calcul numérique parmi les plus efficaces, la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis.
En éléments finis nous utilisons le schéma de Taylor-Galerkin qui est un schéma centré de deuxième ordre dans l'espace et dans le temps. La solution est calculée par ce schéma en deux étapes, la première utilise une approximation constante par élément et la seconde une approximation linéaire. Nous obtenons un schéma conservatif, précis et simple à programmer ; néanmoins il génère des oscillations aux voisinages des gradients importants. Cet handicap est résolu par l'introduction d'un modèle de diffusion numérique du à MacCormak. Cette dissipation a pour caractéristique de n'agir que dans les régions à forts gradients et d'être inactive dans les régions lisses.
Le deuxième schéma est issu de la méthode des volumes finis et il est dû à Roe. On y utilise un maillage de type éléments finis non-structuré (cell-centered) ou les grandeurs physiques sont évaluées aux centres des cercles circonscrits aux triangles. La partie hyperbolique du système d'équations est approximée par un solveur de Riemann, puis le flux numérique est corrigé de façon à garantir l'entropie de la solution. Afin d'augmenter la précision du schéma dans l'espace à l'ordre deux, la technique MUSCL est utilisée. Quant à la discrétisation du temps, elle est effectuée par le schéma de Runge Kutta à l'ordre deux.
La validition des deux méthodes est démontrée sur le test du ressaut hydraulique dont la solution théorique est connue. Ensuite, des comparaisons sont effectuées sur une série d'exemples d'écoulements à surface libre. Les deux schémas se révèlent être puissants, précis et efficaces. Ils présentent des performances comparables quant à leur capacité de capter les ondes de choc. Néanmoins, le schéma de Taylor-Galerkin nécessite le réglage par l'utilisateur du coefficient de la diffusion numérique tandis que le shéma de Roe est plus gourmand en temps CPU.
Inhaltsverzeichnis
- Introduction
- Problembeschreibung
- Literaturüberblick
- Ziele
- Gliederung der Dissertation
- Gleichungen für Oberflächenströmungen
- Koordinatensystem
- Navier-Stokes-Gleichungen für Oberflächenströmungen
- Massenerhaltung
- Impulserhaltung
- Randbedingungen
- Zweidimensionaler Fluss: Saint-Venant-Modell
- Hydrostatischer Druck
- Leibniz-Regel
- Mittlere Kontinuitätsgleichung
- Mittlere Impulsgleichung
- Quellenbegriffe und Volumenkräfte
- Randbedingungen
- Offene Ein- und Auslaufgrenzen
- Transport-Diffusionsgleichung für einen Schadstoff
- Turbulenzmodell
- Fazit
- Finite-Elemente-Methode und Taylor-Galerkin-Schema
- Nodale Approximation durch Finite Elemente
- Referenzelement
- Methode der gewichteten Residuen
- Wahl des Elements
- Approximationsfehler
- Taylor-Galerkin-Schema
- Lax-Wendroff-Schema in finiten Differenzen
- Taylor-Galerkin-Schema
- Konvergenzbegriff
- Stabilität
- Konsistenz
- Taylor-Galerkin-Schemata in 2-D
- Einstufiges Taylor-Galerkin-Schema
- Zweistufiges Taylor-Galerkin-Schema
- Behandlung der Terme Fn+ und Gn+ 1/1
- Techniken zur Stoßfängerfassung
- Stabilität und Konsistenz
- Numerische Implementierung
- Ausdruck für ein T3-Dreieck
- Zeit-Schritt-Kriterium
- Abbruchkriterium
- Behandlung des Diffusionsbegriffs
- Behandlung des Quellbegriffs
- Validierungstest
- Schräger hydraulischer Sprung
- Finite-Volumen-Methode und Roe-Schema
- Prinzip der Finite-Volumen-Methode
- Ordnung der Genauigkeit der Diskretisierung des instationären Begriffs
- Ordnung der Genauigkeit der Diskretisierung des konvektiven Begriffs
- Roe-Schema in finiten Volumen
- Einleitung
- Godunov-Schema
- Roe-Schema
- Roe-Matrix für das 1D-Saint-Venant-System
- Anwendung des Roe-Schemas auf das 2D-Saint-Venant-System
- Konstruktion der Roe-Matrix
- Diskretisierung
- Numerische Behandlung des konvektiven Teils
- Entropische Korrektur des Roe-Fluss
- Erweiterung des Roe-Schemas auf höhere räumliche Ordnung
- Diskretisierung des Diffusionsteils
- Behandlung der Quellbegriffe
- Zeitdiskretisierung
- Validierungstest
- Schräger hydraulischer Sprung
- Vergleichende Studie des Taylor-Galerkin-Schemas und des Roe-Schemas
- Brechen eines Damms in einem Fluss
- Teilweiser Bruch eines kreisförmigen Damms
- Strömung in einem konvergenten Kanal
- Strömung in einem konvergent-divergenten Kanal
- Diffusion eines Schadstoffs in einem stillen Reservoir
- Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Dissertation befasst sich mit der numerischen Modellierung von Oberflächenströmungen und dem Transport von Schadstoffen. Das Ziel ist es, die Saint-Venant-Gleichungen zu lösen, die das Verhalten von Oberflächenströmungen unter verschiedenen Bedingungen beschreiben. Die Dissertation untersucht zwei numerische Methoden: die Finite-Elemente-Methode mit dem Taylor-Galerkin-Schema und die Finite-Volumen-Methode mit dem Roe-Schema.
- Numerische Modellierung von Oberflächenströmungen
- Lösung der Saint-Venant-Gleichungen
- Anwendung der Finite-Elemente-Methode und des Taylor-Galerkin-Schemas
- Anwendung der Finite-Volumen-Methode und des Roe-Schemas
- Transport von Schadstoffen in Oberflächenströmungen
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in die Thematik der Dissertation ein, indem es die Problematik, den Literaturüberblick, die Ziele und die Gliederung der Arbeit erläutert.
Das zweite Kapitel stellt die Gleichungen für Oberflächenströmungen vor, darunter die Navier-Stokes-Gleichungen und das Saint-Venant-Modell. Es werden auch die Transport-Diffusionsgleichung für Schadstoffe und ein Turbulenzmodell diskutiert.
Das dritte Kapitel behandelt die Finite-Elemente-Methode und das Taylor-Galerkin-Schema, einschließlich der Approximation durch Finite Elemente, des Referenzelements, der Methode der gewichteten Residuen, der Wahl des Elements und des Approximationsfehlers. Es wird auch das Taylor-Galerkin-Schema, einschließlich des Lax-Wendroff-Schemas, des Konvergenzbegriffs, der Stabilität und der Konsistenz, behandelt.
Das vierte Kapitel widmet sich der Finite-Volumen-Methode und dem Roe-Schema. Es werden das Prinzip der Finite-Volumen-Methode, die Ordnung der Genauigkeit der Diskretisierung des instationären und des konvektiven Begriffs sowie das Roe-Schema, einschließlich des Godunov-Schemas und der Roe-Matrix, behandelt.
Das fünfte Kapitel präsentiert eine vergleichende Studie des Taylor-Galerkin-Schemas und des Roe-Schemas unter Verwendung verschiedener Testfälle, wie dem Brechen eines Damms in einem Fluss, dem teilweisen Bruch eines kreisförmigen Damms, der Strömung in einem konvergenten Kanal, der Strömung in einem konvergent-divergenten Kanal und der Diffusion eines Schadstoffs in einem stillen Reservoir.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter dieser Dissertation sind Oberflächenströmungen, Saint-Venant-Gleichungen, Finite-Elemente-Methode, Taylor-Galerkin-Schema, Finite-Volumen-Methode, Roe-Schema, Schadstofftransport, numerische Modellierung.
- Quote paper
- Farid Boushaba (Author), 2006, Résolution des équations de Saint Venant avec transport de polluant par un schéma éléments finis et un schéma volumes finis, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/939096
