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Die Menge der natürlichen Zahlen wird über die Peano-Axiome definiert. Wenn wir nun davon ausgehen, dass alle Axiome erfüllt sind, müssen in dieser Menge sämtliche Elemente der natürlichen Zahlen enthalten sein. Rekursiv lässt sich nach den Axiomen der Bereich der natürlichen Zahlen auch so definieren:
n1=1; n2=n1+1
Mit dieser Schreibweise kann man erkennen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich viele Elemente aufweist, da jede Zahl einen Nachfolger besitzt und deshalb immer eine größere Zahl existiert.
Über das vierte Peano-Axiom kann man hier anmerken, das dieses die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion ist.
1.2 Hilberts Hotel
Um der Unendlichkeit ein wenig ihre Abstraktheit zu nehmen und ihr „in mancher Hinsicht ganz anderes Verhalten als von endlichen Mengen“ (Reis 2005, S. 33) zu erläutern, wird auch gerne das bekannte Beispiel von David Hilbert (1862-1943) benutzen.
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Inhaltsverzeichnis
- Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen
- Begründung hinsichtlich der Peano-Axiome
- Hilberts Hotel
- Mächtigkeit
- Die Methode der Vollständigen Induktion
- Grundprinzip
- Herleitung des Verfahrens der vollständigen Induktion
- Allgemeiner Aufbau
- Verlagerung des Induktionsanfangs
- Didaktische Darstellung
- Beispiele
- Geometrische Beispiele
- Beweis der BERNOUILLIschen Ungleichung
- Beweis zur Teilbarkeit
- Häufige Fehler
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und der Beweismethode der vollständigen Induktion. Sie soll die mathematischen Grundlagen dieser beiden Konzepte erläutern und ihre Bedeutung für den Aufbau der Mathematik verdeutlichen.
- Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften
- Die Peano-Axiome als Grundlage für die Definition der natürlichen Zahlen
- Die Beweismethode der vollständigen Induktion und ihre Anwendung
- Die Herleitung des Verfahrens der vollständigen Induktion
- Didaktische Aspekte der vollständigen Induktion
Zusammenfassung der Kapitel
Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Eigenschaft der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Es werden die Peano-Axiome als Grundlage für die Definition der natürlichen Zahlen vorgestellt und erläutert, wie diese Axiome die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen implizieren. Das Kapitel stellt auch das bekannte Beispiel von Hilberts Hotel vor, um die Abstraktheit der Unendlichkeit anschaulich zu erklären. Schließlich wird der Begriff der Mächtigkeit eingeführt und die Aussage bewiesen, dass es genauso viele natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen gibt.
Die Methode der Vollständigen Induktion
Dieses Kapitel behandelt die Methode der vollständigen Induktion als Beweisverfahren für Aussagen über natürliche Zahlen. Es wird das Grundprinzip der Methode erläutert und anhand eines Beispiels die Herleitung des Verfahrens demonstriert. Zudem werden verschiedene Anwendungen der vollständigen Induktion vorgestellt, darunter geometrische Beispiele und Beweise für die BERNOUILLIsche Ungleichung und die Teilbarkeit.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter in dieser Arbeit sind: natürliche Zahlen, Unendlichkeit, Peano-Axiome, vollständige Induktion, Beweisverfahren, mathematische Grundlagen, Didaktik, BERNOUILLIsche Ungleichung, Teilbarkeit.
- Arbeit zitieren
- Nina Wingerter (Autor:in), Florian Grondke (Autor:in), 2006, Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen und die Beweismethode der vollständigen Induktion, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/76601
