Es liegt in der Natur des Menschen, komplizierte Sachverhalte zu hinterfragen und zu
verstehen. So beschäftigen sich Wissenschaftler seit Jahrhunderten damit, ihre Umwelt
und vor allem dort auftauchende, scheinbar chaotische Systeme in eine geordnete und
verständliche Struktur zu bringen. Ein Beispiel hierfür ist die über zweitausend Jahre
gültige Euklidische Geometrie, die als Standardgeometrie ein Bestandteil der
klassischen Mathematik ist und unter anderem unsere Umwelt in ein ganzzahlig
dimensionales System einordnet. Sie ermöglicht z. B. Daten mittels grafischer
Instrumente aufzuarbeiten, zu veranschaulichen und daraus folgend besser analysieren
bzw. verstehen zu können.
Der Wissenschaftler Benoit Mandelbrot hat seit den sechziger Jahren mit seinen
wissenschaftlichen Forschungen und seiner Gabe, Muster und Formen intuitiv zu
erfassen, ein neues Gebiet der Geometrie erschlossen, das sich auf Grenzen der
euklidischen Dimension bezieht. Ausgangspunkt hierfür waren Überlegungen über eine
bis dahin vollkommen neue Ansicht der geometrischen Welt. Diese zeigt sich in
Gebilden mathematischer Monster wie der Koch Kurve, deren Dimensionen nach
Mandelbrot den „fraktalen Dimensionen“ zugeordnet werden. Inwiefern Mandelbrots
Erkenntnisse die bis dahin gültige Wissenschaft revolutionierte und der Wissenschaft
bis zum heutigen Zeitpunkt neue, leistungsfähige Methoden bereitstellt, wird in den
folgenden Kapiteln betrachtet.
Zunächst wird in Kapitel 2 auf die Geschichte, die Euklidische Geometrie und ihre
Grenzen eingegangen. In Kapitel 3 wird die fraktale Geometrie bzw. die
gebrochenzahlige Dimension sowie die Koch Kurve dargestellt, wobei insbesondere
das Wesen einer Küstenlinie näher analysiert wird. Zudem wird auf den Begriff der
Selbstähnlichkeit eingegangen. Kapitel 4 erläutert abschließend die Zusammenhänge
zwischen Fraktalen und der Chaostheorie und zeigt Anwendungsbereiche der fraktalen
Mathematik auf. [...]
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Grundlagen der Geometrie
- 2.1 Geschichte
- 2.2 Die Euklidische Geometrie
- 2.3 Grenzen der Euklidischen Geometrie
- 3 Die Fraktale Geometrie
- 3.1 Beschreibung einer fraktalen Dimension
- 3.2 Die Koch Kurve
- 3.3 Selbstähnlichkeit
- 3.4 Anwendung auf die Küstenlinie Britanniens
- 4 Anwendungsbereiche von Fraktalen und deren Zusammenhang zur Chaostheorie
- 5 Schlußfolgerung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit untersucht die Geschichte und Entwicklung der Geometrie, mit einem Fokus auf die Grenzen der Euklidischen Geometrie und die Entstehung der fraktalen Geometrie. Die Arbeit beleuchtet den Einfluss der fraktalen Dimensionen auf das Verständnis von komplexen Systemen und ergründet den Zusammenhang zwischen fraktalen Strukturen und der Chaostheorie.
- Entwicklung der Geometrie von der Antike bis zur Moderne
- Euklidische Geometrie und ihre Grenzen
- Fraktale Geometrie und die fraktale Dimension
- Anwendungen von Fraktalen in verschiedenen Disziplinen
- Zusammenhang zwischen Fraktalen und der Chaostheorie
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 führt in die Thematik der Seminararbeit ein und beleuchtet die Motivation, komplizierte Sachverhalte zu verstehen. Dabei wird auf die Euklidische Geometrie als Standardgeometrie eingegangen und die Bedeutung ihrer Anwendung für die Analyse von Daten und Systemen hervorgehoben. Kapitel 2 befasst sich mit der Geschichte der Geometrie, angefangen bei den Chaldäern und Ägyptern bis hin zu den griechischen Naturphilosophen wie Thales, Pythagoras und Euklid. Dieses Kapitel analysiert die Entwicklung von mathematischen Beweisen und die grundlegenden Prinzipien der Euklidischen Geometrie.
Kapitel 3 widmet sich der fraktalen Geometrie und beschreibt die fraktale Dimension sowie die Koch Kurve. Ein wichtiger Aspekt dieses Kapitels ist die Analyse von Küstenlinien und die Erläuterung des Konzepts der Selbstähnlichkeit. Schließlich zeigt Kapitel 4 die Anwendungsbereiche der fraktalen Mathematik und beleuchtet den Zusammenhang zwischen Fraktalen und der Chaostheorie.
Schlüsselwörter
Die zentralen Schlüsselwörter dieser Seminararbeit sind: Geometrie, Euklidische Geometrie, Fraktale Geometrie, fraktale Dimension, Koch Kurve, Selbstähnlichkeit, Chaostheorie, Küstenlinie, Anwendungsbereiche.
- Quote paper
- René Respondek (Author), 2005, Chaos - A Geometry of Nature, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/57750
