Zur Kennzeichnung stochastischer Prozesse x(t) fallen einem zuerst einmal Größen wie Mittelwert, Varianz, Schiefe oder Exzess ein. Anders gesagt, man denkt an die Verteilung p(x, t) und ihre Momente. Es gibt aber andere Klassen von Observablen, die nicht durch die Eigenschaften des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt gegeben sind, sondern beispielsweise vom Verhalten der Realisierung x(t) in einem ganzen Zeitintervall [0, T] abhängen. Hierzu gehören Größen wie die mittlere erste Passagezeit von einem Wert x0 zu einem anderen Wert x1 oder die Frage nach dem Maximalwert xm, den x(t) in
[0, T] einnimmt.
Wenn x(t) den Preisprozess eines Finanzinstruments darstellt, so ist das erwartete Extremwertverhalten dieses Prozesses Grundlage für die Konstruktion komplexer, pfadabhängiger Finanzderivate und wichtig für die Risikoabschätzung von Portfolios oder Krediten. Hier wird üblicherweise mit gaußschen Prozessen gerechnet.
Intensive Analysen der letzten zehn Jahre aus dem Bereich der Econophysics haben allerdings gezeigt, dass die Verteilung der Inkremente des Preisprozesses p(x(t)) gegenüber einer Gaußverteilung stark verbreitert ist und z.B. durch eine abgeschnittene Lévy-Verteilung beschrieben werden kann.
In dieser Arbeit wird mit Blick auf die Anwendungen in der Econophysics mittels Computersimulation der allgemeinen Frage nachgegangen, welche Eigenschaften der stochastische Prozess auf einem endlichen Zeitintervall für die Brownsche Bewegung, einen Lévy- Flight oder einen truncated Lévy-Flight
hat.
Nachdem in Kapitel 1 die mathematischen Grundlagen bespochen werden, enthält Kapitel 2 eine Beschreibung und Verifikation der numerischen Methoden. Kapitel 3 ist eine Zusammenfassung oder Grundlagenaufarbeitung aus der Econophysics. Es wird der Begriff Derivat erläutert, sowie ein kleiner Überblick über die Empirie von Preisfluktuationen gegeben und verschiedene Modellierungsmöglichkeiten aufgezeigt. Kapitel 4 stellt dann exemplarisch Ergebnisse der Simulationen dar, die sich für die verschiedenen stochatischen Prozesse ergeben. Im Anhang befindet sich der C++ Quell-Code, der direkt für eine praktische Anwendung innerhalb eines Risikomanagementsystem eines Finanzinstituts oder Asset Managers verwendet werden kann.
Inhaltsverzeichnis
- Anmerkung
- Einleitung
- 1 Klassische Extremwertstatistik und Extrema von random walks
- 1.1 Die klassischen Extremwertverteilungen
- 1.2 Lévy-Verteilungen
- 1.3 Random walks und das Brownsche Reflexionsprinzip
- 2 Algorithmen und Tests
- 2.1 Zufallszahlengeneratoren und Tests
- 2.2 Tests der numerischen Parameter mit Hilfe der Extremwertverteilungen
- 2.2.1 Extremwertverteilung gaußverteilter Zufallszahlen
- 2.2.2 Extremwertverteilung von Lévy verteilten Zufallszahlen
- 2.2.3 Zusammenfassung
- 3 Empirie von Preisschwankungen und das Black-Scholes Modell
- 3.1 Derivate
- 3.2 Das Lévy stabile 'nicht-Gauß' Modell
- 3.3 Student'sche t-Verteilung und Mischungen von Gaußverteilungen
- 3.4 Die abgeschnittene Lévy-Verteilung
- 3.5 Empirische Ergebnisse zu Aktienkursen in Bezug auf die Extremwertstatistik
- 3.6 Das Black-Scholes-Modell
- 4 Die Simulationen und ihre Ergebnisse
- 4.1 Verteilung der Summe von abgeschnittenen Lévy-Verteilungen
- 4.2 Rekurrenzen
- 4.3 Interessantes im Hinblick auf die klassische Extremwertstatistik
- 4.4 Die Bewertung pfadabhängiger Derivate
- Zusammenfassung und Ausblick
- Programmcodes
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der Simulation von Zufallsprozessen im Kontext der Extremwertstatistik und der Bewertung von pfadabhängigen Derivaten. Ziel ist es, quantitative Aussagen darüber zu treffen, wann sich ein Prozess mit abgeschnittenen Lévy-Verteilungen wieder von einer Gaußverteilung approximieren lässt.
- Extremwertstatistik von random walks
- Bewertung von pfadabhängigen Derivaten
- Simulation von Lévy-Prozessen
- Empirische Untersuchungen von Aktienkursen
- Vergleich mit dem Black-Scholes-Modell
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einführung in die klassische Extremwertstatistik und die Eigenschaften von random walks.
- Kapitel 2: Beschreibung der Algorithmen und Tests zur Überprüfung der numerischen Parameter mit Hilfe der Extremwertverteilungen.
- Kapitel 3: Untersuchung empirischer Daten von Preisschwankungen und Diskussion verschiedener Modelle, darunter das Black-Scholes-Modell, das Lévy-Modell und die abgeschnittene Lévy-Verteilung.
- Kapitel 4: Präsentation der Ergebnisse der Simulationen, einschließlich der Verteilung der Summe von abgeschnittenen Lévy-Verteilungen, der Untersuchung von Rekurrenzen und der Bewertung pfadabhängiger Derivate.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Themen Extremwertstatistik, Lévy-Prozesse, pfadabhängige Derivate, Monte-Carlo-Simulationen, empirische Datenanalyse, Aktienkursmodelle und das Black-Scholes-Modell.
- Arbeit zitieren
- Thomas Schwiertz (Autor:in), 2004, Computersimulation von Zufallsprozessen: Extremwertstatistik, Rekurrenzen und die Bewertung pfadabhängiger Derivate, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/45738
