Dans cette ouvrage, différentes techniques ont été adoptées, comme par exemple, la méthode des inégalités de l’énergie, cette méthode appelée aussi méthode d’analyse fonctionnelle qui est basée sur les idées de J. Leray et L. Garding et présentée sous forme d’une méthode par A. A. Dezin pour l’étude des problèmes aux limites liés aux équations elliptiques, aussi bien par la méthode de formulation variationnelle des problèmes aux limites développée par Lax-Milgram et Stampaccia. Par contre la méthode de degré topologique de Leray-Schauder et la méthode de sous et sur solution permet également de résoudre des problèmes aux limites qui n’ont pas de formulation variationnelle.
Inhaltsverzeichnis
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Généralités et quelques rappels
- Rappels d'analyses fonctionnelles
- Quelques Inégalités Importantes.
- Le degré topologique
- Principe du maximum
- Problème de valeurs propres
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Théorème d'existence et d'unicité de la solution pour les E.D.P. dans les espaces fonctionnels
- Plan de l'étude de l'équation Lu = f
- Espace de Banach, espace de Hilbert
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Formulation variationnelle des problèmes aux limites
- Lemme de Lax-Milgram
- Applications
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Méthode énergétique
- Notions générales, position du problème
- Solutions généralisées dans W¼(§). Première inégalité de l'énergie
- Deuxième inégalité de l'énergie pour les opérateurs elliptiques
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Résultat d'existence des solutions des problèmes aux limites quasi-linéaires étudiées par la théorie de degré topologique
- Résultat principale
- Le cas = \\₁
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Résultat d'existence de solutions faibles positives d'un système elliptique
- Définitions et notations.
- Résultat d'existence.
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für elliptische partielle Differentialgleichungen (PDEs) in Funktionsräumen. Das Hauptziel ist es, verschiedene Methoden und Techniken vorzustellen, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für verschiedene Arten von elliptischen Problemen zu beweisen. Der Fokus liegt auf der Verwendung von funktionalanalytischen Methoden, einschließlich der Theorie des topologischen Grades, dem Lax-Milgram-Lemma und der Energiemethoden.
- Funktionalanalytische Methoden für elliptische PDEs
- Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
- Topologischer Grad und Lax-Milgram-Lemma
- Energiemethoden und ihre Anwendung
- Formulierung variationeller Probleme
Zusammenfassung der Kapitel
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Grundlagen der funktionalen Analysis, die für das Verständnis der elliptischen PDEs unerlässlich sind. Dies umfasst eine Diskussion über normierte Räume, Banachräume, Hilberträume und Sobolev-Räume. In Kapitel 1 werden wichtige Ungleichungen, wie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, sowie der topologische Grad und der Maximum-Prinzip erläutert. Kapitel 2 untersucht die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für elliptische PDEs in Funktionsräumen. Hier werden verschiedene Methoden und Techniken vorgestellt, wie die Anwendung des Lax-Milgram-Lemmas und die Energiemethoden.
Kapitel 3 befasst sich mit der variationellen Formulierung von Randwertproblemen. Das Lax-Milgram-Lemma wird verwendet, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Dirichlet- und Neumann-Probleme zu beweisen. Kapitel 4 behandelt die Energiemethoden zur Untersuchung der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für elliptische Probleme. Die Arbeit konzentriert sich auf die ersten und zweiten Energieungleichungen, die für die Analyse von Lösungen in Sobolev-Räumen wichtig sind.
In Kapitel 5 wird die Existenz von Lösungen für quasilineare Randwertprobleme durch die Anwendung der Theorie des topologischen Grades untersucht. Das Hauptresultat und die Diskussion über den Spezialfall = \\₁ werden präsentiert. Kapitel 6 behandelt die Existenz von schwachen, positiven Lösungen für ein elliptisches System. Hier werden Definitionen, Notationen und der Beweis des Existenzresultats vorgestellt.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf verschiedene Themenbereiche, darunter elliptische partielle Differentialgleichungen, funktionalanalytische Methoden, Existenz- und Eindeutigkeitstheorie, topologischer Grad, Lax-Milgram-Lemma, Energiemethoden, variationelle Formulierung, Dirichlet- und Neumann-Randwertprobleme, quasilineare Randwertprobleme, schwache Lösungen, positive Lösungen und elliptische Systeme. Der Einsatz dieser Schlüsselwörter und ihrer Zusammenhänge ist für das Verständnis der Arbeit essentiell.
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- Zaraï Abderrahmane (Author), 2018, Problèmes Elliptiques. Existence et Unicité, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/433892
