Mit der Euler-Formel wird der Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks berechnet. Das Besondere an dieser Formel ist, dass sie nicht etwa die Koordinaten der Eckpunkte oder die Seitenlängen des Dreiecks verwendet, sondern Größen, mit denen Dreiecke normalerweise nicht beschrieben werden: die Radien von Umkreis und Inkreis.
Die Euler-Formel wird in gängigen Geometriebüchern nicht bewiesen. Nathan Bowler's Artikel "How anyone can prove Euler's Formula” skizziert dagegen gleich vier verschiedene Beweise. Gegenstand dieser Arbeit sind die beiden ersten Beweise hierin: Klassischer und Inversions-Beweis der Euler-Formel. Bowler setzt nicht nur Vieles voraus, sondern verwendet auch eine sehr kondensierte Darstellung. Daher werden hier in der folgenden Vorbereitung die nötigen Sätze hergeleitet bzw. bewiesen, bevor die eigentlichen Beweise der Euler-Formel entwickelt werden.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Vorbereitung
- 2.1 Peripheriewinkelsatz
- 2.2 Umkreis eines Dreiecks
- 2.3 Inkreis eines Dreiecks
- 2.4 Sehnen/Sekanten-Satz und Potenz eines Punktes
- 2.5 Inversion am Kreis
- 2.6 Sinussatz
- 3 Beweise der Euler-Formel
- 3.1 Klassischer Beweis
- 3.2 Inversionsbeweis
- 4 Quellen
- 5 Anhänge
- 5.1 Anhang A-Übersetzung wichtiger Begriffe
- 5.2 Anhang B: Programmlistings
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Euler-Formel, die den Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks berechnet. Die Arbeit konzentriert sich auf zwei Beweise der Euler-Formel, den klassischen Beweis und den Inversionsbeweis, die in Nathan Bowler's Artikel [1] skizziert werden.
- Peripheriewinkelsatz und seine Anwendung in der Geometrie von Dreiecken
- Eigenschaften von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
- Anwendungen der Inversion am Kreis
- Beweise der Euler-Formel
- Programmierung geometrischer Berechnungen in R
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung
Die Einleitung stellt die Euler-Formel vor und erläutert ihre Bedeutung in der Geometrie von Dreiecken. Sie beleuchtet die Besonderheit der Formel, die nicht auf Koordinaten oder Seitenlängen, sondern auf Radien von Umkreis und Inkreis basiert.
2 Vorbereitung
Das Kapitel "Vorbereitung" legt den Grundstein für die Beweise der Euler-Formel, indem es wichtige Sätze und Konzepte der Geometrie behandelt. Zu den Schwerpunkten gehören:
- Der Peripheriewinkelsatz und seine Anwendung zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken
- Die Eigenschaften von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
- Der Sehnen/Sekanten-Satz und die Potenz eines Punktes
- Die Inversion am Kreis als geometrisches Werkzeug
- Der Sinussatz und seine Anwendung in der Dreiecksgeometrie
3 Beweise der Euler-Formel
Das Kapitel "Beweise der Euler-Formel" präsentiert zwei verschiedene Beweise der Euler-Formel, den klassischen Beweis und den Inversionsbeweis. Diese Beweise basieren auf den in Kapitel 2 erarbeiteten Konzepten und Sätzen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Euler-Formel, die Geometrie von Dreiecken, Umkreis, Inkreis, Peripheriewinkelsatz, Inversion am Kreis, klassische Beweise, Inversionsbeweise und die Programmierung geometrischer Berechnungen in R.
- Arbeit zitieren
- Dipl.-Ing., MSc, Rainer Stickdorn (Autor:in), 2012, Schriftlich/graphische Beweise des Euler Satzes, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/433455
