Fraktale sind Formen, welche Strukturen beinhalten, die sich immer wieder in sich selbst wiederholen. Diese Formen lassen sich mathematisch erklären und berechnen. Solche Strukturen sind in der Natur weit verbreitet, aufgrund dessen sind Fraktale zur Modellierung und Simulation von Natur von wesentlicher Bedeutung. Mathematisch gesehen ist „[f]raktale Geometrie [. . . ] eine Erweiterung der klassischen Geometrie“ , die verwendet werden kann um präzise Strukturen zu erzeugen. Zur Erzeugung von Fraktalen gibt es viele verschiedene Methoden und Theorien. Eine Möglichkeit Fraktale zu erzeugen, ist IFS, dies ist eine Abkürzung für Iterated Function Systems oder in der deutschen Variante für Iterierte Funktionensysteme. Entwickelt wurde diese Theorie von Michael Barnsley im Jahr 1975. Dieses Verfahren nutzt die Selbstähnlichkeit der Fraktale aus, um diese dann zu erzeugen. Bei selbstähnlichen Fraktalen hat jede Vergrößerung eine Ähnlichkeit mit dem gesamten Fraktal. Es ist eine Art „Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine“, besser gesagt, es ist „eine einfache Abbildungsmaschine, die mit einer Anzahl von n Linsen n verkleinerte und transformierte Abbildungen des Originals auf eine Kopie druckt“. IFS kann aber auch verwendet werden, um plastische Objekte oder Formen, wie zum Beispiel einen Kreis, zu erzeugen. In weitestem Sinne sind diese Formen oder diese plastischen Objekte dennoch Fraktale. Diese sind dann nicht in allen Teilstücken komplett ähnlich, sondern gleichen nur in bestimmten Vergrößerungen dem gesamten Bild. Dieses Verfahren eignet sich nicht immer unbedingt optimal zur Erzeugung von allen Formen. Ein Kreis lässt sich beispielsweise nicht perfekt rund darstellen. Diese Methode eignet sich am besten zur Erzeugung von selbstähnlichen Fraktalen, wie zum Beispiel bei dem Barnsley Farn oder bei dem Sierpinski Dreieck. Aufgrund dessen bezieht sich diese Arbeit ausschließlich auf selbstähnliche Fraktale. Außerdem liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit auf dem Barnsley Farn, da durch dieses Fraktal Michael Barnsley die Theorie von IFS aufgestellt hat und als eins der schönsten Fraktale überhaupt bezeichnet hat.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in Fraktale und IFS
2 Die Mathematik hinter IFS
2.1 Allgemein
2.2 Affine Transformationen am Einheitsquadrat .
2.3 Affine Transformationen bei Punkten
3 Umsetzung in Java
3.1 Allgemein
3.2 Barnsley Farn
3.3 Mutationen des Farns
3.4 Sierpinski Dreieck
3.5 Baum
3.6 Strauch
4 Zusätzliche Erklärungen zum Programmiercode
4.1 Verzögerung
4.2 Färbung
4.3 Benutzerdefinierte Mutationen
5 Ausblick IFS im Alltag
6 Quellenverzeichnis
7 Anhänge
7.1 Programmiercode
1 Einführung in Fraktale und IFS
Fraktale sind Formen, welche Strukturen beinhalten, die sich immer wieder in sich selbst wiederholen. Diese Formen lassen sich mathematisch erklären und berechnen. Solche Strukturen sind in der Natur weit verbreitet, aufgrund dessen sind Fraktale zur Modellierung und Simulation von Natur von wesentlicher Bedeutung1. Mathematisch gesehen ist „[f]raktale Geometrie [. . . ] eine Erweiterung der klassischen Geometrie“ 2, die verwendet werden kann um präzise Strukturen zu erzeugen3. Zur Erzeugung von Fraktalen gibt es viele verschiedene Methoden und Theorien. Eine Möglichkeit Fraktale zu erzeugen, ist IFS, dies ist eine Abkürzung für Iterated Function Systems oder in der deutschen Variante für Iterierte Funktionensysteme4. Entwickelt wurde diese Theorie von Michael Barnsley im Jahr 19875. Dieses Verfahren nutzt die Selbstähnlichkeit der Fraktale aus, um diese dann zu erzeugen6. Bei selbstähnlichen Fraktalen hat jede Vergrößerung eine Ähnlichkeit mit dem gesamten Fraktal. Es ist eine Art „Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine“7, besser gesagt, es ist „eine einfache Abbildungsmaschine, die mit einer Anzahl von n Linsen n verkleinerte und transformierte Abbildungen des Originals auf eine Kopie druckt“8. IFS kann aber auch verwendet werden, um plastische Objekte oder Formen, wie zum Beispiel einen Kreis, zu erzeugen9. In weitestem Sinne sind diese Formen oder diese plastischen Objekte dennoch Fraktale. Diese sind dann nicht in allen Teilstücken komplett ähnlich, sondern gleichen nur in bestimmten Vergrößerungen dem gesamten Bild10. Dieses Verfahren eignet sich nicht immer unbedingt optimal zur Erzeugung von allen Formen. Ein Kreis lässt sich beispielsweise nicht perfekt rund darstellen11. Diese Methode eignet sich am besten zur Erzeugung von selbstähnlichen Fraktalen, wie zum Beispiel bei dem Barnsley Farn oder bei dem Sierpinski Dreieck. Aufgrund dessen bezieht sich diese Arbeit ausschließlich auf selbstähnliche Fraktale. Außerdem liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit auf dem Barnsley Farn, da durch dieses Fraktal Michael Barnsley die Theorie von IFS aufgestellt hat12 und als eins der schönsten Fraktale überhaupt bezeichnet hat13
2 Die Mathematik hinter IFS
2.1 Allgemein
„Bei den [Iterated Function Systems] werden mehrere Funktionen nacheinander zufällig auf Punkte oder Objekte angewandt“14. Am Ende dieses Verfahrens entsteht nun ein bestimmtes Fraktal. Bei diesen Funktionen handelt es sich um affine Transformationen, auch affine Abbildungen genannt, welche z.B. für Skalierungen, Spiegelungen, Drehungen usw. eingesetzt werden15. Affine Transformationen sind quadratische Matrizen, welche mit Spaltenvektoren multiplikativ verknüpft sind16. Einfacher gesagt ist es eine 2x2 Matrix, die mit einem Verschiebungsvektor zusammengefügt wurde. Die allgemeine Form lässt sich so beschreiben17:
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Affine Abbildungen bestehen aus den Variablen a, b, c, d, e, f , x, y, x‘ und y′, wobei a, b, c, d, e und f feste Werte sind18, die sich je nach Fraktal und Funktion ändern. Die Variablen x und y sind die Ausgangskoordinaten, wobei x‘ und y‘ die neuen Koordi- naten sind19. Die Berechnung erfolgt dann, mathematisch gesehen, wie bei Matrizen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 20 („Zeile mal Spalte“21 ). Die Anzahl der Funktionen kann von Fraktal zu Fraktal variieren. Durch Verändern der Werte a, b, c, d, e und f entstehen Mutationen eines Fraktals22. Affine Transformationen kann man auf jede Figur und auch auf Punkte anwenden.
2.2 Affine Transformationen am Einheitsquadrat
Am Anschaulichsten und Verständnisvollsten lassen sich affine Abbildungen am Einheits- quadrat erklären. Hierbei wird im Folgenden das Beispiel des Barnsley Farns verwendet. Der Barnsley Farn wird mit Hilfe von vier Funktionen erzeugt23, welche folgende Werte besitzen:
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Der Buchstabe w ist hierbei eine Abkürzung für das Wort Funktion24. Die Variable p ist die Abkürzung für Wahrscheinlichkeit25, wobei diese Spalte für die Umsetzung am Einheitsquadrat irrelevant ist und deshalb erst in 2.3 Affine Transformationen bei Punkten
(siehe S.9f) näher erläutert wird. Die erste Funktion des Barnsley Farns ist demnach: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die zweite affine Abbildung ist folglich: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die dritte affine Transformation ist dementsprechend: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Abschließend ist die vierte Funktion: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man wendet jede dieser vier affinen Transformationen auf alle vier Ecken des Einheitsquadrates an. Dementsprechend entstehen dadurch vier neue Formen, welche zusammengesetzt den Barnsley Farn der ersten Iteration ergeben. Dieser ist noch nicht der endgültige Farn. Um diesen zu erreichen, müssen um die 1.000-10.000 Iterationen erfolgen26. Dennoch lässt sich schon der endgültige Barnsley Farn aus dem der erster Iteration erkennen. Die Ausgangsfigur ist in diesem Fall das Einheitsquadrat ABCD, welche folgende Koordinaten besitzt: A(0/0), B(1/0), C(1/1) und D(0/1) (siehe Abb. 1).
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Abbildung 1: Einheitsquadrat
Zuerst wendet man die erste affine Transformation an, dazu werden insgesamt acht Berech- nungen benötigt. Zur Berechnung der neuen Koordinaten des Punktes A setzt man seine Ausgangskoordinaten in die oben genannte Rechnung ein: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. AverschiebtsichdemnachbeidieseraffinenAbbildungnicht. Anschließend wird dieselbe Funktion auf Punkt B angewandt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Somit lässt sich erkennen, dass der Punkt B auf A verschoben wird. Danach werden auch die neuen Koordinaten des Punktes C ausgerechnet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird folglich auf die y-Achse nahe des Koordinatenursprungs verschoben. Schließlich wird dieselbe Rechnung noch mit Punkt D durchgeführt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aus dieser Rechnung folgt, dass die Punkte C und D nun die gleichen Koordinaten besitzen. Aufgrund dieser affinen Transformation formt sich das Einheitsquadrat zu einem Strich, was in diesem Fall den Stiel des Barnsley Farns darstellen soll27 (siehe Abb. 2).
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Abbildung 2: Funktion 1
Analog zu der ersten affinen Abbildung, wird genauso bei der zweiten affinen Transfor- mation gerechnet. Dadurch ergeben sich die neuen Koordinaten A(0/1.6), B(0.85/1.56), C(0.89/2.41) und D(0.04/2.45). Wird anschließend diese neue Form gezeichnet, lässt sich erkennen, dass diese Funktion das große obere Blatt erzeugt, welches durch jede weitere Iteration immer kleiner wird28 (siehe Abb. 3).
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Abbildung 3: Funktion 2
Die gleichen Berechnungen werden nun ebenfalls bei der dritten Funktion angewandt. Demnach entstehen die neuen Koordinaten A(0/1.6), B(0.2/1.83), C(−0.06/2.05) und D(−0.26/1.82). Durch diese affine Abbildung wird das linke Blatt des Barnsley Farns erzeugt29 (siehe Abb. 4).
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Abbildung 4: Funktion 3
Schließlich wird das gleiche Verfahren auch mit der vierten affinen Transformationen wiederholt. Die neuen Koordinaten sind folglich A(0/0.44), B(−0.15/0.7), C(0.13/0.94) und D(0.28/0.68). Mit Hilfe dieser Funktion wird das rechte Blatt des Farns erzeugt30 (siehe Abb. 5).
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Abbildung 5: Funktion 4
Fügt man nun die vier neu entstandenen Figuren zusammen, erhält man den Barnsley Farn erster Iteration (siehe Abb. 6).
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Abbildung 6: Barnsley Farn 1.Iteration
Um den bekannten Barnsley Farn zu erhalten, werden auf jede dieser vier neu entstandenen Figuren alle vier affinen Transformationen nochmals angewandt. Im nächsten Schritt werden auf alle Figuren wieder die vier Funktionen angewandt. Dieser Vorgang wird circa 1.000-10.000mal wiederholt, bis sich im sichtbaren Bereich nichts mehr verändert31. Je höher die Iterationszahl ist, desto mehr Details des Farns lassen sich erkennen32.
2.3 Affine Transformationen bei Punkten
Wie man schon bemerkt haben könnte, wird die Anzahl der Figuren auf welche die affinen Transformationen angewandt werden, sehr hoch und dadurch wird es auch sehr unübersichtlich und umständlich in der Umsetzung. Deshalb verwendet man anstatt von Formen, wie zum Beispiel das Einheitsquadrat, Punkte. Zuerst wird ein beliebiger Punkt erzeugt, anschließend wird eine der vier affinen Transformationen angewandt und der neu entstandene Punkt wird gezeichnet. Auf diesen wird wieder eine dieser vier Funktionen angewandt und der entstehende Punkt wird gezeichnet. Dieser Vorgang wird solange wiederholt bis sich das Fraktal, in diesem Fall der Barnsley Farn, erkennen lässt33. In der Regel werden 1.000-10.000 Punkte benötigt34, dabei kann sich dieser Wert je nach Fraktal, Größe und Komplexität ändern. Nicht alle vier Transformationen sind gleich wahrscheinlich, aufgrund der Form des Farns. Bei dem Einheitsquadrat ist die Wahrscheinlichkeit irrelevant, da auf jede entstehende Figur alle vier Funktionen angewandt werden. Bei Punkten jedoch wird jeweils nur eine affine Transformation verwendet, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit dabei ein wichtiger Faktor. Im Fall des Barnsley Farns ist die erste Funktion am unwahrscheinlichsten, da diese den Stiel des Farns erzeugt35 und dieser prozentual am wenigsten Fläche des gesamten Fraktals einnimmt. Die zweite Transformation ist am wahrscheinlichsten, da dadurch der Farn nach oben verläuft. Wäre die dritte und vierte Funktion wahrscheinlicher, würde der Farn zur Seite verlaufen und nicht nach oben. Außerdem besitzen diese den gleichen Wahrscheinlichkeitswert, da auf der rechten und der linken Seite jeweils gleich viele Blätter vorhanden sind.
3 Umsetzung in Java
3.1 Allgemein
Für die Umsetzung in Java benötigt man vier Eingangsparameter und mehrere „JRadio- Buttons“. Die Eingangsparameter sind für die Anzahl der Iterationen, Skalierung und Anfangskoordinaten wichtig. Die „JRadioButtons“ sind für die Auswahl des gewünschten Fraktals notwendig. Nach Betätigen des „JButtons“ wird eine Zufallszahl erzeugt, die je nach ausgewähltem Fraktal unterschiedliche Werte annehmen kann. Diese Werte hängen von den Wahrscheinlichkeiten der Funktionen des jeweiligen Fraktals ab. Anschließend werden, wie in 2.3 Transformationen bei Punkten (siehe S.8f) erklärt, mehrere Punkte mit- tels affinen Transformationen gezeichnet. Der Eingangsparameter „Iterationen“ bestimmt hierbei, wie viele Punkte gezeichnet werden.
3.2 Barnsley Farn
Hier wird speziell auf die Methoden eingegangen, die nach Betätigen des „JButtons“ „Zeichnen“ aufgerufen werden. Zuerst werden die Werte, die bei den Textfeldern eingegeben wurden, den korrespondierenden Variablen zugewiesen. In diesem Fall sind es die Anzahl der Iterationen, die Skalierung und die Anfangskoordinaten. Danach folgt eine „if-else- Schleife“, wobei die erste „if-Abfrage“ eine Sicherheitsabfrage ist. Hierbei wird abgesichert, dass das Programm nicht abstürzt, wenn in dem Textfeld „Iterationen“ der Wert 0 eingegeben wird. Ist dies nicht der Fall, so wird der „else-Fall“ aufgerufen. Dabei wird zuerst ein Punkt mit den eingegebenen Anfangskoordinaten erzeugt. Anschließend kommt eine „for-Schleife“ zum Einsatz. Diese wird benötigt, da die Anzahl der Iterationen keine fixe Zahl ist, sondern durch den Benutzer des Programms individuell eingestellt werden kann. Diese Schleife wird solange durchlaufen, bis so viele Punkte gezeichnet sind, wie es von dem Benutzer angegeben wurden. Zuerst wird in dieser Schleife eine Zufallszahl zwischen 0 und 99 erzeugt (0 und 99 miteinbezogen), dabei können nur ganze Zahlen entstehen.
Um dies in Java umzusetzen verwendet man die Methode „Math.random()“, multipliziert diese mit 100, da bei dieser Methode nur Zahlen zwischen 0 und 1 (1 nicht miteinbezogen) entstehen können. Um Kommazahlen zu verhindern, wird die in der Informatik sogenannte Typzuweisung („casten“) verwendet. Dabei wandelt Java double (Kommazahlen) in Integer (ganze Zahlen) um. Die erzeugte Zahl wird anschließend der Variable „zufallszahl“ übergeben. Bei dem Barnsley Farn ist das Intervall, in dem eine Zufallszahl entstehen kann, zwischen 0 und 99, da so die Wahrscheinlichkeit der vier affinen Transformationen umgesetzt werden kann. Die erste Funktion hat eine 1-prozentige Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden. Deshalb wird sie nur ausgewählt, wenn durch Zufall die Zahl 0 erzeugt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl erzeugt wird, ist ebenfalls ein Prozent.
Die zweite affine Transformation wird angewandt, wenn die Zufallszahl zwischen 1 und 85 liegt. Hierbei ist ebenfalls die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallszahl erzeugt wird gleich, wie die der Funktion. Sobald die Zufallszahl zwischen 86 und 92 ist, wird die dritte Transformation ausgewählt. Die vierte Funktion wird demnach angewandt, sofern die Zahl größer wie 92 ist. Nach Anwenden der ausgewählten affinen Transformation wird ein Punkt mit den neuen Koordinaten gezeichnet. Da aber das Koordinatensystem in Java anders ist, als das bekannte Mathematische, müssen die x- und y-Werte angepasst werden. In Java ist links oben der Koordinatenursprung, nach rechts und nach unten verlaufen dann die positiven Werte. Bei dem bekannten mathematischen Koordinatensystem befindet sich dieser in der Mitte, nach rechts und nach oben verlaufen die positiven Werte. Negative Werte werden somit nicht in Java angezeigt. Da der Farn somit spiegelverkehrt dargestellt werden würde, muss der y-Wert negativ gesetzt werden und mit einem Faktor, in diesem Fall beispielsweise mit 10 addiert werden, da sonst nicht der komplette Farn auf der Bildschirmoberfläche dargestellt wird. Die Addition ist im Grunde genommen, nur eine Verschiebung auf der y-Achse. Der Wert 10 wurde hierbei ausgewählt, da er bei diesem Algorithmus die beste Darstellung erzielte. Der x-Wert wird mit 2.8 addiert, da der Barnsley Farn ursprünglich von x = −2.1820 bis x = 2.6558 verläuft36 und das Koordinatensystem nur positive x-Werte anzeigt. Damit der Farn nicht direkt am Rand ist, wird der x-Wert mit 2.8 und nicht mit 2.1820 addiert. Anschließend wird der x- und y-Wert noch mit der Skalierung multipliziert, dadurch lässt sich die Größe des Fraktals jederzeit ändern.
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Das so erzeugte Farn sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 7: Barnsley Farn
3.3 Mutationen des Farns
Eine Mutation eines Fraktals, ist wenn die Werte der Variablen a, b, c, d, e und f und/ oder die Wahrscheinlichkeiten der affinen Transformationen verändert werden37. Dadurch können Mutationen entstehen, welche wenig bis keine Ähnlichkeit mehr mit dem ursprünglichen Farn teilen. Barnsley selbst betitelt dieses Fraktal als ein sogenanntes Superfraktal38, da dieses viele verschiedene Möglichkeiten zur Mutation bietet. Eines der bekanntesten Farnmutationen ist der „Thelypteridaceae“39 -Farn, um diese Mutation zu erzeugen, wird die Wahrscheinlichkeit der ersten affinen Transformation um ein Prozent erhöht und dafür die Wahrscheinlichkeit der zweiten Funktion um ein Prozent verringert. Noch dazu wird nahezu jeder Wert der Variablen a, b, c, d, e und f bei allen Transformation verändert (vgl. Abb. 8)
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In der oben angeführten Tabelle sind die veränderten Werte fett gedruckt. Die Folge des Veränderns der Werte ist, dass der Farn sich mehr in waagrechter Richtung ausbreitet, als der ursprüngliche Farn. Dennoch bleibt das Wachsen des „Thelypteridaceae“40 -Farns unverändert und auch die leichte Krümmung nach rechts bleibt erhalten. Die Blätter hingegen haben nahezu keine Ähnlichkeit mehr, sie sind schmaler, länglicher und mehr horizontal ausgerichtet als es bei dem ursprünglichen Farn vorhanden ist (siehe Abb. 8).
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Abbildung 8: Mutation 1
In Java ist dies genauso wie in 3.2 Barnsley Farn (siehe S.10ff) mit den entsprechend veränderten Werten umgesetzt. In diesem Programm kann man nicht nur den „Thelypteri- daceae“41-Farn erzeugen, sondern kann auch manuell die Werte verändern. Dabei wird ein neues Fenster erzeugt, was in diesem Fall eine neue Klasse namens „MutationEinstel- len“ ist. In dieser wird eine Art Tabelle erzeugt, wobei mit Hilfe von „JTextFields“ die Parameter eingegeben bzw. verändert werden können. Bei dem Öffnen des Fensters sind schon die Werte des ursprüngliche Barnsley Farns standardmäßig eingestellt, welche dann anschließend verändert werden können. Mit Betätigen des „JButtons“ „Einstellen“ werden die Werte der Klasse „IFS“ übergeben und es wird das gleiche Prinzip bei der Erzeugung des Farns wie in 3.2 Barnsley Farn (siehe S.10ff) verwendet. Der entscheidende Unterschied ist, dass keine festen Werte mehr im Quellcode enthalten sind, sondern fast ausschließlich nur noch mit Variablen gearbeitet wird. Dadurch lassen sich viele verschiedene Mutationen des Farns erzeugen (siehe Abb. 9 und Abb. 10).
[...]
1 vgl. Peitgen, Heinz-Otto, Hartmut Juergens, Dietmar Saupe, Chaos, Bausteine der Ordnung, Springer Verlag und Klett-Cotta, 1994, S.503
2 Barnsley, Michael, Fractals Everywhere, School of Mathematics Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia and Iterated Systems, Inc. Atlanta, Georgia, 1988, S.1
3 Barnsley, Michael, Fractals Everywhere, School of Mathematics Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia and Iterated Systems, Inc. Atlanta, Georgia, 1988, S.1
4 vgl. Mandelbrot, Benoit B., Fractals and Chaos, The Mandelbrot set and Beyond, Springer Verlag, 2004, S.177
5 vgl.„Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, 14.04.2016, S.2, http://www.3d- meier.de/tut10/Seite17.html
6 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.4 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
7 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.4 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
8 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.4 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
9 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.11 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
10 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.11 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
11 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.8 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
12 Barnsley, Michael, Fractals Everywhere, School of Mathematics Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia and Iterated Systems, Inc. Atlanta, Georgia, 1988, S.1
13 vgl.„Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, meier.de/tut10/Seite17.html
14 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, meier.de/tut10/Seite17.html
15 vgl. „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, meier.de/tut10/Seite17.html
16 vgl. Mathematik 9.0, bhv-Verlag, Kaarst, 1996, 1.Auflage, S.612 14.04.2016, S.2, http://www.3d- 14.04.2016, S.1, http://www.3d- 14.04.2016, S.1, http://www.3d-
17 „Iteriertes Funktionensystem“, Mathematik alpha, 23.08.2016, S.1, http://mathematikalpha.de/iteriertes- funktionensystem
18 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
19 vgl. Mathematik 9.0, bhv-Verlag, Kaarst, 1996, 1.Auflage, S.612
20 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, 14.04.2016, S.1, http://www.3d- meier.de/tut10/Seite17.html
21 Schneider, Christian, 2.3 Matrizen, Hefteintrag, 26.01.2016
22 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.3, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
23 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, meier.de/tut10/Seite17.html
24 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, meier.de/tut10/Seite17.html
25 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, meier.de/tut10/Seite17.html
3 d-meier, 14.04.2016, S.2, http://www.3d- 3d-meier, 14.04.2016, S.1, http://www.3d- 3d-meier, 14.04.2016, S.2, http://www.3d-
26 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
27 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.5 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
28 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
29 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern 30vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
31 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
32 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.5 http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
33 „Sierpinski Pyramide und Menger Schwarm“, 3d-meier, 14.04.2016, S.2, http://www.3d- meier.de/tut10/Seite17.html
34 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.2, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
35 vgl. Grage, Yvonne, IFS-Bildkodierung mit Iterierten Funktionensystemen, Eberl, 09.02.2016, S.5, http://www.eberl.net/chaos/Sem/Grage/D_ifs.htm
36 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.3, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
37 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.3, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
38 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.3, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
39 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.4, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern
40 vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.4, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern 41vgl. „Barnsley fern“, Wikipedia, 14.04.2016, S.4, http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern