Alle Eingangsparameter für das Black-Scholes-Modell sind leicht bestimmbar, außer der Volatilität, der Schwankungsintensität des Basiswerts. Die Volatilität muss möglichst genau geschätzt werden um eine exakte Bewertung der Optionen zu ermöglichen. Eine Möglichkeit besteht in der Schätzung der Volatilität auf der Grundlage von Vergangenheitsdaten. Die Beschreibung von Verfahren zur Bestimmung dieser historischen Volatilität ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit.
Der Handel mit Derivaten hat trotz Finanzkrisen an Bedeutung zugenommen. Derivate sind einsetzbar zur Absicherung von Risiken, Spekulation auf eine Preisentwicklung und Arbitrage. Eine Gruppe von Derivaten sind Optionen, bedingte Derivate mit einem Wahlrecht. Die Basis zur Bewertung von Optionen bilden Optionspreismodelle, darunter das Black-Scholes-Model.
Im Black-Scholes-Model wird unterstellt, dass die Volatilität konstant ist. Es lässt sich jedoch Heteroskedastizität beobachten. Demzufolge müssen Eigenschaften der Volatilität, wie Volatilitäts-Cluster und Mean Reversion bei der Schätzung der Volatilität berücksichtigt werden. Im Kapitel 2 wird zunächst das Black-Scholes-Model beschrieben und der Begriff der Volatilität eingeführt. Verfahren zur Bestimmung der historischen Volatilität werden vorgestellt. In Kapitel 3 werden auf der Grundlage der historischen stetigen Renditen zweier Basiswerte die Volatilitäten gemäß von im Kapitel 2 vorgestellten Verfahren geschätzt. Auf der Grundlage dieser Schätzwerte werden mit dem Black-Scholes-Modell die Optionspreise von realen, an der European Exchange (EUREX) gehandelten Optionen für die Basiswerte vorausberechnet und mit tatsächlich beobachteten Optionspreisen verglichen. Schlussfolgerungen für die Anwendung der o. g. Modelle sollen gezogen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen zur Volatilität und deren Schätzung
2.1 Erwartete Volatilität im Black-Scholes-Model
2.2 Verfahren zur Schätzung der erwarteten Volatilität aus historischen Daten
2.2.1 Begriffsbestimmung - historische Volatilität
2.2.2 Einfache Standardabweichung
2.2.3 Simple Moving Average (SMA)
2.2.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
2.2.5 Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)
2.2.6 Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH)
2.3 Implizite Volatilität aus Optionspreisen als Alternative
3 Empirische Untersuchung zu verschiedenen Schätzern der Volatilität
4 Zusammenfassung
5 Literaturverzeichnis
Anhang
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht verschiedene statistische Verfahren zur Schätzung der historischen Volatilität von Basiswerten, um deren Eignung für die Bewertung von Optionen mittels des Black-Scholes-Modells zu prüfen. Dabei wird analysiert, wie unterschiedliche Schätzmethoden die Genauigkeit der Optionspreisvorhersage im Vergleich zu tatsächlich am Markt beobachteten Preisen beeinflussen.
- Grundlagen der Optionspreistheorie und des Black-Scholes-Modells
- Eigenschaften der Volatilität (z. B. Volatilitäts-Cluster, Mean Reversion)
- Methoden der historischen Volatilitätsschätzung (SMA, EWMA, ARCH, GARCH)
- Empirische Anwendung auf Zeitreihendaten von Daimler AG und DAX
- Vergleich historischer Schätzwerte mit impliziten Volatilitäten
Auszug aus dem Buch
2.2.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
Das Modell der exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitte, „Exponentially Weighted Moving Average“ (EWMA), erlaubt die Berücksichtigung von Volatilitäts-Clustern. Im Gegensatz zum SMA werden durch Einführung von zeitabhängigen Gewichtungsfaktoren weiter zurückliegende Renditen geringer gewichtet als zeitnahe Renditen. Dies erlaubt eine bessere Schätzung der aktuellen Volatilität. Das EWMA-Modell kann formell geschrieben werden.
Mit den exponentiell fallenden Gewichtungsfaktoren δi. Es gilt 0 ≤ λ ≤ 1; je größer i, je weiter liegt der Gewichtungsfaktor in der Vergangenheit. Die Gewichtungsfaktoren summieren sich zu eins und können mit dem Verzögerungsfaktor λ auch wie folgt geschrieben werden.
Wenn für die erwartete Rendite ein Mittelwert von 0 angenommen wird, lässt sich, ausgehend von einem Startwert σ0², der Schätzer für die Volatilität am Tag n, geschätzt am Ende des Tages n-1, rekursiv berechnen.
Die Volatilität wird bestimmt durch ein gewichtetes Mittel der für Tag n-1 geschätzten Varianz und der unerwarteten Volatilität in Form der Rendite in n-1. Der Vorteil des EWMA ist die schnelle Reaktion auf die laufende Marktentwicklung. Der EWMA ist ein Spezialfall des GARCH(1,1)-Modells (Kapitel 2.2.6) mit γ =0, β = λ und α = 1 – λ. Ein Vorteil ist die Berücksichtigung von Volatilitäts-Clustern. Falls in der Vorperiode eine hohe Volatilität bestand, gegebenenfalls auch zusammen mit einer starken Kursbewegung, ist auch in der Folgeperiode mit einer hohen Volatilität zu rechnen. Der erste Term bestimmt die Persistenz und steigt proportional zur Volatilität der Vorperiode an. Je größer λ ist, je größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei hoher Vortages-Volatilität auch die Volatilität in der Folgeperiode hoch ist. Der zweite Term erfasst den Einfluss der Vortagesrendite. Mit sinkendem λ steigt die Reaktionsfähigkeit auf aktuelle Marktereignisse. Ein Nachteil ist die fehlende Berücksichtigung der Mean Reversion.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Hinführung zur Problematik der Volatilitätsschätzung innerhalb von Optionspreismodellen und Darlegung der Zielsetzung der Arbeit.
2 Theoretische Grundlagen zur Volatilität und deren Schätzung: Beschreibung des Black-Scholes-Modells sowie der verschiedenen mathematischen Methoden zur Ermittlung der historischen Volatilität.
3 Empirische Untersuchung zu verschiedenen Schätzern der Volatilität: Anwendung der theoretischen Modelle auf reale Marktdaten und Vergleich der Prognosegüte bei der Preisberechnung von Optionen.
4 Zusammenfassung: Synthese der Ergebnisse und Diskussion der Limitationen sowie Ausblick auf alternative Ansätze in der Praxis.
5 Literaturverzeichnis: Auflistung der für die Arbeit herangezogenen wissenschaftlichen Quellen und Fachliteratur.
Anhang: Grafische Darstellung der untersuchten Zeitreihen und Volatilitätsverläufe.
Schlüsselwörter
Optionspreistheorie, Volatilität, Black-Scholes-Modell, historische Volatilität, SMA, EWMA, ARCH, GARCH, Finanzmärkte, Zeitreihenanalyse, Aktienrenditen, Derivate, Optionsbewertung, Volatilitäts-Cluster, Mean Reversion.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit?
Die Arbeit behandelt die Schätzung historischer Volatilitäten und deren Anwendung zur Berechnung von Optionspreisen unter Verwendung des Black-Scholes-Modells.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Modellierung zeitvariabler Volatilität, die Analyse von Renditestreuungen und der empirische Vergleich verschiedener Schätzverfahren anhand von DAX- und Aktienkursdaten.
Welches Ziel verfolgt die Arbeit?
Das Ziel ist es, verschiedene Schätzer für die Volatilität zu untersuchen und zu bewerten, inwieweit diese die tatsächliche Preisbildung von realen Optionen an der EUREX abbilden können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein quantitativer Ansatz verfolgt, der verschiedene statistische Verfahren (SMA, EWMA, ARCH, GARCH) auf historische Kurszeitreihen anwendet und deren Ergebnisse in das Black-Scholes-Modell integriert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden zunächst die theoretischen Modelle eingeführt, gefolgt von einer empirischen Analyse, bei der historische Kurse von Daimler AG und dem DAX genutzt werden, um Optionspreise zu berechnen und mit Marktpreisen zu vergleichen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Optionspreistheorie, Volatilität, Finanzmarktmodellierung, EWMA, GARCH und Zeitreihenanalyse charakterisieren.
Warum ist die Wahl des Volatilitätsmodells für Optionen entscheidend?
Da die Volatilität der einzige Parameter im Black-Scholes-Modell ist, der nicht direkt am Markt beobachtet werden kann, hat ihre Schätzung einen maßgeblichen Einfluss auf die Höhe des theoretischen Optionspreises.
Was ist das Hauptergebnis bezüglich der Methoden?
Die Studie zeigt, dass einfache Methoden wie die Standardabweichung oft unzureichend sind, während implizite Volatilitäten in der Praxis häufig bessere Ergebnisse liefern, da sie zukunftsorientiert sind.
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- Dirk Jeniche (Author), 2015, Grundlagen zur Volatilität und deren Schätzung. Empirische Untersuchung und Optionspreistheorie, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/317144
