(...) Ebenso wie in der vorherigen Arbeit wird auch in unserer Arbeit auf Themen der Linearen Algebra eingegangen, die heute in der Wirtschaftspraxis so häufig wie kein anderes Gebiet der Mathematik angewandt wird. Vor allem die Matrizenrechnung kann auf vielfältige Weise im Rechnungswesen eingesetzt werden, so z. B. in der Kostenrechnung oder im Controlling. Mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen werden ökonomische Beziehungen beschrieben und erst durch den Einsatz der linearen Planungsrechnung können ökonomische Entscheidungsprobleme gelöst werden. Unsere Arbeit wird speziell vier Teilgebiete oder Teilaspekte der Linearen Algebra behandeln, die in einem engen Zusammenhang stehen. Als Grundlage für die späteren Ausführungen muss zunächst der Begriff der Determinante erläutert werden. Daran anschließend wird auf Ähnliche Matrizen eingegangen, die letztlich erst zum Eigenwert und zum Eigenvektor führen. Nach der theoretischen Einführung wird noch einmal ausführlicher auf den Anwendungsbezug oder die praktische Relevanz eingegangen. Denn gerade der Begriff Eigenwert kann in dreierlei Hinsicht angewandt werden. Zunächst spielt der Eigenwert quadratischer, symmetrischer Matrizen eine Rolle im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben bei Funktionen mit mehren Variablen. Dann benötigt man für die Behandlung und Lösung von linearen Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung grundlegende Kenntnisse über Eigenwerte quadratischer Matrizen und deren Eigenschaften. Und schließlich kann die Eigenwerttheorie von quadratischen Matrizen dazu genutzt werden, lineare Wachstums- bzw. Ausbreitungsprozesse in der Ökonomie zu beschreiben.2
Die Verbindung zu den ersten Arbeiten, die alles Themen aus der Analysis behandelten, kann erst durch diese Anwendungen gezogen werden. Oberflächlich betrachtet entdeckt man kaum Gemeinsamkeiten zwischen den Methoden der Differentialrechnung und der Linearen Algebra. Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. stehen Linearen Gleichungssystemen, Matrizen usw. gegenüber und man findet nur schwer einen Zusammenhang zwischen diesen Bereichen. Gemeinsam haben sie nur ihren Anwendungsbereich.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Determinanten
- Begriffliche Einführung
- Determinantenformeln
- Eigenschaften von Determinanten
- Ähnliche Matrizen
- Eigenwerte und Eigenvektoren
- Problemstellung und Begriffserklärung
- Eigenschaften
- Ökonomische Anwendungen
- Entwicklungs- und Wachstumsprozesse
- Optimierungsprobleme
- Gewichtung mehrerer Ziele
- Schlussbetrachtungen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit zielt darauf ab, ein tieferes Verständnis für die mathematischen Konzepte von Determinanten, ähnlichen Matrizen, Eigenwerten und Eigenvektoren zu vermitteln. Besonderer Fokus liegt auf der Vermittlung von Beweisen, die zum Verständnis der Themen unabdingbar sind. Die Arbeit beleuchtet zudem die Anwendungsbereiche der einzelnen Konzepte, um die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Themen des Seminars aufzuzeigen.
- Der Begriff der Determinante als Grundlage für das Verständnis von Eigenwerten und Eigenvektoren
- Die Eigenschaften und Relevanz von ähnlichen Matrizen
- Die Anwendung von Eigenwerten in der Ökonomie, insbesondere im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben, linearen Differenzen- und Differentialgleichungen sowie linearen Wachstumsprozessen
- Die Verbindung zwischen Analysis und Linearer Algebra im Kontext ökonomischer Probleme
- Die geometrische Interpretation von Determinanten
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Die Einleitung stellt den Zusammenhang zwischen der Arbeit und dem Seminar "Ausgewählte Gebiete der Analysis und der Linearen Algebra" her. Sie betont die Bedeutung der Mathematik, insbesondere der Linearen Algebra, in der Wirtschaft und erläutert die Themenschwerpunkte der Arbeit.
- Determinanten: Dieses Kapitel behandelt den Begriff der Determinante als eine reelle Zahl, die jeder quadratischen Matrix eindeutig zugeordnet werden kann. Es wird auf die Bedeutung der Determinanten für die spätere Behandlung von Eigenwerten und Eigenvektoren eingegangen. Die geometrische Interpretation der Determinanten wird anhand von Vektoren und Parallelogrammen erläutert.
- Ähnliche Matrizen: Der Fokus dieses Kapitels liegt auf dem Begriff der ähnlichen Matrizen, der als Grundlage für das Verständnis von Eigenwerten und Eigenvektoren dient. Die Kapitel behandelt die Eigenschaften und Relevanz von ähnlichen Matrizen.
- Eigenwerte und Eigenvektoren: Dieses Kapitel stellt die Eigenwerte und Eigenvektoren vor. Es umfasst die Definitionen der Begriffe, die mathematische Herleitung und die wichtigsten Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren.
- Ökonomische Anwendungen: In diesem Kapitel werden die Anwendungen von Eigenwerten in der Ökonomie erörtert. Es werden drei Anwendungsbereiche beleuchtet: Maximierungs- und Minimierungsaufgaben bei Funktionen mit mehreren Variablen, lineare Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung und lineare Wachstums- bzw. Ausbreitungsprozesse in der Ökonomie.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt zentrale Konzepte der Linearen Algebra, darunter Determinanten, ähnliche Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren. Die Arbeit beleuchtet die Relevanz dieser Konzepte für die Ökonomie, insbesondere im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben, linearen Differenzen- und Differentialgleichungen sowie linearen Wachstumsprozessen.
- Quote paper
- Andreas Wolf (Author), 2002, Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/28770
