Die Analyse von Finanzzeitreihen ist empirisch ausgeprägt, jedoch bietet die Theorie genauso wie in anderen wissenschaftlichen Gebieten eine Grundlage für statistische Inferenz. Finanzzeitreihen unterscheiden sich dabei von anderen Zeitreihen vor allem durch folgendes Merkmal: Sie beinhalten Unsicherheit. Um Vorhersagen über die Preisentwicklung von Finanztiteln zu treffen, analysieren nach wie vor viele Ökonomen historische Daten. Bis heute etablierte sich jedoch kein festes Modell, mit dem man auf Dauer zukünftige Preise von Finanzzeitreihen prognostizieren könnte. In den letzten Jahrzehnten wurde Finanzzeitreihen, besonders Aktienkursen, eine Eigenschaft nachgewiesen, deren Erklärung im Hinblick auf die Optionsbewertung und Schätzung des Marktrisikos von großer Bedeutung ist: das Auftreten von Phasen mit niedrigen und hohen Ausschlägen innerhalb eines gewissen Zeitraums, das unter dem Begriff "Volatilitätscluster" zusammengefasst werden kann.
Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, wie das Phänomen der Volatilitätscluster sowie weitere empirische Eigenschaften von Finanzzeitreihen mit Hilfe stochastischer Prozesse modelliert werden kann. Ein Einstieg in den Begriff der Rendite sowie eine Liste stilisierter Fakten zu Renditen finden sich in Kapitel 2. Grundlagen zu stochastischen Prozessen und deren Schätzbarkeit werden in Kapitel 3 behandelt. Hier werden zudem spezielle lineare Prozesse (ARIMA-Prozesse) vorgestellt und einzelne Schritte zur Anpassung dieser an vorliegende Zeitreihen gegeben. Zur Erklärung volatiler Renditezeitreihen wird in Kapitel 4 eine Modellgleichung besprochen, die lineare Prozesse mit bedingter Heteroskedastizität, d.h. mit einer variablen bedingten Varianz, verknüpft. Im weiteren Verlauf werden einzelne Volatilitätsmodelle (ARCH-, GARCH-Prozesse, stochastische Volatilität) vorgestellt. Dabei soll untersucht werden, wie sie die beschriebenen Eigenschaften von Renditen abbilden können. In Kapitel 5 werden die Modelle auf ausgewählte empirische Finanzzeitreihen wie die DAX-Tagesrenditen oder den Goldkurs angewandt und auf ihre Adäquatheit hin überprüft. Am Ende werden in Kapitel 6 die Ergebnisse zusammengefasst und ein Ausblick über Anwendungsmöglichkeiten der Modelle gegeben.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Renditen und ihre Charakteristiken
2.1 Diskrete und stetige Renditen
2.2 Stilisierte Fakten zu Renditen
3 Lineare Zeitreihenanalyse
3.1 Stochastische Prozesse und lineare Filter
3.1.1 Stationarität und Ergodizität
3.1.2 Lineare Filter und allgemeine lineare Prozesse
3.2 Einführung in ARIMA-Modelle
3.2.1 Autoregressive Prozesse
3.2.2 Moving-Average-Prozesse
3.2.3 ARMA-Prozesse und ARIMA-Prozesse
3.3 Anpassung von ARIMA-Modellen
3.3.1 Modellidentifikation
3.3.2 Parameterschätzung
3.3.3 Modelldiagnose
4 Volatilitätsanalyse
4.1 Struktur und Aufbau eines Volatilitätsmodells
4.1.1 Modellanpassung
4.1.2 Test auf bedingte Heteroskedastizität
4.2 ARCH-Prozesse
4.3 GARCH-Prozesse und Abwandlungen
4.3.1 Definition und Eigenschaften
4.3.2 Spezifikation eines GARCH-Modells
4.3.3 GARCH-in-the-Mean
4.3.4 Asymmetrische GARCH-Modelle
4.4 Stochastische Volatilität
4.4.1 Definition und Eigenschaften
4.4.2 Parameterschätzung
5 Praktische Anwendungen
5.1 Modellierung des DAX
5.2 Modellierung des Euro/US-Dollar-Kurses
5.3 Modellierung des Goldkurses
5.4 Vergleich der empirischen Ergebnisse
6 Fazit und Ausblick
A Anhang: Zeitreihenanalyse in R
A.1 Prozess-Simulationen
A.2 Datenaufbereitung der Renditen
A.3 Visualisierung
A.4 Modellierung der Renditen
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das Phänomen der Volatilität von Finanzzeitreihen und analysiert, wie diese durch stochastische Prozesse modelliert werden kann, wobei ein besonderer Fokus auf der bedingten Heteroskedastizität liegt.
- Grundlagen der Renditecharkteristiken und stilisierter Fakten
- Lineare Zeitreihenanalyse mittels ARIMA-Modellen
- Modellierung von Volatilitätsclustern durch ARCH- und GARCH-Modelle
- Empirische Anwendung auf DAX, Euro/US-Dollar-Kurs und Goldkurs
Auszug aus dem Buch
2.1 Diskrete und stetige Renditen
Renditen beschreiben prozentuale Veränderungen der Preise von Finanztiteln, beispielsweise von Aktienkursen, -indizes oder Wechselkursen. Für Preise P_t und Perioden t = 0, 1, ..., T sind diskrete Renditen R_t für t = 1, ..., T wie folgt definiert:
R_t = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1} = P_t / P_{t-1} - 1.
Bildet man die Rendite über mehrere Perioden, etwa von t_1 bis t_2, so gilt
R_{t_1,t_2} = P_{t_2} / P_{t_1} - 1 = \prod_{t=t_1+1}^{t_2} (P_t / P_{t-1}) - 1 = \prod_{t=t_1+1}^{t_2} (R_t + 1) - 1.
Wegen P_t >= 0 folgt aus Definition (2.1) -1 <= R_t < \infty. Ein Vorteil dieser Renditedefinition ist, dass sich die Rendite eines Portfolios aus der gewichteten Summe der Renditen der einzelnen Wertpapiere ergibt: Es bezeichne P_{i,t} den Preis und n_i die Anzahl einer Aktie i in einem Portfolio zum Zeitpunkt t. Der Kurs des Portfolios ist gegeben durch \sum_{i=1}^{n} n_i P_{i,t}, wobei die einzelnen Aktien eine Gewichtung von
a_{i,t} = (n_i P_{i,t}) / (\sum_{j=1}^{n} n_j P_{j,t})
im Portfolio haben. Für die Rendite R_t des Portfolios gilt somit
R_t = (\sum_{i=1}^{n} n_i P_{i,t}) / (\sum_{j=1}^{n} n_j P_{j,t-1}) - 1 = (\sum_{i=1}^{n} (1 + R_{i,t}) n_i P_{i,t-1}) / (\sum_{j=1}^{n} n_j P_{j,t-1}) - 1
= \sum_{i=1}^{n} (1 + R_{i,t}) a_{i,t-1} - 1 = \sum_{i=1}^{n} a_{i,t-1} R_{i,t}.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Problematik der Analyse von Finanzzeitreihen ein, betont die Bedeutung von Volatilitätsclustern und skizziert den Aufbau der Arbeit von theoretischen Grundlagen bis hin zu praktischen Anwendungen.
2 Renditen und ihre Charakteristiken: Dieses Kapitel definiert diskrete und stetige Renditen als zentrale Messgrößen und diskutiert deren empirische Eigenschaften sowie die Bedeutung für die Markteffizienz.
3 Lineare Zeitreihenanalyse: Hier werden stochastische Prozesse, ARIMA-Modelle und deren Identifikation, Schätzung sowie Diagnose ausführlich behandelt, um lineare Strukturen in Zeitreihen zu erfassen.
4 Volatilitätsanalyse: Das Kapitel fokussiert auf Prozesse mit bedingter Heteroskedastizität, insbesondere ARCH- und GARCH-Modelle, und deren Erweiterungen, um Volatilitätscluster empirisch abzubilden.
5 Praktische Anwendungen: Die in den vorangegangenen Kapiteln entwickelten Modelle werden hier auf reale Daten des DAX, des Euro/US-Dollar-Wechselkurses und des Goldpreises angewandt und ausgewertet.
6 Fazit und Ausblick: Diese Zusammenfassung reflektiert die Ergebnisse der Arbeit und gibt einen Ausblick auf weiterführende Modelle und deren Anwendung in der Risikobewertung.
Schlüsselwörter
Zeitreihenanalyse, Renditen, Volatilitätsanalyse, ARIMA, ARCH, GARCH, bedingte Heteroskedastizität, Finanzmärkte, Modellidentifikation, Maximum-Likelihood, Finanzzeitreihen, Leverage-Effekt, stochastische Volatilität.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Analyse und Modellierung von Finanzzeitreihen, insbesondere mit der Untersuchung von Renditen und deren Volatilität.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die lineare Zeitreihenanalyse (ARIMA-Modelle) sowie die Modellierung von Volatilitätsclustern durch ARCH- und GARCH-Modelle.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, empirische Eigenschaften von Finanzzeitreihen durch stochastische Prozesse zu modellieren und dabei insbesondere das Phänomen der Volatilität zu erklären.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden klassische Methoden der Zeitreihenanalyse, wie die Box-Jenkins-Methodik, sowie spezielle Volatilitätsmodelle (GARCH, E-GARCH, T-GARCH) und Maximum-Likelihood-Schätzverfahren eingesetzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die Theorie der Zeitreihenanalyse, die Spezifikation von GARCH-Modellen und die praktische Anwendung dieser Modelle auf DAX-, Devisen- und Rohstoffdaten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Schlüsselwörter sind unter anderem Zeitreihenanalyse, Volatilitätsanalyse, GARCH, ARIMA und bedingte Heteroskedastizität.
Wie unterscheidet sich GARCH von ARCH?
Ein GARCH-Prozess erweitert den ARCH-Prozess durch die Einbeziehung der vergangenen bedingten Varianz, was eine effizientere Modellierung bei meist geringerer Parameteranzahl ermöglicht.
Was ist der Zweck des "GARCH-in-the-Mean"-Modells?
Dieses Modell erweitert die Standard-GARCH-Modelle, um einen direkten Zusammenhang zwischen der Volatilität und der erwarteten Rendite abzubilden (Risikoprämie).
- Quote paper
- Klaus Hartmann (Author), 2011, Rendite- und Volatilitätsanalyse von Finanzzeitreihen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/280632
