Nach der Deregulierung der Finanzmärkte und den daraus resultierenden Finanzkrisen hat die Mindestkapitalanforderung durch die verschiedenen Vorschriften des Baseler Ausschusses eine noch zentralere Rolle in der Aufsicht von Banken eingenommen. Diese gesetzliche Verpflichtung für Kreditinstitute besteht darin, eine minimale Kapitalreserve gegenüber Verlusten sogenannter Finanzrisiken (Markt-, Kreditrisiko, systemisches Risiko) zu bilden. Für die Berechnung der Mindestkapitalanforderung werden die verschiedenen Risikoarten im generell separat modelliert und bewertet. Dann werden sie ohne Berücksichtigung der Abhängigkeitsstruktur, die sie miteinander bindet, aggregiert. Dies kann zu einer fehlerhaften Berrechnung der Mindestkapitalanforderung führen, wie sich das bei der letzten Finanzkrise ergeben hat.
Das Ziel dieser Masterarbeit ist die Bewertung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken für ein Kreditportfolio in einem stochastischen Modell mit integrierter Betrachtung von Markt- und Kreditrisiken. Angeregt durch den Artikel "Interaction on Market and Credit Risk: An Analysis of Inter-Risk Correlation and Risk Aggregation" betrachten wir hierfür ein Kreditportfolio, das aus n Darlehen indiziert von 1 bis n besteht. Wir nehmen ferner an, dass die Anzahl der Darlehen mit der Anzahl der Kreditnehmer übereinstimmt. Für die Beschreibung von jeweils Markt- und Kreditrisiken für dieses Portfolio betrachten wir zwei verschiedenen Faktor-Modelle. Dann werden wir wie in Definition 2.6 (in dem oben gennanten Artikel) die beiden Faktor-Modelle verknüpfen, um ein Faktor-Modell mit integriertem Markt- und Kreditrisiko zu erhalten. Wir betrachten dann dieses Modell als das zugrundeliegende Modell für diese Arbeit. Wir werden ferner annehmen, dass das vorgegebene Kreditportfolio homogen und perfekt diversifiziert ist. Dann werden wir mittels empirischer Methoden zuerst untersuchen, wie aggregierte Markt- und Kreditrisiken in diesem Modell verteilt sind. Anschließend werden wir diese mit dem Value at Risk als Risikomaß approximativ bemessen.
Diese Arbeit ist wie folgt aufgeteilt: In Kapitel 2 werden wir stochastische Modelle für Markt- oder Kreditrisiken darstellen, dann werden wir in Kapitel 3 die Verteilung aggregierter Markt- und Kreditrisiken untersuchen, um anschließend mit Kapitel 4 die Mindestkapitalanforderung für das dieser Arbeit vorliegende Kreditportfolio abzuschätzen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Stochastische Modelle zur Betrachtung von Markt- oder Kreditrisiken
2.1. Einfaktormodell für aggregierte Kreditrisiken
2.2. Einfaktormodell für aggregierte Marktrisiken
2.3. Einfaktormodell für aggregierte Markt- und Kreditrisiken
3. Asymptotische Bewertung aggregierter Markt- und Kreditrisiken für ein homoge- nes Kreditportfolio
3.1. Das ARSF-Modell
3.1.1. Homogene und perfekt diversifizierte Kreditportfolios
3.1.2. Konvergenzbegriffe
3.1.3. Portfolioverlustsverteilung
3.2. Abhängigkeitsstruktur zwischen Markt- und Kreditrisiken in einem ARSF- Modell
3.3. Aggregierte Markt- und Kreditrisikoverteilung
4. Mindestkapitalanforderung in einem Einfaktormodell mit integriertem Markt- und Kreditrisiko
4.1. Mindestkapitalanforderung und der Value-at-Risk
4.2. Konvergenzordnung
5. Zusammenfassung
6. Ausblick
A. Anhang
A.1. Ausgewählte Themen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
A.2. Einige Hilfssätze und Beweise
Literaturverzeichnis
1. Einleitung
Nach der Deregulierung der Finanzmärkte und den daraus resultierenden Finanzkrisen hat die Mindestkapitalanforderung durch die verschiedenen Vorschriften des Baseler Ausschus- ses eine noch zentralere Rolle in der Aufsicht von Banken eingenommen. Diese gesetzliche Verpflichtung für Kreditinstitute besteht darin, eine minimale Kapitalreserve gegenüber Ver- lusten sogenannter Finanzrisiken (Markt-, Kreditrisiko, systemisches Risiko) zu bilden. Diese Kapitalreserve hat außerdem eine Garantiefunktion oder Haftungsfunktion im Liquidations- fall. Da sich bei Banken oder Kreditinstitute die Finanzrisiken meist in den verschiedenen Portfolios verbergen, über die sie verfügen, ist dieses aufsichtsrechtliche Kapital an diesen Portfolios orientiert.
Seit Basel II besteht der Mindestkapitalbedarf für ein Kreditportfolio aus drei Komponenten: Einer Kapitalanforderung für Marktrisiken, einer Kapitalanforderung für Kreditrisiken und einer Kapitalanforderung für operationelle Risiken. Der Mindestkapitalbedarf wird generell wie folgt bestimmt:
- Zunächst werden alle Einzelrisiken für das Kreditportfolio erfasst und den drei oben genannten Finanzrisiken zugeordnet;
- Dann werden die Risiken gleicher Art in einem entsprechenden und dafür geeigneten stochastischen Modell aggregiert und bemessen;
- Anschließend werden die Risikokennzahlen aus den drei Risikoarten aggregiert, um die Mindestkapitalanforderung für das Portfolio zu berechnen.
Wenn man diese Vorgehensweise zur Bestimmung der minimalen Kapitalreserve genau unter die Lupe nimmt, kann man feststellen, dass Interaktionen oder Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Risikoarten nicht berücksichtigt werden. Dies stellt ein Problem dar, da alle Risiken neben Portfolio-spezifischen Faktoren auch makroökonomischen Faktoren bein- halten, die sie dann miteinander binden. Somit könnten die verschiedenen Risikoarten sich gegenseitig so beeinflussen, dass die Berechnung der Mindestkapitalanforderung mit der oben dargestellten Methode fehlerhaft ausfällt. Genau solche fehlerhaften Bewertungen so- wie ungenauen Risikomessungen von Finanzderivaten haben die letzte Finanzkrise ausgelöst. Stochastische Modelle, in denen man die Abhängigkeitsstruktur zwischen den verschiedenen Risikoarten untersuchen kann, können dazu beitragen, die Bestimmung des Mindestkapital- bedarfs für ein Kreditportfolio zu optimieren.
Das Ziel dieser Masterarbeit ist die Bemessung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken für ein Kreditportfolio in einem stochastischen Modell mit integrierter Betrachtung von Markt- und Kreditrisiken. Angeregt durch den Artikel Interaction on Market and Credit Risk: An Analysis of Inter-Risk Correlation and Risk Aggregation6 betrachten wir hierfür ein Kreditportfolio, das aus n Darlehen indiziert von 1 bis n besteht. Wir nehmen
1. Einleitung
ferner an, dass die Anzahl der Darlehen mit der Anzahl der Kreditnehmer übereinstimmt. Für die Beschreibung von jeweils Markt- und Kreditrisiken für dieses Portfolio betrachten wir zwei verschiedenen Faktor-Modelle. Dann werden wir wie in Definition 2 . 6 (in6 ) die beiden Faktor-Modelle verknüpfen, um ein Faktor-Modell mit integriertem Markt- und Kreditrisiko zu erhalten. Wir betrachten dann dieses Modell als das zugrundeliegende Modell für diese Arbeit. Wir werden ferner annehmen, dass das vorgegebene Kreditportfolio homogen und perfekt diversifiziert ist. Dann werden wir mittels empirischer Methoden zuerst untersuchen, wie aggregierte Markt- und Kreditrisiken in diesem Modell verteilt sind. Anschließend werden wir diese mit dem Value at Risk als Risikomaß approximativ bemessen.
Diese Arbeit ist wie folgt aufgeteilt: In Kapitel 2 werden wir stochastische Modelle für Markt- oder Kreditrisiken darstellen, dann werden wir in Kapitel 3 die Verteilung aggregier- ter Markt- und Kreditrisiken untersuchen, um anschließend mit Kapitel 4 die Mindestkapi- talanforderung für das für diese Arbeit vorliegende Kreditportfolio abzuschätzen.
2. Stochastische Modelle zur Betrachtung von Markt- oder Kreditrisiken
Wir wollen in diesem Kapitel den Hauptrahmen definieren, in dem eine mathematische Bewertung und Quantifizierung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken machbar sind. Kurz gesagt werden wir hier aggregierte Markt- und Kreditrisiken modellieren. Eine Moti- vation hierfür ist durch den Artikel von Klaus Böcker und M. Hillebrand6 gegeben. Daher werden wir zunächst zwei Modelle zur Betrachtung von jeweils aggregierten Marktrisiken und aggregierten Kreditrisiken separat vorstellen. Dann werden wir ein integriertes Modell zur gemeinsamen Betrachtung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken darstellen.
2.1. Einfaktormodell für aggregierte Kreditrisiken
Um die Modellierung von Kreditrisiken verständlich machen zu können, wollen wir zuerst ihre Bedeutung für ein Kreditportfolio erläutern.
Definition 2.1 (Kreditrisiko)
Das Kreditrisiko im engeren Sinne umfasst das Ausf allrisiko ( Def aultRisk ), d.h. das Risiko, dass der Schuldner eines Kredits nicht in der Lage ist, seinen Zahlungsverpflichtungen (beispielsweise Zinszahlungen oder die Rückzahlung des Kreditbetrages) in voll ständiger Weise nachzukommen. Das Kreditrisiko im weiteren Sinne umfasst auch das M igrationsrisiko ( CreditM igration ). Dieses beinhaltet das Risiko einer Bonitätsver schlechterung und damit einer Erhöhung der Ausfallwahrscheinlichkeit.
Bemerkung 2.1
Der Unterschied zwischen diesen beiden Varianten des Kreditrisikos liegt offenbar in der Behandlung der zeitlichen Aspekte. Das Ausfallrisiko zu einem bestimmten Zeitpunkt t (etwa heute) bezieht sich auf eine fixierte künftige Periode [ t , T ] und wird für diese Periode als unveränderlich betrachtet. Das Migrationsrisiko berücksichtigt zusätzlich die Gefahr, dass sich das Ausfallrisiko auch während der fixierten künftigen Periode verschlechtern kann, was seinen Niederschlag etwa in einer entsprechenden Ratingherabstufung findet.
Wir gehen in dieser Arbeit davon aus, dass sich der Ausfall eines Einzelkredits durch den Zustand der Bonität des Kreditnehmers bei der Fälligkeit erklären lässt. Außerdem interes- sieren wir uns in der Modellierung von Kreditrisiken dafür, wie hoch der Portfolioverlust ist, wenn sich die Bonität eines oder mehrerer Schuldner bei der Fälligkeit ändert. Genauer gesagt wollen wir in diesem Abschnitt den Kreditportfolioverlust durch die Bonitätsindikatoren der jeweiligen Kreditnehmer beschreiben.
Formaler Rahmen
Wir wollen hier den formalen Rahmen zur Modellierung von Kreditrisiken darstellen: Für die Darstellung der aus heutiger Sicht (t = 0) nicht vorhersehbaren Entwicklung des Marktge- schehens und Kreditgeschäftes betrachten wir einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , A, F , P), der neben der σ -Algebra A mit einer Filtration F:= (F t) t ∈ [0 ,T ] ausgestattet ist, welche die im Zeitablauf zunehmende Informationsmenge über den Markt reflektiert. Dabei ist [0,T] die fixierte Handelsperiode (üblicherweise ist T = 1 Jahr). Wir nehmen ferner an, dass alle Darlehen im Portfolio ihre Fälligkeit in dem Zeitpunkt T > 0 haben und ihre Ausfallwahr- scheinlichkeiten bis zu diesem Zeitpunkt konstant bleiben. Zur Darstellung des potentiellen Portfolioverlustes betrachten wir bei der Fälligkeit für jeden Einzelkredit nur zwei mögliche Szenarien: Entweder wird die gesamte Kreditsumme zurückgezahlt (in diesem Fall hat der Kredit überlebt, also gibt es keinen Kreditausfall) oder nicht (d.h. nur ein Teil des Kredits wird zurückerstattet, in dem Fall spricht man von Kreditausfall). Daher führen wir die Aus- fallvariable L i für den Individualkredit i, i ∈ { 1 , ..., n} ein, die sich durch die Zufallsvariable
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beschreiben lässt. Wir haben schon oben erwähnt, dass sich der Kreditausfall meist durch Verschlechterung der Bonität des Kreditnehmers erklären lässt. Wir wollen nun die auf dieser Aussage basierende Modellierung der Ausfallvariable genauer erläutern. Sei A i , i ∈ { 1 , ..., n} die Zufallsvariable, die die Bonität des Kreditnehmers i beschreibt. Die weitere Modellvorstellung beruht auf einer Idee von Merton (siehe Merton13 ). Wir nehmen an, dass der Ausfall des Darlehens i genau dann eintritt, wenn die Bonitätsvariable A i eine gewisse Ausfallschranke D i unterschreitet. Das heißt,
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Daraus ergibt sich die explizite Darstellung der Ausfallsvariablen:
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Daher wird auch die Ausfallwahrscheinlichkeit des Darlehen i durch p i:= P(L i = 1) = P(A i < D i) definiert.
Definition 2.2 (Portfolioverlust)
Sei e i die Ausfallhöhe der vom Kreditnehmer i zu zahlenden Darlehenssumme bei der Fälligkeit. Die Verlustvariable für das Darlehen i , bezogen auf den Fälligkeitszeitpunkt T , wird durch die Zufallsvariable X i wie folgt definiert:
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2. Stochastische Modelle zur Betrachtung von Markt- oder Kreditrisiken
Daher definieren wir den Portfolioverlust (Gesamtverlust des Portfolios) bei der Fälligkeit
durch die Zufallsvariable X (n) :=
Bemerkung 2.2
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e i ist generell eine Zufallsgr öß e und ist durch die Gleichung
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beschreibbar. Dabei bezeichnet EAD i ( Exposure at Def ault ) den für das Darlehen i aus fallbedrohten Betrag und ist meist deterministisch. Mit LGD i (Lost given Def ault) wird die Verlustquote bei Eintritt eines Ausfalls des Darlehen i dargestellt. Diese Verlustquote ist zwar meist eine Zufallsgr öß e, aber wir nehmen in dieser Arbeit an, dass sie konstant und gleich 100% für alle Darlehen i, i ∈ { 1 , ..., n} ist.
Definition 2.3 (Einfaktormodell für aggregierte Kreditrisiken)
Seien Y, ε i , i = 1 , ..., n eindimensionale standardnormalverteilte Zufallsvariablen, die sto chastisch unabhängig sind. Sei ferner ρ ∈ [0 , 1] , dann definieren wir durch
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ein Einfaktormodell für aggregierte Kreditrisiken.
Bemerkung 2.3
1. Die Variable Y beschreibt hier den systematischen Kreditrisikofaktor, den man bei- spielsweise als die konjunkturelle Lage interpretieren kann, während ε i , i = 1 , ..., n die kreditnehmerspezifischen (idiosynkratischen) Kreditrisikofaktoren (Gehalt, Berufstä- tigkeit, ...) beschreiben.
2. Die Bonitätsvariablen A 1 , ..., A n sind standardnormalverteilt und korrelieren mitein- ander nur durch den systematischen Faktor Y ; es gilt nämlich
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Au ß erdem gilt zwischen den Ausfallschranken D i und ihren Ausfallwahrscheinlichkeiten p i folgende Beziehung:
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wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
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2.2. Einfaktormodell für aggregierte Marktrisiken
Für die Modellierung von Marktrisiken in einem Kreditportfolio wollen wir zunächst ihre Bedeutung erläutern.
Definition 2.4 (Marktrisiko)
Unter dem Begriff Marktrisiko eines Kreditportfolios versteht man das Risiko, dass sich der Wert von Einzelkrediten (hier als Finanzpositionen betrachtet) aufgrund der Marktpreisveränderungüber eine bestimmte Zeitperiode verändert.
Als formaler Rahmen für die Darstellung des Modells betrachten wir den gleichen Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω , A, F , P) und die gleiche Zeitperiode [0 , T ] wie bei der Modellierung von Kreditrisiken. Den absoluten Periodenverlust des Gesamtfinanzposition im Kreditport- folio auf Marktwertbasis werden wir durch eine Zufallsgröße Z definieren, deren Verteilung der sogenannten Gewinn/Verlust-Verteilung entspricht (wir betrachten hier als Verlust die positiven Werte von Z) und durch die Verteilung der aggregierten (Gewinn/Verlust-) Zu- fallsvariablen der Einzelfinanzpositionen (Darlehen) im Kreditportfolio bestimmt wird. Wir nehmen ferner an, dass Z eindimensional standardnormalverteilt ist und nur von einem sys- tematischen Marktfaktor Y ′ und einem kreditportfoliospezifischen (oder idiosynkratischen) Marktfaktor η beeinflusst wird. Dabei sind Y ′ und η univariat standardnormalverteilt und stochastisch unabhängig.
Definition 2.5 (Einfaktormodell für aggregierte Marktrisiken)
Seien Y wie in Definition 2 . 3 und η ∼ N (0 , 1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Sind Y, η stochastisch unabhängig, dann wird durch
)
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ein Einfaktormodell für aggregierte Marktrisiken (Gewinn/Verlust) definiert. Dabei sind γ ∈ [0 , 1] und σ ∈ R .
Bemerkung 2.4
Es gilt
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Au ß erdem hei ß t γ der Anteil der Varianz von Z , der sich durch den systematischen Risikofaktor Y erklären lässt.
2.3. Einfaktormodell für aggregierte Markt- und Kreditrisiken
Seien (Ω , A, F , P) der im Abschnitt 2.1 und Abschnitt 2.2 zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum und die Handelsperiode [0 , T ]. Wir betrachten ferner die in den beiden Abschnitten definierten Modelle und treffen zusätzlich die folgenden Annahmen:
2. Stochastische Modelle zur Betrachtung von Markt- oder Kreditrisiken
Annahme 2.1
1. Y, η , ε i , i = 1 , ..., n seien stochastisch unabhängig.
2. Es gelte ρ ∈ (0 , 23 ) , γ ∈ (0 , 1 ) .
Definition 2.6 (Einfaktormodell für aggregierte Markt- und Kreditrisiken)
Seien die Annahmen aus Annahme 2.1 erfüllt. Seien ferner X (n) wie in Definition 2.2 und Z wie in Definition 2.5, dann definieren wir durch den Zufallsvektor (X (n) , Z) ein Einfaktor modell zur integrierten Betrachtung von Markt- und Kreditrisiken.
In der Praxis sind die Kreditportfolios meist sehr "groß"(das heißt, sie bestehen aus einer großen Anzahl von Kreditderivaten). Wenn man die Struktur der Portfolioverlustvariable genauer betrachtet, kann man feststellen, dass ihre Verteilung unbekannt und nicht zu be- herrschen ist, wenn n wächst. Dies führt dazu, dass man nicht in der Lage ist, den absoluten Portfolioverlust zu implementieren oder zu berechnen. Darum wird in der Praxis eher der re- lative Portfolioverlust abgeschätzt, dessen Anteil am Gesamtexposure (potentiell maximaler Verlust) des Portfolios prozentual ist. Der relative (prozentuale) Portfolioverlust wird dann durch die Zufallsvariable
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definiert. Dabei ist ∑ e i die Gesamtdarlehenssumme des Portfolios. Wie beim Portfoliover-
i =1
lust ist die tatsächliche (Gewinn/Verlust-) Verteilung nicht bekannt. Deswegen wird diese durch die Verteilung der in Abschnitt 2.2 definierten Zufallsgröße Z approximiert oder angepasst. Um die Bewertung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken einheitlich zu machen, nehmen wir an, dass die Werte von Z prozentual an der potentiellen höchsten absoluten Portfoliowertänderung bei Fälligkeit ausgedrückt werden. Wir betrachten dann im Folgenden den Zufallsvektor (L (n) , Z) als das zugrunde liegende Einfaktormodell für diese Arbeit zur integrierten Betrachtung von Markt- und Kreditrisiken.
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3. Asymptotische Bewertung aggregierter
Markt- und Kreditrisiken für ein homogenes Kreditportfolio
Ziel dieses Kapitel ist es, die Verteilung von aggregierten Markt- und Kreditrisiken (d.h die Verteilung von L (n) + Z) des vorgegebenen Kreditportfolios abzuschätzen. Die zentralen Fragestellungen hierfür sind:
- Wie ist der (prozentuale) Portfolioverlust L (n) verteilt, wenn n wächst?
- Welche Abhängigkeitsstruktur besitzen die Zufallsvariablen L (n) und Z ?
Wir werden in den folgenden Abschnitten beide Fragen beantworten. Anschließend werden wir die Verteilung von L (n) + Z asymptotisch bewerten.
3.1. Das ARSF-Modell
Wir wollen in diesem Abschnitt die erste Frage, die wir am Anfang des Kapitels gestellt ha- ben, beantworten. Wie schon erwähnt, ist die Anzahl von Darlehen in einem Kreditportfolio meist sehr groß. Darum ist es von Bedeutung, dass man die Verteilung von L (n) untersucht, wenn n wächst. Mit dem ARSF-Modell (Asymptotic Single Risk F actor M odel), das von dem Baseler Ausschuss und insbesondere in7 entworfen wurde, kann uns dies gelingen. Im folgenden Unterabschnitt werden wir erst die Grundannahmen für ein ARSF-Modell angeben. Dann werden wir diese in das dieser Arbeit zugrundeliegende Modell integrieren.
3.1.1. Homogene und perfekt diversifizierte Kreditportfolios
Das ARSF-Modell basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen und wird allgemein durch folgende Grundannahmen gekennzeichnet:
1. Die Portfolios sind perfekt diversifiziert. Das heißt, kein Darlehen in solchen Portfolios dominiert die übrigen bezüglich des Exposures größenordnungsmäßig.
2. Die Verlustvariablen X i , i = 1 , · · · , n der Darlehen seien durch einen einzigen syste- matischen Risikofaktor Y korreliert.
Nach Bemerkung 2.3,2 . gilt die zweite Grundannahme schon für das zugrundeliegende Modell. Wir nehmen von nun ab an, dass das für diese Arbeit vorgegebene Kreditportfolio homogen und perfekt diversifiziert ist. Man spricht in der angelsächsischen Literatur von einem Large Homogeneous P ortf olio (LHP). Das heißt, es gilt
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3. Asymptotische Bewertung aggregierter Markt- und Kreditrisiken für ein homogenes Kreditportfolio
wobei p i und e i die Ausfallwahrscheinlichkeit beziehungsweise die Ausfallhöhe des Darlehen i kennzeichnen. Dies bedeutet anschaulich, dass alle Darlehen im Portfolio dieselbe Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausfallhöhe (im Fall eines Kreditausfalls) besitzen. Daraus ergibt sich folgende Anpassung für das zugrundeliegende Modell:
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Um das Verhalten der Verteilung von L (n) besser darstellen zu können, wenn die Anzahl n der Darlehen in dem vorliegenden Kreditportfolio wächst, benötigen wir einige Konvergenzbegriffe, die wir in dem folgenden Unterabschnitt angeben werden.
3.1.2. Konvergenzbegriffe
Definition 3.1
Seien X und X n , n ∈ N , reellwertige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , F , P) .
- ( Stochastische Konvergenz ) . Die Folge X n , n ∈ N konvergiert stochastisch oder in W ahrscheinlichkeit gegen X , wenn
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- ( Fast-sichere Konvergenz) . X n , n ∈ N konvergiert fast sicher (f.s) gegen X , wenn
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gilt. Man schreibt auch X n → X f.s, oder X n → X (P) .
- (Konvergenz in Verteilung) . Für n ∈ N sei X n eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω n , F n , P n) . Die Folge X n , n ∈ N konvergiert in Verteilung gegen X , wenn
lim F X n (x) = F X (x) , für alle Stetigkeitspunkte x ∈ R von F x
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Bezüglich des Zusammenhangs der verschiedenen Konvergenzbegriffe gilt folgende Aussa- ge:
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Seien X, X n , n ∈ N , reelle Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω , F , P ), dann gilt
1. Für die fast-sichere Konvergenz von X n gegen X ist die Bedingung
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Beweis Zu 1 . siehe 20 . 6 Lemma in4 und zu 2 . siehe 17 . 1 . 7 Satz in14.
Im folgenden Abschnitt wollen wir die Verteilung des relativen Kreditportfolioverlusts asymptotisch (wenn n wächst) bewerten.
3.1.3. Portfolioverlustsverteilung
Definition 3.2 (Bernoulli Mischungsmodell)
Seien m, p ∈ N mit p < m und Ψ = (Ψ 1 , ..., Ψ p) ′ ein p -dimensionaler Zufallsvektor; ein Bernoulli-Mischungsmodell (” Bernoulli mixture model” in angelsächsischer Literatur) wird durch den Zufallsvektor Y = (Y 1 , ..., Y 2) ′ bezüglich Ψ definiert, wenn gilt:
1. Es existieren Funktionen p i: R p −→ [0 , 1] , 1 ≤ i ≤ n , mit
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Seien L i , i = 1 , ..., n die in unserem Modell definierten Kreditausfallsvariablen. Sei ferner Y der systematische Marktfaktor. Dann wird durch (L i)1 ≤ i ≤ n bezüglich Y ein Bernoulli Mischungsmodell definiert. Es gilt
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Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
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Beweis Seien y ∈ R und P y (.) das bedingte Wahrscheinlichkeitsma ß gegeben {Y = y} (d.h. P y (.) := P(. | Y = y) ). Wir wollen zunächst die Funktionen p i , i = 1 , · · · , n finden, so dass
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Tsansformationssatz
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Für den Nachweis der stochastischen Unabhängigkeit der L i , i = 1 , ..., n gegeben {Y = y}, seien α 1 , ..., α n ∈ { 0 , 1 } . Wir setzen hier β i:= (− 1)1 −α i und D i = β i Φ − 1 (p) , i = 1 , ..., n . Es
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definiert wird. Sei ferner Y der systematische Risikofaktor, dann gilt für die Ausfallsvariablen L i , i = 1 , ··· ,n:
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Sei p die numerische messbare Funktion wie in Satz 3.2, dann gelten für die relative Portfolioverlustvariable L (n) folgende Aussagen :
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Seien L k , k = 1 , · · · , n die Ausfallsvariablen und Y der systematische Risikofaktor (gemein- sam für Markt- und Kreditrisiken). Sei ferner p die numerische messbare Funktion wie in Satz 3.2. Setze T k:= L k − E[ L k | Y ] , k = 1 , · · · , n , dann gelten folgende Aussagen:
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Es gilt ferner
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Wegen Lemma A.1 (siehe Anhang A.2) gilt
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[...]