The Black-Scholes (or Black-Scholes-Merton) Model has become the standard model for the pricing of options and can surely be seen as one of the main reasons for the growth of the derivative market after the model´s introduction in 1973. As a consequence, the inventors of the model, Robert Merton, Myron Scholes, and without doubt also Fischer Black, if he had not died in 1995, were awarded the Nobel prize for economics in 1997.
The model, however, makes some strict assumptions that must hold true for accurate pricing of an option. The most important one is constant volatility, whereas empirical evidence shows that volatility is heteroscedastic. This leads to increased mispricing of options especially in the case of out of the money options as well as to a phenomenon known as volatility smile. As a consequence, researchers introduced various approaches to expand the model by allowing the volatility to be non-constant and to follow a sto-chastic process. It is the objective of this thesis to investigate if the pricing accuracy of the Black-Scholes model can be significantly improved by applying a stochastic volatility model.
Inhaltsverzeichnis
1 Introduction
1.1 Background
1.2 Problem Definition and Objective
1.3 Course of the Investigation
2 Option Basics
2.1 Classification and Types of Options
2.2 Terminology & Payoff Characteristics
2.3 Put‐Call Parity
3 Stochastic Processes
3.1 Markov Property
3.2 Wiener Process and Brownian Motion
3.3 Itô Process and Itô's Formula
3.4 Application of Itô's Lemma to Stock Price Movements
4 The Black-Scholes Model
4.1 Assumptions
4.2 Risk free Evaluation
4.3 Black‐Scholes Partial Differential Equation
4.4 Black‐Scholes Pricing Formula
4.5 Evaluation of Model Parameters and Assumptions
4.6 Volatility Smile
5 Stochastic Volatility Models
5.1 Overview of Stochastic Volatility Models
5.2 The Heston Model
5.2.1 The Mean‐reverting Square Root Diffusion Process
5.2.2 Derivation of the Heston PDE
5.3 Heston Pricing Formula for European Calls
6 Empirical Analysis
6.1 Methodology
6.1.1 Closed Form approximations
6.1.2 Implementation
6.2 Calibration
6.2.1 Model parameters
6.2.2 Calibration methods
6.3 Data
6.4 Results
6.4.1 Calibration results
6.4.2 Pricing Results
7 Model evaluation
7.1 Interpretation of the Results
7.2 Drawbacks of the Model
7.3 Approaches for further Improvements
7.3.1 Time dependent Heston Model
7.3.2 Jump‐Diffusion Model
8 Conclusion
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht, ob die Preisgenauigkeit des klassischen Black-Scholes-Modells durch die Anwendung von stochastischen Volatilitätsmodellen signifikant verbessert werden kann. Dabei wird insbesondere das Heston-Modell analysiert, kalibriert und mit Marktdaten des S&P 500 Index verglichen, um die Eignung stochastischer Prozesse zur Modellierung von Volatilitätsschwankungen aufzuzeigen.
- Grundlagen der Optionspreisgestaltung und des Black-Scholes-Modells
- Stochastische Prozesse als mathematisches Fundament für Finanzmarktdynamiken
- Detaillierte Analyse und Interpretation des Heston-Modells
- Empirische Kalibrierung und Vergleich der Preisgenauigkeit
- Diskussion von Modellschwächen und Erweiterungsmöglichkeiten wie Jump-Diffusion-Ansätze
Auszug aus dem Buch
4.3 Black-Scholes Partial Differential Equation
As explained in the previous sections, the stock price S follows a GBM: dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW, while V(S, t) denotes the price of a derivative on S at time t. After applying Itô's formula, the infinitesimal change, dV, with respect to S and t is given by the following SDE: dV(S, t) = (∂V/∂S µS + ∂V/∂t + 1/2 ∂^2V/∂S^2 σ^2S^2) dt + ∂V/∂S σSdW.
In order to create a risk-free portfolio, the diffusion terms of σSdW (in the stock price) and ∂V/∂S σSdW (in the option price) must offset each other which is the case if there is a long position of ∂V/∂S shares. The value Π of the resulting portfolio is then Π = -V + ∂V/∂S S, whereas the change in value, dΠ, must equal the value of Π compounded at the risk free rate r: dΠ = -dV + ∂V/∂S dS = rΠdt. Inserting (13), (14), and (15) into (16) gives the Black-Scholes-Merton partial differential equation: ∂V/∂t + rS ∂V/∂S + 1/2 σ^2S^2 ∂^2V/∂S^2 = rV.
Since the dynamic of this hedge is expressed by an differential equation, it must be noted that the portfolio is risk-free only for an infinitesimal period of time dt and must be rebalanced continuously to maintain risk-free.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Introduction: Einführung in die Thematik der Optionspreisgestaltung und Definition des Forschungsziels, die Genauigkeit des Black-Scholes-Modells durch stochastische Ansätze zu verbessern.
2 Option Basics: Vermittlung grundlegender Begriffe, Auszahlungsprofile und der Put-Call-Parität, um das Verständnis für die Determinanten von Optionspreisen zu schaffen.
3 Stochastic Processes: Mathematische Einführung in stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess, Brownian Motion und das Itô-Lemma als Werkzeuge für die Finanzmarktanalyse.
4 The Black-Scholes Model: Vorstellung des Standardmodells, seiner Annahmen, der Herleitung der partiellen Differentialgleichung und der Diskussion von dessen Schwächen, insbesondere der konstanten Volatilität.
5 Stochastic Volatility Models: Präsentation des Heston-Modells als stochastisches Volatilitätsmodell inklusive der Herleitung der Preisformel für europäische Kaufoptionen.
6 Empirical Analysis: Durchführung einer empirischen Analyse durch Kalibrierung des Heston-Modells mittels MATLAB und Vergleich mit Marktdaten von S&P 500 Optionen.
7 Model evaluation: Kritische Auswertung der Ergebnisse, Diskussion der Modellschwächen und Vorstellung von Erweiterungen wie zeitabhängigen Parametern oder Jump-Diffusion-Modellen.
8 Conclusion: Zusammenfassung der theoretischen und empirischen Ergebnisse sowie Bestätigung der Robustheit und Überlegenheit des Heston-Modells gegenüber Black-Scholes.
Schlüsselwörter
Heston-Modell, Black-Scholes-Modell, stochastische Volatilität, Optionspreisgestaltung, Finanzmathematik, Brownian Motion, Itô-Lemma, Kalibrierung, Volatilitäts-Smile, Jump-Diffusion, Markteffizienz, S&P 500, Risikoneutrale Bewertung, Volatilität der Volatilität, Derivate.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die Anwendung stochastischer Volatilitätsmodelle, speziell des Heston-Modells, um die Preisgenauigkeit für Optionen im Vergleich zum klassischen Black-Scholes-Modell zu steigern.
Was sind die zentralen Themenfelder der Analyse?
Die Arbeit behandelt die mathematischen Grundlagen stochastischer Prozesse, die Schwächen der konstanten Volatilitätsannahme in Standardmodellen und die empirische Modellierung mittels Kalibrierung an Marktdaten.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es zu untersuchen, ob stochastische Volatilitätsmodelle die bekannten systematischen Fehlbewertungen des Black-Scholes-Modells bei Optionen signifikant reduzieren können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit kombiniert theoretische Ableitungen der Heston-PDE mit numerischen Methoden zur Kalibrierung des Modells mittels MATLAB, unter Verwendung von S&P 500 Index-Optionsdaten.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die theoretische Herleitung des Heston-Modells, die numerische Implementierung der Kalibrierung und eine umfassende Evaluation der Ergebnisse anhand von Volatilitätsoberflächen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind stochastische Volatilität, Heston-Modell, Black-Scholes-Modell, Optionspreisgestaltung, Kalibrierung und Jump-Diffusion-Prozesse.
Warum wird das Heston-Modell gegenüber anderen Modellen bevorzugt?
Das Heston-Modell wird aufgrund seiner Einfachheit und der Verfügbarkeit einer semi-analytischen geschlossenen Lösung für die Preisgestaltung als besonders praktikabel und robust hervorgehoben.
Welche Bedeutung hat das Phänomen des Volatilitäts-Smile?
Das Volatilitäts-Smile zeigt, dass der Markt von der Annahme konstanter Volatilität abweicht; das Heston-Modell kann dieses Phänomen deutlich besser abbilden als das Standardmodell.
- Quote paper
- Pascal Debus (Author), 2010, Application of Stochastic Volatility Models in Option Pricing, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/232541
