In der Mathematik stößt man oft auf Zusammenhänge, die zunächst allgemein gültig erscheinen. So begegnet man in der Oberstufe zum Beispiel der Summenformel für die Zahlen 1 bis n. Diese ist beispielsweise für die Berechnung von Ober- und Untersummen unerlässlich. Doch um mit einer solchen Gleichung arbeiten zu können, muss man diese im Vorhinein allgemeingültig beweisen.
Dazu kann man das Verfahren der vollständigen Induktion anwenden. Dieses ist eine der grundlegenden Beweismethoden in der Mathematik, mit welcher sich allgemeingültige Aussagen für natürliche Zahlen beweisen lassen.
Seiner Wortherkunft nach (lat. „inductio“) bedeutet das Wort Induktion „das Hineinführen“ und die Methode der vollständigen Induktion wird oft als Schlussfolgerung „vom Besonderen auf das Allgemeine“ definiert. Das Gegenteil hiervon ist die Deduktion, bei der vom „Allgemeinen auf das Einzelne“ geschlossen wird. Ein einfaches, erklärendes Beispiel für eine Deduktion wäre zum Beispiel: „Alle Menschen haben einen Kopf. Peter ist ein Mensch. Folgerung: Peter hat einen Kopf“
Anwendungsgebiete für dieses Beweisverfahren finden sich in allen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der Geometrie, der Mengenlehre oder der Zahlentheorie.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Blaise Pascal
3. Das Prinzip der vollständigen Induktion
3.1 Die Axiome nach Peano
3.2 Das Induktionsverfahren
4. Anwendungen der Vollständigen Induktion
4.1 Summenformel für die Zahlen 1 bis n
4.2 Teilbarkeit durch
5. Zwei Beweisführungen
6. Schluss
7. Quellen-/Literaturverzeichnis
8.Versicherung
9 Anhang
1. Einleitung
In der Mathematik stößt man oft auf Zusammenhänge, die zunächst allgemein gültig erscheinen. So begegnet man in der Oberstufe zum Beispiel der Summenformel für die Zahlen 1 bis n. Diese ist beispielsweise für die Berechnung von Ober- und Untersummen unerlässlich. Doch um mit einer solchen Gleichung arbeiten zu können, muss man diese im Vorhinein allgemeingültig beweisen.
Dazu kann man das Verfahren der vollständigen Induktion anwenden. Dieses ist eine der grundlegenden Beweismethoden in der Mathematik, mit welcher sich allgemeingültige Aussagen für natürliche Zahlen beweisen lassen.
Seiner Wortherkunft nach (lat. „inductio“) bedeutet das Wort Induktion „das Hineinführen“[1] und die Methode der vollständigen Induktion wird oft als Schlussfolgerung „vom Besonderen auf das Allgemeine“[2] definiert. Das Gegenteil hiervon ist die Deduktion, bei der vom „Allgemeinen auf das Einzelne“[3] geschlossen wird. Ein einfaches, erklärendes Beispiel für eine Deduktion wäre zum Beispiel: „Alle Menschen haben einen Kopf. Peter ist ein Mensch. Folgerung: Peter hat einen Kopf“[4]
Anwendungsgebiete für dieses Beweisverfahren finden sich in allen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der Geometrie, der Mengenlehre oder der Zahlentheorie.
Ich habe mich für dieses Thema entschieden, da ich von einem Freund, der Mathematik studiert, gehört habe, dass das Verfahren der vollständigen Induktion ein sehr interessantes und weitläufiges Thema für eine Facharbeit ist.
Außerdem wollte ich ein Thema bearbeiten, dass nicht an den normalen Schulstoff (Parabeln, Koordinatensysteme, etc.) anknüpft, sondern wollte etwas komplett Neues erarbeiten. Daher
habe ich den Vorschlag meines Freundes angenommen und mich in der folgenden Arbeit mit dem Verfahren der vollständigen Induktion befasst.
2. Blaise Pascal
Blaise Pascal, der von 1623-1662 in Frankreich lebte, ist der Erfinder des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion und gehörte zu den bedeutendsten Physikern und Mathematikern seiner Zeit.
Auch schon vor der Erfindung der vollständigen Induktion fiel Blaise Pascal durch sein mathematisches Talent auf. So erfand er mit nur 16 Jahren den Pascalschen Kegelschnittsatz und konstruierte zwei Jahre später eine Rechenmaschine zum Addieren und Subtrahieren. Später beschäftigte er sich zudem mit physikalischen Fragen und erstellte unter anderem Abhandlungen über das Vakuum und die Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe über dem Erdboden. Wenige Jahre später entwickelte er außerdem das nach ihm benannte Pascalsche Dreieck.
Schließlich entdeckte er das Verfahren der vollständigen Induktion, welches in der „Conséquence douzième des Traité du Triangle Arithmétique“ erst nach seinem Tod im Jahre 1665 veröffentlicht wurde. [5]
3. Das Prinzip der vollständigen Induktion
3.1 Die Axiome nach Peano
Der italienische Mathematiker Guiseppe Peano, der von 1858 bis 1932 lebte, definierte im Jahre 1889 fünf Eigenschaften, welche alle natürlichen Zahlen N besitzen. Diese Eigenschaften sind heute unter den Peano-Axiomen bekannt.
Da die vollständige Induktion sich auf die natürlichen Zahlen beschränkt, müssen die Objektmegngen die Peano-Axiome erfüllen, um die vollständige Induktion anwenden
zu können. Die Axiome werden in dieser Facharbeit jedoch als wahr vorausgesetzt und müssen daher nicht bewiesen werden.
Die 5 Axiome der natürlichen Zahlen N nach Peano:
P1: 1 ist eine natürliche Zahl
P2: Zu jeder Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl n*, genannt „der Nachfolger von n“.
P3 1 ist nicht der Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl
P4 Zwei natürliche Zahlen n und m, deren Nachfolger gleich sind, d. h. m*=n*, sind selbst gleich, d.h. m=n
P5 Eine Teilmenge T der natürlichen Zahlen, für die i. und ii. gilt, stimmt mit N überein.
i. 1 gehört zu T
ii. Gehört n zu T, dann ist auch der Nachfolger n* von n in T.[6]
Die natürlichen Zahlen werden von verschiedenen Mathematikern unterschiedlich definiert. So zählen manche die Zahl 0 ebenfalls zu den natürlichen Zahlen, wohingegen andere die Zahl 0 ausschließen. In diesen Axiomen wird festgelegt, dass die Zahl 0 keine natürliche Zahl ist (vgl. P3).
[...]
[1] Bibliographisches Institut GmbH: Duden online; Herkunft „Induktion“. URL: http://www.duden.de/rechtschreibung/Induktion (Stand: 12.3.2012).
[2] Wohlgemuth, Martin: Mathematisch für Anfänger. Heidelberg [2] 2011, S.40.
[3] Ebd.
[4] Wohlgemuth 2011, S.41.
[5] Walz, Guido (Red.): Lexikon der Mathematik. 6 Bde. Heidelberg/Berlin1 2001. Band 3; S.156.
[6] Wohlgemuth 2011, S.45.
