Die fraktale Geometrie ist ein relativ neues Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit geometrischen Objekten, den sog. Fraktalen, deren Eigenschaften sich von denen der “klassischen” Geometrie grundlegend unterscheiden. Wichtigstes Merkmal von Fraktalen ist die Skaleninvarianz, d.h., dass man bei jeder Vergrößerungsstufe Einzelheiten erkennen kann, egal wie stark man in das Objekt hinein dringt. Wenn man dagegen den Rand eines “klassischen” Objektes, wie den des Kreises, vergrößert, so ähnelt dieser mit zunehmender Vergrößerung immer mehr einer schlichten Gerade. Solche Objekte werden demnach als glatt bezeichnet. Bei einem Fraktal wird man jedoch nie eine Gerade erkennen können, sondern immer mehr Feinheiten des Objektes. Daher rührt die Bezeichnung “Fraktal”, vom lateinischen “fractus” für “gebrochen”, d.h. mit unzähligen Details übersät. Derartige Objekte waren schon seit Anfang des 20. Jahrhunderts bekannt, aber erst ab ca. 1970 wurde deren grundlegende Bedeutung erkannt. Davor wurden diese Objekte als “mathematische Monster” bezeichnet, da sie, wie ich im Folgenden erläutern werde, paradoxe Eigenschaften besitzen, die dem menschlichen Verstand mehr oder weniger “unbegreiflich” erscheinen. Dies änderte sich erst durch die Arbeit des Mathematikers Benoît Mandelbrot. Er erkannte, dass man mit Fraktalen etwas gänzlich Neues machen konnte, etwas was bis zu dieser Zeit als praktisch mathematisch unmöglich galt: die Modellierung und Beschreibung von “unregelmäßigen” Objekten der Natur, insbesondere der belebten, von der man annahm, sie könne nicht geometrisch beschrieben werden.
In dieser Besonderen Lernleistung setzte ich mich zunächst mit den “klassischen” Fraktalen des 20. Jahrhunderts auseinander, um anhand dieser die grundlegenden Konzepte der Fraktalgeometrie zu erläutern. Anschließend stelle ich die sog. iterierten Funktionensysteme (IFS), ein mächtiges Verfahren zur Kodierung und Generierung von Fraktalen, vor. Dabei werde ich auf die genaue Definition und deren Verwendung zur Modellierung und Darstellung Natur-ähnlicher Strukturen eingehen. Um die Theorie der Fraktale anschaulich erläutern zu können, habe ich diese Arbeit mit zahlreichen Bildern, die ich zum Großteil selbst erstellt habe, illustriert.
Im Rahmen dieser BeLL ist ebenfalls ein Computerprogramm entstanden, das die Funktionalität der IFS implementiert und anschaulich begreifbar macht.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Begrie und De nitionen
2.1 Räume
2.1.1 Vektorräume
2.1.2 Metrische Räume
2.2 A ne Abbildungen
2.2.1 Translation
2.2.2 Skalierung
2.2.3 Rotation
2.2.4 Weitere a ne Abbildungen
2.2.5 Verkettung a ner Abbildungen
2.2.6 Berechnung einer a nen Abbildung
2.2.7 Fixpunkte a ner Abbildungen
2.2.8 Eigenschaften a ner Abbildungen
2.2.9 Kontraktionen
2.3 Dimension
2.3.1 Topologische Dimension
3 Klassische Fraktale
3.1 Was ist ein Fraktal?
3.2 Die Koch-Kurve
3.2.1 Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve
3.2.2 Die Länge der Koch-Kurve
3.3 Die Cesàro-Kurve
3.3.1 Die fraktale Dimension D der Cesàro-Kurve
3.3.2 Allgemeine Flächenformel der Cesàro-Kurve
3.4 Weitere klassische Fraktale
3.4.1 Das Sierpi«ski-Dreieck
3.4.2 Der Sierpi«ski-Teppich
4 Iterierte Funktionensysteme (IFS)
4.1 Die Metapher der MVKM
4.2 De nition von IFS
4.3 Kodierung von Fraktalen durch IFS
4.4 Fraktale Modellierung mit Hilfe von IFS
4.5 Der Chaosspiel-Algorithmus
4.6 Die Box-Dimension DB
4.7 Ausblick
5 Eigene Wertung
6 Anhang
6.1 Das Programm IFS-Generator
6.1.1 Anmerkung zur verwendeten Programmiersprache
6.1.2 Quelltexte
6.2 Struktogramme
6.2.1 deterministischer Algorithmus (MVKM)
6.2.2 Chaosspiel-Algorithmus (GVKM)
6.3 Materialien auf CD-ROM
6.4 Literaturverzeichnis
6.5 Bildnachweise
- Arbeit zitieren
- Adrian Jan Jablonski (Autor:in), 2010, Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/193908
