Das Thema der vorliegenden Arbeit ist aus meiner unterrichtlichen Praxis in einem Mathematik-Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium, Bottrop, erwachsen.
In diesem Kurs, der mir im Bereich meines bedarfsdeckenden Unterrichtes zugeteilt war, unterrichtete ich im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/02 u. a. eine Unterrichtsreihe zum Thema der Kurvendiskussion im Bereich der Analysis, wozu auch das Ermitteln von Nullstellen ganzrationaler (Polynom-)Funktionen gehörte.
Hier wurden die unterschiedlichen Methoden wie z.B. Substitution,
Polynomdivision usw. eingeführt und eingeübt.
Die anschließende Einführung und Herleitung des Newton-Verfahrens als
Verfahren zur iterativen Bestimmung von Nullstellen bei Funktionen, die sich nicht mit Hilfe der bereits bekannten Methoden auf ihre Nullstellen hin untersuchen lassen, verlief derart, dass zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die geometrischen Hintergründe an der Tafel bzw. auf Folien erarbeitet wurden.
Hieraus wurde dann die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens hergeleitet.
Bei der Korrektur der sich an diese Unterrichtsreihe anschließenden Klausur stellte ich jedoch fest, dass die SuS zwar problemlos die Rekursionsformel behalten hatten und diese auch anwenden konnten, jedoch fehlte den meisten jegliches Verständnis für die geometrische Anschauung bzw. die geometrischen Zusammenhänge.
Aus diesem Grunde suchte ich nach einer Methode, den SuS die hinter dem iterativen Newton-Verfahren stehenden geometrischen Zusammenhänge näher zu bringen.
Diese Arbeit stellt im Folgenden die Überlegungen und Beweggründe vor, die letztlich zur Entwicklung der Excel-Arbeitsmappe „Newton.xls“ geführt haben.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1. Überlegungen und Beweggründe
1.1. Erfahrungen aus der eigenen unterrichtlichen Praxis
1.1.1. Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11
1.1.2. Unterrichtserfahrungen mit Computern als Medium
1.2. Unterricht mit dem Computer
1.2.1. Einflüsse des Computers
1.2.2. Tabellenkalkulation als ein Werkzeug für den Unterricht
2. Einordnung in den unterrichtlichen Ablauf
2.1. Vorhergehende Unterrichtsschritte
2.2. Einsatz der Datei „Newton.xls“ im Untterricht
2.3. Der anschließende Unterricht
3. Die Excel-Arbeitsmappe „Newton.xls“
3.1. Technische Voraussetzungen
3.2. Grundideen bei der Entwicklung von „Newton.xls“
3.3. Arbeiten mit „Newton.xls“
3.3.1. Der erste Start
3.3.2. Die Einführung
3.3.3. Mathematisierung und Hinführung zum Näherungsverfahren
3.3.4. Geometrische Grundlagen
3.3.5. Mathematisierung der Geometrie
3.3.6. Interaktive Nullstellenuntersuchung von Funktionen
3.4. Das Hauptmodul „Untersuchung.xls“
3.4.1. Eingabemaske für Funktion und Startwert x0
3.4.2. Ausgabetabelle für die Ergebnisse des Newton-Verfahrens
3.4.3. Koordinatensystem und Formatierung der Achsen
Fazit
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht den Einsatz der Tabellenkalkulation Excel zur Visualisierung des Newton-Verfahrens, um Schülern ein tieferes Verständnis für iterative Prozesse und die geometrischen Hintergründe zu vermitteln, statt sich auf rein formelbasiertes Lernen zu beschränken.
- Entwicklung und Einsatz der interaktiven Excel-Arbeitsmappe "Newton.xls"
- Förderung der geometrischen Anschauung iterativer Verfahren
- Methodische Einordnung des Computereinsatzes im Mathematikunterricht
- Binnendifferenzierung durch computergestützte Lernumgebungen
- Analyse der Vorteile von Tabellenkalkulationsprogrammen gegenüber CAS
Auszug aus dem Buch
1.1.1. Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11
Im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/2002 unterrichtete ich im Rahmen meines bedarfsdeckenden Unterrichtes einen Mathematik-Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium in Bottrop.
Wie auch schon in anderen Teilbereichen der Analysis stellte ich bei den SuS auch bei der Behandlung des Newton-Verfahrens folgende Schwäche fest: Zwar konnten sie die am Ende der Unterrichtsreihe erarbeitete Rekursionsformel des Verfahrens wiedergeben und anwenden, aber es fehlte die geometrische Anschauung und das Verständnis, obwohl auch dies bei der Hinführung zur Rekursionsformel von mir einen besonderen Stellenwert innerhalb des Unterrichts erhielt:
So wurden zusammen mit den SuS sowohl an der Tafel wie aber auch mit Hilfe von Folien und Arbeitsblättern die Schritte der Konstruktion durchgeführt und eingeübt:
- Wähle einen Startwert x0
- Verbinde (x0|0) mit dem zugehörigen Punkt (x0|f(x0))
- Zeichne die Tangente durch (x0|f(x0))
- Schneide die Tangente mit der x-Achse
- Bezeichne diesen Schnittpunkt mit x1
Durch wiederholtes Vorgehen erkannten die SuS, dass sie sich mit jedem weiteren Schritt immer weiter an die eingezeichnete Nullstelle x* annäherten.
Aus dieser zeichnerischen Lösung erwuchs in den Schülern der Wunsch, diese Nullstelle auch rechnerisch ermitteln zu können.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Überlegungen und Beweggründe: Der Autor schildert seine Praxiserfahrungen mit dem Verständnisdefizit bei Schülern bezüglich der geometrischen Grundlagen iterativer Verfahren und begründet den Computereinsatz zur Motivationssteigerung.
2. Einordnung in den unterrichtlichen Ablauf: Dieses Kapitel erläutert die notwendigen mathematischen Voraussetzungen, die Vorbereitung der Schüler auf das Newton-Verfahren und die Integration der Software in den Unterrichtsverlauf.
3. Die Excel-Arbeitsmappe „Newton.xls“: Hier werden die technischen Anforderungen, das pädagogische Design der interaktiven Lernsoftware sowie die einzelnen Funktionalitäten zur Visualisierung und Untersuchung von Funktionen detailliert beschrieben.
Fazit: Der Autor zieht Bilanz und betont, dass die interaktive Visualisierung mittels Excel das Potenzial hat, ein tieferes Verständnis iterativer Verfahren zu fördern, was jedoch in der schulpraktischen Erprobung weiter zu evaluieren sei.
Schlüsselwörter
Newton-Verfahren, Tabellenkalkulation, Excel, Mathematikunterricht, Visualisierung, Analysis, Nullstellenbestimmung, Iterationsverfahren, Lernsoftware, Geometrische Anschauung, Informatik im Unterricht, Computereinsatz, Didaktik der Mathematik, Rekursionsformel, Binnendifferenzierung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Entwicklung und didaktische Einordnung einer Excel-basierten Anwendung, die das Newton-Verfahren visualisiert, um Schülern ein tieferes geometrisches Verständnis für iterative Berechnungen zu ermöglichen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Schnittstelle zwischen Mathematikdidaktik und Medieneinsatz, insbesondere bei der Verknüpfung von Analysis (Nullstellen) mit interaktiven Tabellenkalkulationen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, der bei Schülern häufig auftretenden "Rezeptologie" (reines Formelauswendiglernen) entgegenzuwirken und das Verständnis für die zugrunde liegende geometrische Konstruktion des Newton-Verfahrens zu schärfen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine fachdidaktische Hausarbeit, die auf unterrichtlichen Erfahrungen, der Erstellung von Lehrsoftware (Excel) und dem Bezug auf fachwissenschaftliche sowie didaktische Positionen (u.a. HEUGL, VOM HOFE) basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Begründung, die Einordnung in das Curriculum sowie eine detaillierte technische und didaktische Beschreibung der erstellten Excel-Arbeitsmappen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind Newton-Verfahren, Visualisierung, Excel, Nullstellen, Analysis und geometrische Anschauung.
Warum wurde Excel statt eines Computer-Algebra-Systems (CAS) gewählt?
Excel bietet eine einfacher zu bedienende Oberfläche, ermöglicht ein modulares, experimentelles Vorgehen und stellt Berechnungen tabellarisch übersichtlich dar, ohne den Nutzer durch die Komplexität spezialisierter CAS zu überfordern.
Wie geht die Software mit den Grenzen des Newton-Verfahrens um?
Die Software enthält Module, in denen durch gezielte Startwertwahl demonstriert wird, wie das Verfahren bei lokalen Extrema versagt oder bei ungünstiger Wahl zu Oszillationen führt, was den Schülern ein Verständnis für die Bedingungen des Verfahrens ermöglicht.
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- Dirk Patzelt (Author), 2002, Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/176659
