Die Arbeit beschäftigt sich mit der Methode der Sattelpunkt-Approximation, die dazu verwendet wird die Dichte (und Tail-Wahrscheinlichkeit) einer Verteilung, die nicht in geschlossener Form gegeben ist, oder eine sehr komplizierte Darstellung hat, approximativ berechnen zu können. Diese Methode wird zuerst zur Berechnung von europäischen Put-Optionspreisen, unter Verwendung von Jump-Diffusion Prozessen, Normal-Invers-Gauß Prozessen und Varianz-Gamma Prozessen als Preisprozesse, verwendet. Anhand von Beispielen wird gezeigt, dass diese Methode brauchbare Approximationslösungen für die Optionspreise liefert. Anschließend wird eine zweite finanzmathematische Anwendung der Methode der Sattelpunkt-Approximation aufgezeigt, nämlich die Bewertung von Collateralized Debt Obligations, wo man sich anhand von vergleichenden Beispielen ebenfalls von der Güte der Sattelpunkt-Approximation überzeugen kann.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Sattelpunkt-Approximation
2.1 Approximation der Dichte
2.1.1 Inversionsmethode
2.1.2 Methode des steilsten Abstiegs
2.2 Approximation der Tail-Wahrscheinlichkeit
2.2.1 Numerische Methode
2.2.2 Inversionsmethode
2.2.3 Formel von Lugannani und Rice
2.2.4 Verallgemeinerung der Formel von Lugannani und Rice
3 Bewertung von europäischen Put-Optionen
3.1 Jump-Diffusion Modell
3.2 Merton-Jump-Diffusion Modell
3.2.1 Modell
3.2.2 Berechnungen und Vergleiche
3.3 Kou Modell
3.3.1 Modell
3.3.2 Berechnungen und Vergleiche
3.4 Verallgemeinerte Hyperbolische Verteilung
3.5 Varianz-Gamma Modell
3.5.1 Modell
3.5.2 Berechnungen und Vergleiche
3.6 Normal-Invers-Gauß Modell
3.6.1 Modell
3.6.2 Berechnungen und Vergleiche
4 Bewertung von Collateralized Debt Obligations
4.1 Konzept und Struktur von CDOs
4.2 Mathematisches Modell
4.2.1 Kreditausfalls- und Portfolioverlustverteilung
4.2.2 Modellierung von CDOs
4.3 Copulas
4.3.1 Ein-Faktor-Gauß-Copula für Kreditausfall
4.3.2 Clayton-Copula für Kreditausfall
4.4 Erweiterung der Sattelpunkt-Approximation
4.5 Berechnungen und Vergleiche
4.5.1 Problem A
4.5.2 Problem B
4.5.3 Problem C
A Programme zu Put-Optionspreise und CDOs
Zielsetzung & Themen
Das Ziel der Arbeit ist es, die Effizienz und Nützlichkeit der Sattelpunkt-Approximation als mathematisches Werkzeug in der modernen Finanzmathematik zu belegen, indem sie für die Berechnung von Optionspreisen und die Bewertung komplexer Finanzinstrumente eingesetzt wird.
- Grundlagen der Sattelpunkt-Approximation zur Berechnung von Dichtefunktionen.
- Bewertung von europäischen Put-Optionen mit verschiedenen Preismodellen.
- Einsatz der Sattelpunkt-Methode bei Collateralized Debt Obligations (CDOs).
- Vergleich der Approximationsgenauigkeit mit numerischen Standardverfahren.
- Implementation der Modelle in Mathematica zur numerischen Validierung.
Auszug aus dem Buch
2.2.3 Formel von Lugannani und Rice
Um auf die Formel von Lugannani und Rice zu kommen, integriert man uber die Sattelpunkt-Approximation der Dichte, und teilt das entstehende Integral auf zwei Integrale auf. Die Vorgangsweise ist analog zu [26]
P(X¯n >x)= 1 / √2π ∫_{∞}^{τ} nK''(τ) en(K(t)−tK'(t))dt + (2.27)
1 / √2π ∫_{∞}^{x} nK''(t) en(K(t)−tK'(t)) {1/n [−5(K'''(t))² / 24(K''(t))³ + K(4)(t) / 8(K''(t))²]} dt + O(n−2) (2.28)
Das Integral in (2.28) wird vorerst nicht behandelt und mit E abgekurzt. Sei z definiert durch sgn(τ) √2n(τK'(τ) − K(τ)). In (2.27) fuhren wir einen Variablenwechsel mit Z² / 2 := n(K'(t)t − K(t)) durch, woraus ZdZ = ntK''(t)dt folgt. Fugt man im Integral dZ / dt = tnK''(t) / Z hinzu und zieht es wieder ab, erh¨alt man
1 / √2π ∫_{∞}^{τ} tnK''(t) en(K(t)−tK'(t)) {1/Z + 1 / t√nK''(t) − 1/Z} dt
= 1 / √2π ∫_{z}^{∞} e−Z²/2 dZ + 1 / √2π ∫_{∞}^{τ} tnK''(t) en(K(t)−tK'(t)) {1 / t√nK''(t) − 1/Z} dt (2.29)
Das erste Integral in (2.29) ergibt die Tail-Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung, also 1 − Φ(z). Beim zweiten Integral in (2.29) wird partielle Integration angewandt, wobei man dV = tK''(t)nen(K(t)−K'(t)t) dt mit V = −en(K(t)−tK'(t)) und U = 1 / t√nK''(t) − 1/Z setzt. Es folgt fur das Integral in (2.29)
{1 / τ√nK''(τ) − 1/z} 1 / √2π e−z²/2 + 1 / 2π ∫_{∞}^{τ} en(K(t)−tK'(t))dU (2.30)
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einführung erläutert die Zielsetzung der Arbeit, die darin besteht, die Sattelpunkt-Methode für finanzmathematische Anwendungen zu evaluieren.
2 Sattelpunkt-Approximation: In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Methode vorgestellt, einschließlich der Inversionsmethode und der Formel von Lugannani und Rice zur Approximation von Tail-Wahrscheinlichkeiten.
3 Bewertung von europäischen Put-Optionen: Dieses Kapitel wendet die Sattelpunkt-Methode auf verschiedene Preismodelle wie Jump-Diffusion und hyperbolische Modelle an, um Put-Optionspreise effizient zu berechnen.
4 Bewertung von Collateralized Debt Obligations: Hier wird die Sattelpunkt-Methode auf CDOs übertragen, um die Ausfallswahrscheinlichkeiten und spreads von tranchenbasierten Finanzinstrumenten zu modellieren.
A Programme zu Put-Optionspreise und CDOs: Der Anhang enthält die Mathematica-Implementierungen der im Hauptteil entwickelten mathematischen Modelle.
Schlüsselwörter
Sattelpunkt-Approximation, Finanzmathematik, Put-Optionen, Tail-Wahrscheinlichkeit, Lugannani und Rice, Jump-Diffusion, Collateralized Debt Obligations, CDO, Copulas, Normal-Invers-Gauß, Varianz-Gamma, mathematische Modellierung, numerische Integration, stochastische Prozesse, Modellvalidierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Masterarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die Anwendung der Sattelpunkt-Approximation in der modernen Finanzmathematik, um Dichtefunktionen und Tail-Wahrscheinlichkeiten in Modellen zu berechnen, für die keine geschlossene Lösung existiert.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die theoretische Herleitung von Sattelpunkt-Approximationen sowie deren praktische Anwendung bei der Bepreisung von Optionen und der Risikobewertung von CDO-Tranchen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, die Nützlichkeit und Schnelligkeit der Sattelpunkt-Methode im Vergleich zu rechenintensiven numerischen Integrationsverfahren bei der Lösung komplexer finanzmathematischer Preisprobleme aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Approximationstechniken aus der Statistik, insbesondere die Methode des steilsten Abstiegs und die Formel von Lugannani und Rice, verwendet und in Mathematica implementiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden verschiedene stochastische Preismodelle (wie Jump-Diffusion und hyperbolische Verteilungen) für Optionen sowie komplexe Kreditausfallmodelle für CDOs mit der Sattelpunkt-Methode analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Sattelpunkt-Approximation, Finanzmathematik, Put-Optionen, CDOs, Copulas, Tail-Wahrscheinlichkeit, numerische Modellierung.
Wie unterscheidet sich die "Einfache" von der "Erweiterten" Sattelpunkt-Methode bei CDOs?
Die einfache Methode nutzt die Sattelpunkt-Approximation direkt, während die erweiterte Methode zusätzlich Terme einer asymptotischen Entwicklung einbezieht, um eine höhere Genauigkeit zu erzielen.
Warum wird die Sattelpunkt-Methode gegenüber der exakten Methode bei CDOs bevorzugt?
Die exakte Methode zur Berechnung von CDO-Spreads hat bei einer hohen Anzahl von Referenzkrediten (M) einen enormen Rechenaufwand, während die Sattelpunkt-Methode deutlich effizienter und schneller zu Ergebnissen führt.
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- Florian Mair (Author), 2011, Zwei Anwendungen der Sattelpunktmethode in der Finanzmathematik, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/170039
