Einleitung
1. Was Kaninchen und antike Bauwerke gemeinsam haben
Was hat die Vermehrung von Kaninchen mit der Anordnung von Sonnenblumenkernen oder der antiken Architektur zu tun? Und welche Rolle spielt dabei ein italienischer Mathematiker namens Leonardo da Pisa? Lassen sich derartige Dinge etwa durch ma-thematische Formeln berechnen? Die vorliegende Seminararbeit wird Antworten auf diese und auch auf viele weitere Fragen geben.
Die Lucaszahlen stellen das erste Thema dieser Arbeit dar. Sie sind eine wichtige Zah-lenfolge in der Zahlentheorie und finden beispielsweise in der Datenverschlüsselung Verwendung. Sie stehen in direktem Zusammenhang mit den Fibonaccizahlen.
Die Fibonaccifolge birgt die Antwort auf die oben genannten Fragen. Obwohl sie zu den allgemein bekanntesten Zahlenfolgen zählt, wissen die meisten Menschen nichts oder nicht viel über sie sowie über ihre Bedeutung für unser gesamtes Leben und unsere Umwelt. Sie erscheint auf den ersten Blick sehr simpel und unbedeutsam, und doch sind die Menschen schon seit Jahrhunderten von ihr fasziniert. Der größte Teil dieser Seminararbeit wird sich damit befassen, dem Leser diese wichtige Zahlenfolge näher zu bringen.
Eine weitere Zahlenfolge - die Ulamfolge - wird am Ende noch kurz beleuchtet. Vertieft darauf einzugehen würde jedoch den Umfang dieser Arbeit sprengen.
Alle drei Zahlenfolgen werden nacheinander behandelt und ihre Problematiken dem Leser nähergebracht. Dabei wird jeweils zunächst kurz auf ihre Entdecker bzw. ihre Namensgeber eingegangen. Danach werden die Folgen definiert, ihre mathematischen Besonderheiten betrachtet und - wo möglich - praktische Anwendungen aufgezeigt.
Inhaltsverzeichnis
1. Was Kaninchen und antike Bauwerke gemeinsam haben
2. Die Lucaszahlen
2.1. Édouard Lucas: Leben und Werk
2.2. Mathematische Definition der Lucaszahlen
2.3. Mathematische Besonderheiten
2.4. Praktische Anwendungen der Lucaszahlen
2.4.1. Der Lucas-Lehmer-Test
2.4.2. Lucaszahlen in der Datenverschlüsselung
3. Die Fibonaccizahlen
3.1. Leonardo da Pisa: Leben und Werk
3.2. Entdeckung der Fibonaccizahlen
3.2.1. Entdeckung der Zahlenfolge vor Fibonacci
3.2.2. Liber Abaci: Die Kaninchenaufgabe
3.3. Mathematische Definition der Fibonaccizahlen
3.3.1. Allgemeine Definition
3.3.2. Die Formel von Binet
3.4. Mathematische Besonderheiten
3.5. Die Fibonaccizahlen und der Goldene Schnitt
3.5.1. Mathematischer Zusammenhang
3.5.2. Fibonaccizahlen in der Natur
3.5.3. Fibonaccizahlen in der Kunst
3.5.4. Fibonaccizahlen in der Architektur
3.5.5. Fibonaccizahlen in der Musik
3.6. Praktische Anwendungen der Fibonaccizahlen
3.7. Zusammenhänge zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen
4. Die Ulamzahlen
4.1. Stanislaw Ulam: Leben und Werk
4.2. Mathematische Definition der Ulamzahlen
4.3. Mathematische Besonderheiten
5. Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Seminararbeit verfolgt das Ziel, dem Leser drei bedeutende mathematische Zahlenfolgen – die Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen – näherzubringen, ihre mathematische Definition darzulegen und sowohl ihre theoretischen Besonderheiten als auch ihre Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Lebensbereichen aufzuzeigen.
- Mathematische Grundlagen und Rekursionsformeln der betrachteten Zahlenfolgen
- Die historische Herkunft und die Entdecker der Zahlenfolgen
- Der Zusammenhang zwischen Fibonaccizahlen und dem Goldenen Schnitt
- Anwendungsbeispiele in Natur, Kunst, Architektur, Musik und Wirtschaft
Auszug aus dem Buch
3.5.2. Fibonaccizahlen in der Natur
Die Fibonaccizahlen sind sehr häufig in der Natur zu finden. So wird ein Mensch als besonders schön empfunden, wenn sein Körper viele Strecken aufweist, die gemäß dem Goldenen Schnitt zueinander stehen. Deshalb ist das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts speziell auch bei Models häufig anzutreffen. Auf nebenstehender Abbildung sind viele dieser Strecken - a für die kürzere, b für die längere - eingezeichnet. Oftmals wird auch bei Fotomontagen ein Mensch schöner dargestellt, indem er diesem Idealbild angepasst wird. Ebenso findet sich das Verhältnis bei Tieren, wie beispielsweise dem Pferd oder der Biene.33
Des Weiteren kann man die sogenannte Goldene Spirale, bzw. die Fibonaccispirale34, sowie Teilstücke davon bei unzähligen Pflanzen und auch bei Schnecken finden. Zählt man beispielsweise die rechts- und linksdrehenden Spiralen, die aus der Anordnung der Kerne einer Sonnenblume gebildet werden, so stößt man in der Regel auf Glieder der Fibonaccifolge. Hierbei bilden die Summen der links- und der rechtsdrehenden Spiralen meistens zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen. Dieses Beispiel lässt sich auch bei weiteren Blüten und anderen Pflanzenteilen anwenden.35
Zusammenfassung der Kapitel
1. Was Kaninchen und antike Bauwerke gemeinsam haben: Einführung in die Thematik der Seminararbeit und kurzer Überblick über die drei behandelten Zahlenfolgen.
2. Die Lucaszahlen: Vorstellung von Édouard Lucas, Definition der Lucasfolge sowie Erläuterung mathematischer Besonderheiten und praktischer Anwendungen wie dem Lucas-Lehmer-Test.
3. Die Fibonaccizahlen: Biographische Details zu Leonardo da Pisa, Herleitung der Folge aus der Kaninchenaufgabe, mathematische Definitionen sowie eine ausführliche Betrachtung des Goldenen Schnitts und weiterer Anwendungsgebiete.
4. Die Ulamzahlen: Porträt von Stanislaw Ulam, Erläuterung der (u, v)-Ulamfolgen sowie Analyse spezifischer mathematischer Eigenschaften dieser Zahlenreihe.
5. Zusammenfassung und Ausblick: Abschließende Reflexion über die Allgegenwärtigkeit der behandelten Zahlenfolgen und Anregung zur weiteren Beschäftigung mit dem Thema.
Schlüsselwörter
Fibonaccizahlen, Lucaszahlen, Ulamzahlen, Goldener Schnitt, Rekursion, Zahlentheorie, Leonardo da Pisa, Édouard Lucas, Stanislaw Ulam, Kaninchenaufgabe, Datenverschlüsselung, Chartanalyse, Mathematik in der Natur, Kunst, Architektur
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Seminararbeit befasst sich mit drei bedeutenden mathematischen Zahlenfolgen: den Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen, und beleuchtet deren theoretische Grundlagen sowie praktische Relevanz.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Definition, der historischen Einordnung, dem Zusammenhang zum Goldenen Schnitt sowie der Anwendung der Zahlenfolgen in Natur, Kultur und Technik.
Welches primäre Ziel verfolgt die Arbeit?
Das Ziel ist es, dem Leser die Faszination und Bedeutung dieser Zahlenfolgen zu vermitteln und aufzuzeigen, wie sie in verschiedenen Lebensbereichen in Erscheinung treten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt eine mathematisch-theoretische Herangehensweise, ergänzt durch eine Literaturanalyse, um Definitionen, Beweise und Anwendungsbeispiele strukturiert darzustellen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in drei große Kapitel, die jeweils eine der Zahlenfolgen (Lucas, Fibonacci, Ulam) behandeln, inklusive ihrer Entdecker, Definitionen, Besonderheiten und Anwendungsmöglichkeiten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Typische Begriffe sind Fibonacci, Lucas-Folge, Ulam-Folge, Goldener Schnitt, Rekursion, Zahlentheorie und diverse praktische Anwendungsgebiete wie Verschlüsselung oder Ästhetik.
Wie unterscheiden sich Fibonacci- und Lucaszahlen in der Definition?
Obwohl beide Folgen rekursiv nach dem Schema f_n = f_{n-1} + f_{n-2} aufgebaut sind, unterscheiden sie sich durch ihre unterschiedlichen Startwerte.
Was macht eine Ulamzahl aus?
Eine Ulamzahl ist ein Glied einer Folge, bei der jedes neue Element die Summe zweier verschiedener vorheriger Elemente ist, wobei diese Summe eindeutig sein muss.
- Quote paper
- Samuel Kienzle (Author), 2010, Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/169885
