Aktienkurse sind von großer Unsicherheit geprägt, da genaue Vorhersagen über Kurswerte nicht möglich sind. Dies liegt daran, dass die Aktienkurse sehr vielen Einflüssen unterliegen, wie z.B. der allgemeinen Marktsituation, der Firmenstrategie, politische Ereignisse usw. Aus diesem Grund werden Modelle gesucht, die Aktienkurse möglichst genau beschreiben, um diese Unsicherheit zu verkleinern oder gar zu beseitigen. Dabei wählt man gerne stochastische Modelle, um Aktienkurse zu modellieren, weil man annimmt, dass die Kurse zumindest zu einem gewissen Anteil zufällig verlaufen und somit auch nicht exakt vorherzusagen sind.
Den Anfang zum Thema stochastische Modellierung machte im Jahr 1900 Louis Bachelier mit seiner Disertation. Ein wichtiges Ergebnis für die moderne Finanzmathematik lieferten 1973 Black und Scholes mit ihrer Black-Scholes Formel zur Bewertung von Preisen europäischer Optionen. Das Modell basiert auf der Arbitrage-Theorie, in der keine risikolosen Gewinne existieren, da davon ausgegangen wird, dass diese sofort von den Marktteilnehmern erkannt und über eine Preisanpassung eliminiert werden. Das Black-Scholes Modell wurde wegen seiner Einfachheit sehr beliebt in der Praxis und wird auch heute noch verwendet. Die Volatilität spielt im Black-Scholes Modell eine wichtige Rolle, da sie als einzige Größe im Modell unbekannt ist. Diese muss geschätzt werden, womit wir im Bereich Statistik sind.
In der Finanzwelt spielt die Statistik eine große Rolle, wenn es darum geht bestimmte Parameter für ein Modell zu schätzen. Dabei muss man sich auf aktuelle bzw. vergangene Kurswerte beschränken. Auch die Volatilität muss auf diese Art und Weise bestimmt bzw. geschätzt werden. Somit könnte man die Statistik als eine Schnittstelle zwischen den theoretischen Modellen und der Realität betrachten.
Im Rahmen dieser Bachelorarbeit konzentrieren wir uns ausschließlich auf das Black-Scholes Modell. Nach einer kurzen Einführung bezüglich des Modells soll das Verhalten von Kurswerten zunächst theoretisch mit Hilfe von simulierten Zufallswerten betrachtet werden, bevor reale Finanzdaten analysiert werden. Dabei werden auch Tests bezüglich Parameter-Schätzwerten durchgeführt. Hier wird besonders auf die Varianz eingegangen. Schließlich sollen Abweichungen zwischen theoretischem Modell und Realität betrachtet werden, wobei vor allem die Verteilung der realen Werte analysiert wird.
Inhaltsverzeichnis
0. MOTIVATION
1. EINLEITUNG
1.1. MODELLIERUNG DES AKTIENKURSES MIT DEM LOG-LINEAREN ANSATZ
1.2. STOCHASTISCHE PROZESSE UND BROWNSCHE BEWEGUNG
1.3. DIE BLACK-SCHOLES-FORMEL
2. WICHTIGE VERTEILUNGEN
2.1. NORMALVERTEILUNG
2.2. X²-VERTEILUNG
2.3. F-VERTEILUNG
2.4. T-VERTEILUNG (STUDENT-VERTEILUNG)
2.5. DICHTE DER T4-VERTEILUNG MIT VARIANZ 1
3. F-TEST
3.1. DAS MODELL
4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE
4.1. DURCHFÜHRUNG DER SIMULATION
4.2. PROGRAMMIERUNG DES F-TESTS
4.3. ERGEBNIS UND INTERPRETATION
5. TEST MIT REALEN DATEN
5.1. PRÜFEN DER MODELL-VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE REALEN DATEN
5.2. TESTERGEBNISSE
6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL
Zielsetzung & Themen
Diese Bachelorarbeit untersucht die Eignung des Black-Scholes-Modells für Finanzdaten, indem sie theoretische Modellannahmen wie Normalverteilung und Unabhängigkeit der Renditen durch Simulationen und empirische Analysen mit realen Aktienmarktdaten kritisch hinterfragt.
- Stochastische Modellierung von Aktienkursen mittels geometrischer Brownscher Bewegung
- Statistische Verteilungsanalyse von Finanzrenditen
- Vergleichende Untersuchung zwischen Normalverteilung und T4-Verteilung
- Anwendung des F-Tests zur Varianzprüfung in simulierten und realen Datensätzen
- Kritische Diskussion von Modellannahmen im Kontext realer Marktdaten
Auszug aus dem Buch
1.1. Modellierung des Aktienkurses mit dem log-linearen Ansatz
Zunächst stellt sich die Frage: „Wie modelliert man einen Aktienkurs?“
Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese Frage zu beantworten. Es soll hier der sogenannte log-lineare Ansatz gewählt werden. Im Folgenden wird nur die Idee für diesen Ansatz beschrieben, dabei folgen wir den Darlegungen in [3.].
Wir betrachten uns zunächst ein risikoloses Wertpapier, genannt „Bond“ mit Preis zum Zeitpunkt t=0 K(0)=0. Wir wollen nun die Preisentwicklung des Bonds wie ein Sparguthaben modellieren. Ein solches Sparguthaben K folgt bei kontinuierlicher Verzinsung der Vorschrift
K(t)=K0 ert
zu einem Zeitpunkt t mit dem Startkapital K0 und einer festen Zinsrate r.
Nun stellen wir uns einen Aktienkurs ähnlich wie ein Bond vor, nur dass sich der Aktienpreis gemäß einer zufälligen Störung um den Bondpreis bewegt. Als Ausgleich für das Risiko, dass sich aus dieser Störung ergibt, wählt man eine höhere Zinsrate r'. Da der Logarithmus des Bondpreises linear ist, legt dies den sogenannten log-linearen Ansatz für den Aktienkurs S nahe:
ln(S(t))=ln(S0)+r't+ω(t)
wobei ω(t) die „zufällige Störung“ darstellen soll.
Zusammenfassung der Kapitel
0. MOTIVATION: Einführung in die Problematik der Aktienkursvorhersage und die zentrale Rolle der Statistik und Volatilitätsschätzung im Black-Scholes-Modell.
1. EINLEITUNG: Mathematische Fundierung der Modellierung von Aktienkursen durch den log-linearen Ansatz, stochastische Prozesse und die Herleitung der Black-Scholes-Formel.
2. WICHTIGE VERTEILUNGEN: Zusammenstellung der für die Analyse notwendigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie Normal-, X²-, F- und T-Verteilung.
3. F-TEST: Definition und theoretische Herleitung des F-Tests als statistisches Instrument zur Prüfung der Varianzgleichheit.
4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE: Durchführung einer Simulationsstudie unter Verwendung von Standardnormal- und T4-verteilten Zufallsvariablen zur Validierung der statistischen Schätzer.
5. TEST MIT REALEN DATEN: Empirische Anwendung der entwickelten Testmethoden auf historische Tagesrenditen von BMW und DAX zur Überprüfung der Modellvoraussetzungen.
6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL: Abschließende kritische Reflexion über die Diskrepanzen zwischen Modelltheorie und Marktrealität sowie Ausblick auf mögliche Modellerweiterungen.
Schlüsselwörter
Black-Scholes-Modell, Finanzdaten, Aktienkurse, Stochastik, Brownsche Bewegung, Normalverteilung, T4-Verteilung, Varianzschätzung, F-Test, Volatilität, Renditen, Zeitreihenanalyse, Modellvalidierung, Statistik, Finanzmathematik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit analysiert die mathematischen Grundlagen und die praktischen Grenzen des Black-Scholes-Modells bei der Modellierung von Finanzmarktdaten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die stochastische Finanzmathematik, die Verteilungsanalyse von Renditen und die Überprüfung statistischer Modellannahmen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, die Abweichungen zwischen theoretischen Modellannahmen (z.B. Normalverteilung, konstante Volatilität) und der Realität von Finanzdaten zu identifizieren und quantitativ zu bewerten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Modellierungen, numerische Simulationen sowie statistische Tests (insbesondere der F-Test) auf simulierte und historische Marktdaten angewendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die theoretische Herleitung der Verteilungen, die Programmierung von Simulationsmodellen zur Varianzprüfung und die empirische Testung anhand von DAX- und BMW-Daten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Black-Scholes-Modell, T4-Verteilung, Varianzschätzung, stochastische Prozesse und Volatilitätsanalyse charakterisieren.
Warum wird die T4-Verteilung anstelle der Normalverteilung untersucht?
Die T4-Verteilung wird untersucht, da sie „schwerere Tails“ aufweist und somit extreme Kursausschläge, wie sie in der Realität vorkommen, besser abbilden kann als die Normalverteilung.
Welches Ergebnis liefern die Tests bei realen Finanzdaten?
Die Tests zeigen, dass reale Daten die Modellvoraussetzung der Unabhängigkeit verletzen und durch die T4-Verteilung zwar besser als durch die Normalverteilung, aber dennoch nicht vollständig zufriedenstellend approximiert werden.
Welche Rolle spielt die Volatilität in der Arbeit?
Die Volatilität wird als entscheidender, unbekannter Parameter im Black-Scholes-Modell identifiziert, dessen Annahme einer Konstanz bei längeren Zeiträumen in der Realität problematisch ist.
- Quote paper
- Andreas Vetter (Author), 2008, Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/168854
