Aktienkurse sind von großer Unsicherheit geprägt, da genaue Vorhersagen über Kurswerte nicht möglich sind. Dies liegt daran, dass die Aktienkurse sehr vielen Einflüssen unterliegen, wie z.B. der allgemeinen Marktsituation, der Firmenstrategie, politische Ereignisse usw. Aus diesem Grund werden Modelle gesucht, die Aktienkurse möglichst genau beschreiben, um diese Unsicherheit zu verkleinern oder gar zu beseitigen. Dabei wählt man gerne stochastische Modelle, um Aktienkurse zu modellieren, weil man annimmt, dass die Kurse zumindest zu einem gewissen Anteil zufällig verlaufen und somit auch nicht exakt vorherzusagen sind.
Den Anfang zum Thema stochastische Modellierung machte im Jahr 1900 Louis Bachelier mit seiner Disertation. Ein wichtiges Ergebnis für die moderne Finanzmathematik lieferten 1973 Black und Scholes mit ihrer Black-Scholes Formel zur Bewertung von Preisen europäischer Optionen. Das Modell basiert auf der Arbitrage-Theorie, in der keine risikolosen Gewinne existieren, da davon ausgegangen wird, dass diese sofort von den Marktteilnehmern erkannt und über eine Preisanpassung eliminiert werden. Das Black-Scholes Modell wurde wegen seiner Einfachheit sehr beliebt in der Praxis und wird auch heute noch verwendet. Die Volatilität spielt im Black-Scholes Modell eine wichtige Rolle, da sie als einzige Größe im Modell unbekannt ist. Diese muss geschätzt werden, womit wir im Bereich Statistik sind.
In der Finanzwelt spielt die Statistik eine große Rolle, wenn es darum geht bestimmte Parameter für ein Modell zu schätzen. Dabei muss man sich auf aktuelle bzw. vergangene Kurswerte beschränken. Auch die Volatilität muss auf diese Art und Weise bestimmt bzw. geschätzt werden. Somit könnte man die Statistik als eine Schnittstelle zwischen den theoretischen Modellen und der Realität betrachten.
Im Rahmen dieser Bachelorarbeit konzentrieren wir uns ausschließlich auf das Black-Scholes Modell. Nach einer kurzen Einführung bezüglich des Modells soll das Verhalten von Kurswerten zunächst theoretisch mit Hilfe von simulierten Zufallswerten betrachtet werden, bevor reale Finanzdaten analysiert werden. Dabei werden auch Tests bezüglich Parameter-Schätzwerten durchgeführt. Hier wird besonders auf die Varianz eingegangen. Schließlich sollen Abweichungen zwischen theoretischem Modell und Realität betrachtet werden, wobei vor allem die Verteilung der realen Werte analysiert wird.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 0. MOTIVATION
- 1. EINLEITUNG
- 1.1. MODELLIERUNG DES AKTIENKURSES MIT DEM LOG-LINEAREN ANSATZ
- 1.2. STOCHASTISCHE PROZESSE UND BROWNSCHE BEWEGUNG
- 1.3. DIE BLACK-SCHOLES-FORMEL
- 2. WICHTIGE VERTEILUNGEN
- 2.1. NORMALVERTEILUNG
- 2.2. ɖ²-VERTEILUNG
- 2.3. F-VERTEILUNG
- 2.4. T-VERTEILUNG (STUDENT-VERTEILUNG)
- 2.5. DICHTE DER T4-VERTEILUNG MIT VARIANZ 1
- 3. F-TEST
- 3.1. DAS MODELL
- 4. SIMULATION UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE
- 4.1. DURCHFÜHRUNG DER SIMULATION
- 4.2. PROGRAMMIERUNG DES F-TESTS
- 4.3. ERGEBNIS UND INTERPRETATION
- 5. TEST MIT REALEN DATEN
- 5.1. PRÜFEN DER MODELL-VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE REALEN DATEN
- 5.2. TESTERGEBNISSE
- 6. BEZUG ZUM BLACK-SCHOLES-MODELL
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Untersuchung von Varianz und Verteilung von Finanzdaten im Kontext des Black-Scholes Modells. Ziel ist es, die Gültigkeit der Modellannahmen anhand von simulierten und realen Daten zu analysieren und Unterschiede zwischen theoretischem Modell und Realität zu beleuchten.
- Modellierung von Aktienkursen mit dem log-linearen Ansatz
- Stochastische Prozesse und Brownsche Bewegung im Zusammenhang mit Finanzdaten
- Die Black-Scholes-Formel zur Bewertung von Optionen und ihre Voraussetzungen
- Analyse und Vergleich von Verteilungen (Normalverteilung, t-Verteilung) von Finanzdaten
- Anwendung des F-Tests zur Überprüfung der Varianzgleichheit von Stichproben
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
- Kapitel 0: Motivation: Die Arbeit erläutert die Bedeutung der Aktienkursmodellierung und die Rolle des Black-Scholes Modells, wobei insbesondere die Unsicherheiten und die Wichtigkeit der Volatilitätsschaetzung hervorgehoben werden.
- Kapitel 1: Einleitung: Das Kapitel stellt den log-linearen Ansatz zur Aktienkursmodellierung vor, führt in stochastische Prozesse und die Brownsche Bewegung ein und erläutert das Black-Scholes Modell zur Bewertung von Optionen.
- Kapitel 2: Wichtige Verteilungen: Dieses Kapitel beschreibt wichtige Verteilungen, die für die Analyse und den F-Test relevant sind, darunter die Normalverteilung, ɖ²-Verteilung, F-Verteilung und die t-Verteilung.
- Kapitel 3: F-Test: Der F-Test wird als Werkzeug zur Überprüfung der Gleichheit von Varianzen zwischen zwei Stichproben eingeführt und das zugrundeliegende Modell erläutert.
- Kapitel 4: Simulation und Interpretation der Ergebnisse: Die Simulation von normalverteilten und t4-verteilten Zufallsdaten wird vorgestellt, um das Verhalten von Varianzschätzwerten zu untersuchen. Der F-Test wird auf die simulierten Daten angewendet und die Ergebnisse analysiert.
- Kapitel 5: Test mit realen Daten: Die Arbeit analysiert reale Daten von BMW- und DAX-Tagesrenditen, wobei die Modell-Voraussetzungen geprüft und die Daten auf Erwartungswert und Varianz normiert werden. Die Verteilung der realen Daten wird mit der t4-Verteilung verglichen und der F-Test angewendet.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die Arbeit konzentriert sich auf die Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen von Finanzdaten im Kontext des Black-Scholes Modells. Die wichtigsten Themen sind die Modellierung von Aktienkursen mit dem log-linearen Ansatz, stochastische Prozesse und die Brownsche Bewegung, die Anwendung des F-Tests zur Überprüfung der Varianzgleichheit, sowie die Analyse und Approximation der Verteilung von Finanzdaten mit der Normalverteilung und der t4-Verteilung.
- Quote paper
- Andreas Vetter (Author), 2008, Varianz- und Verteilungs-Betrachtungen für Finanzdaten mit Bezug zum Black-Scholes Modell, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/168854
