„In 29 Tagen werde ich endlich 18!“, freut sich Fritz. „Was für ein Tag ist das eigentlich?“, will er wissen, hat aber keinen Kalender zur Hand. Herrn Peters interessiert dagegen mehr, ob sich die übrigen
460 Euro überhaupt gerecht auf die 15 Teilnehmer der Klassenfahrt verteilen lassen, will aber deswegen nicht extra einen Taschenrechner suchen. Also wird mühsam nachgezählt und nachgerechnet und – wie sollte es anders sein – sich verzählt und verrechnet. Wer kennt sie nicht, diese kleinen, nervtötenden,
mathematischen Quälereien des Alltags? Es geht allerdings auch einfacher. Restrechnung heißt das Wundermittel in diesem Fall. „Das ist doch Grundschulmathematik!“, werden Sie sich jetzt vermutlich und nicht ganz zu Unrecht denken. Die Theorie der Restklassen und ihre Anwendungen reichen jedoch viel weiter. Viele berühmte Mathematiker, darunter EUKLID, FERMAT, EULER und GAUSS, beschäftigten sich bereits intensiv mit der Lehre der ganzen Zahlen und deren Teilbarkeitseigenschaften – und das natürlich auch im Erwachsenenalter. Folgend soll Ihnen nicht nur anhand einiger Spielereien und Teilbarkeitsregeln gezeigt werden, was das Rechnen mit Resten in der Alltagsmathematik für Fritz und Herrn Peters bringen kann, sondern auch, wie nützlich eine genauere, mathematische Betrachtung von Restklassen in höherer Mathematik ist: Die Restrechnung soll Ihnen hier ein Zugang zur Theorie algebraischer Strukturen und der Zahlentheorie, insbesondere Primzahlproblemen, sein.
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Element zu x ∈ R \ {0} ist 1 (denn x · 1 = 1 · x = 1). Davon abgeleitet nennt man das neutrale Element x x x
1 Allgemein beschäftigt sich die Algebra mit der Untersuchung solcher Strukturen.
2 D.h., dass die Verknüpfungen zweier beliebiger Elemente aus G wieder in G liegen.
3 Es reicht sogar, hier und in (2.1.3) nur die linken Seiten der Gleichungen zu fordern, da aus ihnen schon die rechten
folgen [BA] 2 . Das soll hier jedoch nicht bewiesen werden.
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1. Das neutrale Element e ist eindeutig bestimmt, denn für zwei neutrale Elemente e und ´ e gilt nach
e = ´ e ◦ e = e. Ebenso ist das inverse Element zu einem bestimmten a ∈ G eindeutig, (2.1.2) ´
a −1 zu a gilt: a −1 (2.1.2) = e ◦ a −1 (2.1.3) a −1 ◦ a) ◦ a −1 (2.1.1) denn für zwei inverse Elemente a −1 und ´ = ( ´ = (2.1.3) (2.1.2) a −1 ◦ (a ◦ a −1 ) ´ = ´ = ´ a −1 ◦ e a −1 .
2. Das inverse Element des inversen Elements zu a ist a selbst, also (a −1 ) −1 = a, denn sowohl (a −1 ) −1 als auch a sind zu a −1 invers ((a −1 ) −1 ◦ a −1 = e und a ◦ a −1 = e), sie müssen also nach
Eigenschaft 1 identisch sein.
0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x, weshalb 0 · x additiv neutral bzw. gleich 0 sein muss.
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4 Wie in 2.1 könnte man an dieser Stelle eine Reihe von Folgerungen aus den Ring-/Körperaxiomen machen, und würden
zu dem Ergebnis gelangen dass man in allen Ringen bzw. Körpern im Großen und Ganzen so rechnen kann, wie man
es aus den ganzen bzw. den rationalen Zahlen gewohnt ist (siehe z.B. [FG] 3 ). Das wäre jedoch für die Zwecke dieser
Arbeit ein zu weit abschweifendes und umfangreiches Unterfangen.
5 Genaueres in der 2. Anmerkung zum Java-Quelltext im Anhang (Beweis mit Hilfe der Kongruenzschreibweise!)
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• reflexiv, d.h. a ≡ a mod m stets, da m | (a − a).
• symmetrisch, d.h., aus a ≡ b mod m folgt b ≡ a mod m, da m mit a − b auch b − a = −(a − b) teilt.
• transitiv, d.h., aus a ≡ b mod m und b ≡ c mod m folgt schon a ≡ c mod m, da m mit a − b und b − c auch deren Summe (a − b) + (b − c) = a − c teilt bzw. da, wenn a und b und ebenso b und c den selben Rest bei Division durch m lassen, a und c auch den selben Rest lassen.
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lat. congruens: übereinstimmend, modus: Maß [LA].
Kongruent modulo 7
meint wörtlich also
gleich, gemessen an 7.
7 Das bedeutet das gleiche [BP] 5 , ist aber oft schöner nachzuweisen.
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Additionstabelle modulo 4 Multiplikationstabelle modulo 4
a ⊕ ´ b = ´ a + ´ b. Wegen a ≡ ´ a und b ≡ ´ b mod m ist nach der Rechenregel aber auch a + b ≡ ´ a + ´ b ´
mod m und damit a + b = ´ a + ´ b. Beispielsweise ist 7 ≡ 2 mod 5 und 8 ≡ 3 mod 5, also 7 = 2
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• assoziativ, da a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b + c) = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b ⊕ c = (a ⊕ b) ⊕ c.
