„In 29 Tagen werde ich endlich 18!“, freut sich Fritz. „Was für ein Tag ist das eigentlich?“, will er wissen, hat aber keinen Kalender zur Hand. Herrn Peters interessiert dagegen mehr, ob sich die übrigen
460 Euro überhaupt gerecht auf die 15 Teilnehmer der Klassenfahrt verteilen lassen, will aber deswegen nicht extra einen Taschenrechner suchen. Also wird mühsam nachgezählt und nachgerechnet und – wie sollte es anders sein – sich verzählt und verrechnet. Wer kennt sie nicht, diese kleinen, nervtötenden,
mathematischen Quälereien des Alltags? Es geht allerdings auch einfacher. Restrechnung heißt das Wundermittel in diesem Fall. „Das ist doch Grundschulmathematik!“, werden Sie sich jetzt vermutlich und nicht ganz zu Unrecht denken. Die Theorie der Restklassen und ihre Anwendungen reichen jedoch viel weiter. Viele berühmte Mathematiker, darunter EUKLID, FERMAT, EULER und GAUSS, beschäftigten sich bereits intensiv mit der Lehre der ganzen Zahlen und deren Teilbarkeitseigenschaften – und das natürlich auch im Erwachsenenalter. Folgend soll Ihnen nicht nur anhand einiger Spielereien und Teilbarkeitsregeln gezeigt werden, was das Rechnen mit Resten in der Alltagsmathematik für Fritz und Herrn Peters bringen kann, sondern auch, wie nützlich eine genauere, mathematische Betrachtung von Restklassen in höherer Mathematik ist: Die Restrechnung soll Ihnen hier ein Zugang zur Theorie algebraischer Strukturen und der Zahlentheorie, insbesondere Primzahlproblemen, sein.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 1 Das Rechnen mit Resten - nicht nur für Kinder
- 2 Exkurs: Algebraische Strukturen
- 2.1 Gruppen
- 2.2 Ringe und Körper
- 3 Kongruenz- und Restklassenrechnung
- 3.1 Der Begriff der Kongruenz
- 3.2 Der Begriff der Restklasse
- 3.3 Addition und Multiplikation modulo m
- 3.4 Restklassenringe
- 3.5 Rechenbeispiele
- 3.5.1 Ein kleines Geburtstags-Experiment
- 3.5.2 Die letzten Dezimalstellen großer Zahlen
- 3.5.3 Die Fermat-Zahl F5 . . .
- 4 Zwei ausgewählte Anwendungen
- 4.1 Teilbarkeitsregeln bis 15
- 4.2 Der Fermatsche Primzahltest
- 5 Ausblick: Restklassen in der Kryptographie
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Diese Facharbeit befasst sich mit dem Rechnen mit Resten und beleuchtet die Theorie der Restklassen- und Kongruenzrechnung sowohl aus alltagsnaher Sicht als auch unter mathematisch-theoretischer Perspektive. Ziel ist es, die Bedeutung des Rechnens mit Resten in der Mathematik aufzuzeigen und seine Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Bereichen zu demonstrieren.
- Einführung in das Rechnen mit Resten und dessen Bedeutung in der Alltagsmathematik
- Erörterung von algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper
- Detaillierte Analyse der Kongruenz- und Restklassenrechnung
- Darstellung von Anwendungen des Rechnens mit Resten, u.a. in der Teilbarkeitstheorie und im Fermatschen Primzahltest
- Einblick in die Bedeutung der Restklassen in der Kryptographie
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
- Kapitel 1: Dieses Kapitel führt in das Thema des Rechnens mit Resten ein und zeigt seine alltagsnahe Relevanz anhand von Beispielen. Es stellt den Bezug zu bekannten mathematischen Persönlichkeiten wie Euklid, Fermat, Euler und Gauß her.
- Kapitel 2: In diesem Exkurs werden grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper definiert und erläutert. Die Bedeutung dieser Strukturen für die spätere Einordnung der Restklassenrechnung wird hervorgehoben.
- Kapitel 3: Dieses Kapitel widmet sich der Theorie der Kongruenz- und Restklassenrechnung. Es werden die Begriffe Kongruenz und Restklasse definiert, die Addition und Multiplikation modulo m erläutert und das Konzept der Restklassenringe eingeführt. Die Kapitel enthält zahlreiche Beispiele und veranschaulicht die Anwendung der Restklassenrechnung in praktischen Situationen.
- Kapitel 4: In diesem Kapitel werden zwei konkrete Anwendungen des Rechnens mit Resten präsentiert: Die Teilbarkeitsregeln bis 15 und der Fermatsche Primzahltest. Es werden die jeweiligen Verfahren ausführlich erklärt und anhand von Beispielen verdeutlicht.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die zentralen Themen dieser Facharbeit sind das Rechnen mit Resten, die Restklassenrechnung, Kongruenz, algebraische Strukturen, Gruppen, Ringe, Körper, Teilbarkeit, Primzahltest, Kryptographie. Diese Konzepte bilden die Grundlage für die tiefergehende Analyse und Anwendung der Restklassenrechnung in der Mathematik.
- Arbeit zitieren
- David Krieg (Autor:in), 2010, Das Rechnen mit Resten, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/167805
