Für die von Heinz Hopf 1931 eingeführte, und nach ihm benannte Invariante existieren in der Literatur mehrerer Definitionen und Verallgemeinerungen.
So haben G.W. Whitehead, Steenrod und Serre verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Hopf-Invariante veröffentlicht.
In dieser Arbeit werden diese Definitionen der Hopf-Invariante betrachtet, und es wird gezeigt, dass diese Definitionen im Wesentlichen übereinstimmen.
Die ersten Kapitel beinhalten dazu eine Übersicht über die verwendeten topologischen Methoden und eine kurze Einführung in Spektralfolgen. In den weiteren Kapiteln werden die Definitionen der Hopf-Invariante erläutert und die Beziehung zwischen diesen Definitionen hergestellt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen
2.1 Konventionen
2.2 Faserungen
2.3 Bemerkungen zu Homologie und Kohomologie
2.4 Beziehung zwischen Homologie und Homotopie
2.5 Einhängung und Schleifenräume
2.6 Der Abbildungszylinder
2.7 Spektralfolgen
3 Drei Definitionen der Hopf-Invariante
3.1 Ursprüngliche Definition nach Hopf
3.2 Definition der Hopf-Invariante nach Steenrod
3.3 Verallgemeinerte Hopf-Invariante nach Whitehead
4 Vergleich der Definitionen der Hopf-Invariante
4.1 Vergleich der Definition nach Hopf mit der verallgemeinerten Hopf-Invariante nach Whitehead
4.2 Vergleich der verallgemeinerten Hopfinvariante nach Whitehead mit der Definition nach Steenrod und der Definition nach Serre
4.3 Bemerkung zu Satz 4.1.6
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Definitionen der Hopf-Invariante im Bereich der algebraischen Topologie. Ziel ist es, die unterschiedlichen Beschreibungen von Hopf, Steenrod und Whitehead zu vergleichen, die Notationen zu vereinheitlichen und die formale Äquivalenz der Ansätze unter Berücksichtigung von Vorzeichen und Hurewicz-Homomorphismen nachzuweisen.
- Grundlagen der topologischen Methoden und Spektralfolgen
- Historische und formale Definitionen der Hopf-Invariante
- Herleitung der verallgemeinerten Hopf-Invariante nach Whitehead
- Vergleichende Analyse der mathematischen Identität verschiedener Definitionsansätze
Auszug aus dem Buch
3.1 Ursprüngliche Definition nach Hopf
Wir beginnen mit der ursprünglichen Definition der Hopf-Invariante. Diese wurde von Hopf zunächst in [Hop] für Abbildungen S3 → S2 eingeführt und später in [Hop35] auf Abbildungen S2n−1 → Sn erweitert.
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über diese Konstruktion, und lassen dabei einige Details aus, da wir für unsere Betrachtungen nur die Eigenschaften der Hopf-Invariante benötigen und diese Details daher hier nicht von Bedeutung sind. Genauer werden wir später sogar sehen, dass die Hopf-Invariante nur durch ihre Eigenschaften bestimmt ist. Die Überlegungen, die wir hier auslassen, können in [Hop], [Hop35] und [Hil66] nachgelesen werden.
Zunächst machen wir ein paar Bemerkungen zum Grad einer Abbildung Sn → Sn und zur Verschlingungszahl zweier disjunkter Zykel.
Ist f : Sn → Sn eine Abbildung, so entspricht die induzierte Abbildung f∗ : Hn(Sn) → Hn(Sn) der Multiplikation mit einer ganzen Zahl m. Da für homotope Abbildungen f,g : Sn → Sn die induzierten Abbildungen f∗ und g∗ übereinstimmen, ist die Zahl m eine Invariante der Homotopieklasse von f. Wir nennen m auch den Grad von f.
Sind M,N disjunkte Zykel in S2n+1 bezüglich einer gegebenen Triangulierung, so kann die Verschlingungszahl von M und N (in dieser Reihenfolge!) definiert werden (vgl. [ST80, §77]). Diese ganze Zahl gibt an, wie oft die Zykel M,N miteinander verschlungen sind. Wir bezeichnen diese Zahl auch mit l(M,N).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in das Thema der Hopf-Invariante ein und skizziert den methodischen Aufbau der Arbeit sowie die mathematische Motivation für den Vergleich der unterschiedlichen Definitionsansätze.
2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen: Hier werden die für die gesamte Arbeit notwendigen topologischen Voraussetzungen, wie Faserungen, Homologie/Kohomologie und die Theorie der Spektralfolgen, systematisch dargelegt.
3 Drei Definitionen der Hopf-Invariante: Dieses Kapitel präsentiert die drei zentralen mathematischen Zugänge zur Hopf-Invariante nach Hopf, Steenrod und Whitehead.
4 Vergleich der Definitionen der Hopf-Invariante: Der Hauptteil der Arbeit analysiert die mathematischen Beziehungen zwischen den vorgestellten Definitionen und beweist deren Äquivalenz bzw. Übereinstimmung unter bestimmten Bedingungen.
Schlüsselwörter
Hopf-Invariante, Algebraische Topologie, Sphären, Homotopiegruppen, Kohomologie, Spektralfolgen, Whitehead-Produkt, Hurewicz-Homomorphismus, Abbildungszylinder, Verschlingungszahl, Faserungen, Cup-Produkt, topologische Räume.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der mathematischen Definition und den Eigenschaften der Hopf-Invariante in der algebraischen Topologie.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit behandelt topologische Grundlagen, insbesondere Homotopie- und Kohomologietheorie, sowie die verschiedenen historischen und modernen Ansätze zur Definition der Hopf-Invariante.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Hauptziel ist der formale Vergleich der Definitionen von Hopf, Steenrod und Whitehead, um zu zeigen, wie diese verschiedenen mathematischen Konstruktionen in Beziehung zueinander stehen.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär verwendet?
Es werden Methoden aus der algebraischen Topologie genutzt, insbesondere Spektralfolgen, exakte Sequenzen und die Untersuchung von Abbildungszylindern.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine fundierte theoretische Vorbereitung und eine detaillierte vergleichende Analyse der verschiedenen Definitionen der Hopf-Invariante.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Hopf-Invariante, Sphären, Homotopie, Spektralfolgen und der Hurewicz-Homomorphismus.
Welche Rolle spielt die Whitehead-Verallgemeinerung?
Die Arbeit zeigt, dass die Whitehead-Verallgemeinerung der Hopf-Invariante als Homomorphismus auf Homotopiegruppen eine Brücke zu den ursprünglichen geometrischen Definitionen von Hopf schlägt.
Wie korrespondiert die Definition nach Steenrod mit anderen Ansätzen?
Es wird aufgezeigt, dass die Definition nach Steenrod mittels Kohomologie äquivalent zu den anderen Ansätzen ist, wobei der Hurewicz-Isomorphismus eine zentrale Rolle für den Nachweis dieser Korrespondenz spielt.
- Quote paper
- Dipl.-Math. Johann-Georg Vogelhuber (Author), 2006, Über die Hopf-Invariante, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/165881
