Eine Option verbrieft das Recht, ein bestimmtes Underlying zu einem im Voraus festgelegen Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Zeitpunkt, indem eine Option ausgeübt werden kann, richtet sich nach dem jeweiligen Optionstyp. Während amerikanische Optionen innerhalb ihrer Laufzeit zu jeder Zeit ausgeübt werden können, kann man europäische Optionen lediglich am Stichtag ausführen. Des Weiteren existieren noch zahlreiche weitere Optionsarten, wie beispielsweise asiatische Optionen, deren Auszahlung von dem durchschnittlichen Wert ihres Underlyings, innerhalb eines festgelegten Zeitabschnitts, abhängt.
Die Auswahl der möglichen Underlyings, beschränkt sich nicht ausschließlich auf Aktien. Vielmehr kann eine Vielzahl von Basiswerten wie Indizes, Währungen, oder weitere Derivate, wie zum Beispiel Futures, Optionen zugrundeliegen.1 Aufgrund der Vielfalt der Optionsarten und den möglichen Basiswerten eigenen sich Optionen für vielfältige Verwendungszwecke. Neben der reinen Kursspekulation, bei der sich Optionen aufgrund ihres Hebels besonders eigenen, bieten Optionen noch zahlreiche weitere Anwendungsmöglichkeiten. So können sie beispielsweise im Rahmen des Risikomanagements eines international agierenden Unternehmens zur Absicherung des Wechselkursexposures verwendet werden.
Seit dem ersten Optionshandel im 17. Jahrhundert, stellt sich die Frage nach der korrekten Bewertung einer Option. Das erste analytische Bewertungsmodell, wurde jedoch erst im Jahr 1900 von Bachlier entwickelt.2 Dieser versuchte Optionen, mit Hilfe der Modellierung eines stochastischen Prozesses zur Abbildung der Wertentwicklung des Underlyings, zu bewerten. Weiterentwicklungen folgten 1964 von Boness und Sprenkle sowie 1965 von Samuelson. Auf dieser konzeptionellen Grundlage entstand schließlich 1973 das bahnbrechende Black-Scholes Modell. Während in den Jahren danach einige Erweiterungen des Black-Scholes Modells entwickelt wurden, entstanden parallel mit dem Binomialmodell, der Methode der finiten Differenzen sowie dem Monte Carlo Ansatz numerische Bewertungsverfahren.3
Die vorliegende Arbeit untersucht das numerische Binomialmodell sowie das analytische [...]
1 Vgl. Wilmott (1998), S. 215-216.
2 Vgl. im Folgenden Hagl (2007), S. 70-71; Bachlier (1900); Boness (1964); Sprenkle (1964); Samuelson
(1965); Black/Scholes (1973); Merton (1973)
3 Vgl. Smithson (1992), S. 24; Rendleman/Bartter (1979); Cox/Ross/Rubinstein (1979); Boyle (1977); Schwartz (1977).
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Binomialmodell
2.1 Grundlagen
2.2 Einperiodische Binomialbäume
2.3 Mehrperiodische Binomialbäume
2.4 Amerikanische Optionen
2.4.1 Grundlagen
2.4.2 Call-Optionen
2.4.3 Put-Optionen
2.5 Dividenden
3. Black-Scholes Modell
3.1 Übersicht
3.2 Statistische Grundlagen
3.2.1 Markov-Prozess
3.2.2 Brownsche Bewegung und Wiener-Prozesse
3.2.3 Aktienkurse und geometrische Brownsche Bewegung
3.2.4 Itô-Prozesse und Itôs Lemma
3.3 Die Black-Scholes Formel
3.3.1 Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung
3.3.2 Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung
3.4 Grenzen und Erweiterungen des Modells
3.4.1 Vorzeitige Ausübung
3.4.2 Dividendenzahlungen
3.4.2.1 Europäische Optionen
3.4.2.2 Amerikanische Optionen
3.4.3 Besteuerung von Dividenden
3.4.4 Jump-Diffusion
3.4.5 Weitere ausgewählte Modifikationen
4. Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit widmet sich der systematischen Untersuchung numerischer und analytischer Verfahren zur Bewertung von Finanzoptionen. Das primäre Ziel ist die fundierte Analyse des Binomialmodells sowie des Black-Scholes-Modells, wobei insbesondere deren Herleitung, mathematischer Aufbau, theoretische Grenzen und notwendige Modifikationen zur Anpassung an die Marktrealität (wie Dividenden oder vorzeitige Ausübung) im Mittelpunkt stehen.
- Grundlagen stochastischer Prozesse für die Kursmodellierung
- Methodik des Binomialmodells zur zeitdiskreten Optionsbewertung
- Analytische Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung
- Modellierung von Dividenden und deren Einfluss auf den Optionswert
- Erweiterungen zur Berücksichtigung von Kurssprüngen (Jump-Diffusion)
Auszug aus dem Buch
3.3.1 Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung
Die Black-Scholes-Differentialgleichung zur Bewertung von Optionen lässt sich mit Hilfe eines Hedge-Portfolios unter folgenden Annahmen herleiten: Aktienkurse folgen einem Random Walk in stetiger Zeit mit einer zum quadrierten Aktienpreis proportionalen Varianz, mögliche Aktienkurse am Ende jedes begrenzten Zeitintervalls sind lognormalverteilt, die Varianz der Aktienrenditen ist konstant, es gibt keine Transaktionskosten, Optionen können nur zum Stichtag ausgeübt werden, der risikolose Zinssatz ist bekannt und über die Zeit konstant, jederzeit mögliche Kreditaufnahme oder –vergabe zum risikolosen Zinssatz, Leerverkäufe sind möglich, es gibt keine Dividenden oder sonstige Ausschüttungen während der Optionslaufzeit, Assets sind beliebig teilbar.
Unter diesen Annahmen hängt der Wert einer Option ausschließlich von der Zeit, dem Aktienkurs des Underlyings und von weiteren Variablen, die konstant und bekannt sind, ab. Das Hedge-Portfolio besteht aus der Short Position einer Call-Option und einer der Option zugrundeliegenden Aktie. Gegeben sei C = C(S,t) als Funktion des Werts einer Call-Option. Die Anzahl der Call-Optionen, die man benötigt um ein Portfolio bestehend aus einer Aktie zu hedgen, ergibt sich als Kehrwert der nach dem Aktienkurs abgeleiteten Optionswertfunktion ∂C/∂S.
Nun lässt sich an einem einfachen Beispiel zeigen, dass auch der Wert des Hedge-Portfolios unabhängig vom zugrundeliegenden Aktienkurs ist. Für marginale Aktienkursänderungen entspricht ∂C/∂S dem Wert der Änderung des Optionspreises. Ändert sich der Aktienkurs um ΔS, wird sich der Wert der Call Position um ∂C/∂S · ΔS ändern. Multipliziert mit dem Anteil der Optionen im Porfolio aus Ausdruck (47) und der Berücksichtigung, dass es sich um eine Short Position handelt, wird die Änderung der Long-Position kompensiert. Somit ist das Portfolio unabhängig von der Aktienkursänderung ΔS. Da sich jedoch nun der Wert der Aktienposition verändert hat muss auch das Hedge-Portfolio umgeschichtet werden, damit das Portfolio risikolos bleibt.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Thematik der Optionsbewertung und kurzer Abriss der historischen Entwicklung von Modellen, von Bachlier bis Black-Scholes.
2. Binomialmodell: Darstellung des zeitdiskreten Bewertungsansatzes mittels Binomialbäumen für europäische und amerikanische Optionen unter variierenden Bedingungen.
3. Black-Scholes Modell: Detaillierte Herleitung des analytischen Bewertungsmodells, beginnend bei den stochastischen Grundlagen bis hin zur Lösung der Differentialgleichung und verschiedenen Modifikationen wie Dividenden und Jump-Diffusion.
4. Zusammenfassung: Abschließende Synthese der untersuchten Bewertungsmodelle und ihrer Anwendbarkeit zur realistischen Preisbildung von Optionen.
Schlüsselwörter
Binomialmodell, Black-Scholes-Modell, Optionsbewertung, Stochastik, Wiener-Prozess, Itô-Lemma, Hedge-Portfolio, Dividenden, amerikanische Optionen, europäische Optionen, Jump-Diffusion, Aktienkurs, Risikoneutralität, Arbitrage, Volatilität
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Bewertung von Finanzoptionen und vergleicht das numerische Binomialmodell mit dem analytischen Black-Scholes-Modell.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der stochastischen Modellierung von Aktienkursen, der Konstruktion risikoloser Hedge-Portfolios und der Anpassung dieser Modelle an realwirtschaftliche Gegebenheiten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die fundierte Untersuchung und Herleitung der Bewertungsmechanismen für Optionen sowie die Erläuterung ihrer Grenzen und Erweiterungsmöglichkeiten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine theoretisch-mathematische Analyse durchgeführt, die auf Finanzderivaten, stochastischen Prozessen (wie der Brownschen Bewegung) und differentialgeometrischen Ansätzen basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die detaillierte mathematische Ableitung des Binomial- und Black-Scholes-Modells sowie deren Anpassung an Dividenden, vorzeitige Ausübungsrechte und unvorhersehbare Kurssprünge.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zentrale Begriffe sind Optionsbewertung, Black-Scholes, Binomialmodell, stochastische Prozesse, Hedging und Marktmodellierung.
Warum ist die Bewertung amerikanischer Put-Optionen mathematisch anspruchsvoller?
Aufgrund des vorzeitigen Ausübungsrechts entsteht ein "Free Boundary Problem", da ein kritischer Kurs bestimmt werden muss, der von Zeit und Zufall abhängt und nicht direkt durch das Black-Scholes-Modell gelöst werden kann.
Wie beeinflussen Dividenden den Wert von Call-Optionen?
Dividendenzahlungen führen zu einem Kursrückgang des Underlyings am Ex-Dividenden-Tag, was den Wert einer Call-Option im Vergleich zu einem dividendenlosen Basiswert in der Regel mindert.
Was ist die Bedeutung des Itô-Lemmas in diesem Kontext?
Das Itô-Lemma fungiert als zentrale Kettenregel für stochastische Prozesse und ermöglicht es, die Preisdynamik einer Option mit der Aktienkursentwicklung mathematisch präzise in Verbindung zu bringen.
Was versteht man unter einem "Pseudo-amerikanischen Call-Preis"?
Es handelt sich um eine approximative Lösung, bei der für Termine vor einer Dividendenausschüttung separate Black-Scholes-Preise ermittelt werden, um die Wahrscheinlichkeit und den Wert einer vorzeitigen Ausübung zu schätzen.
- Quote paper
- Chris Schaible (Author), 2010, Optionsbewertungsmodelle, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/162774
