Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Darstellung des Black-Merton-Scholes Modells, der Erläuterung der mathematischen Modellbildung und der Anwendung auf die Bewertung einer Option. Zuerst werden die Grundlagen des Black-Scholes-Merton Modells und wichtige Begriffe erläutert, im nächsten Abschnitt wird die Differentialgleiching des Modells hergeleitet. Anschließend wird die Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung durchgeführt sowie die Verdeutlichung der Sensitivitätskennzahlen gemacht. Ein numerisches Beispiel am Ende der Arbeit zeigt der Zusammenhang zwischen dem Black-Scholes Preis und einem Deltahedge.
Gliederung
1. Einführung
2. Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells
2.1 Eine erhebliche Rolle des Modells bei der Bewertung von Finanzoptionen
2.2 Brown´sche Bewegung
2.3 Wiener-Prozess
2.4 Filtration Marktzuteilung
2.5 Martingal
2.6 Itǒ-Prozess
2.7 Basiswert von Wertpapieren
3. Die Black-Scholes Differentialgleichung
3.1 Annahmen des Black-Scholes-Modells
3.2 Itǒ`s Lemma
3.3 Delta-Hedging. Wert des Portfolios
4. Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung
4.1 Die Wärmeleitungsgleichung
4.2 Feymann Kac Theorem
4.3 Europäische Call-Option
4.4 Sensitivitätskennzahlen
5. Bedeutung des Modells fürs Praxis
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit erläutert das Black-Scholes-Merton-Modell, beleuchtet dessen mathematische Herleitung und untersucht die praktische Anwendung bei der Bewertung von Finanzoptionen.
- Mathematische Grundlagen: Brownsche Bewegung, Wiener-Prozess und Itô-Kalkül.
- Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung unter spezifischen Kapitalmarktannahmen.
- Delta-Hedging als Strategie zur Risikokontrolle in Optionsportfolios.
- Analyse von Sensitivitätskennzahlen (Griechen) für das Risikomanagement.
- Kritische Würdigung der Modellannahmen im Hinblick auf reale Finanzmarktpraxen.
Auszug aus dem Buch
3.1 Annahmen des Black-Scholes-Modells
Das ursprüngliche Modell trifft einige idealistische Annahmen, die denjenigen Annahmen des Binomialmodells entsprechen:
1. Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt, d.h. keine Steuern, Transaktionskostenfreiheit; zu jedem Zeitpunkt t∈[0, T] die Märkte geöffnet sind und Handel stattfindet; gewünschte Transaktionen können in beliebigen Umfang ohne Rückwirkung auf die Kursentwicklung durchgeführt werden; keine Beschränkung von Lehrverkäufen sowie Arbitragefreiheit.
2. Die Wertpapiere stehen in beliebig teilbaren Einheiten zur Verfügung.
3. Der Aktienkurs S des Basiswertes folgt einer geometrischen brownschen Bewegung.
4. Während der Laufzeit des Derivates gibt es keine Dividendenzahlungen.
5. Es existiert ein konstanter Zinssatz rˆ, zu dem jederzeit beliebig Geld angelegt und geliehen werden kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einführung: Vorstellung des Black-Merton-Scholes Modells und der Struktur der Arbeit von der Modellbildung bis zum numerischen Beispiel.
2. Grundlagen des Black-Scholes-Merton-Modells: Einführung der theoretischen Basis, einschließlich Brownsche Bewegung, Wiener-Prozess und stochastischer Analysis.
3. Die Black-Scholes Differentialgleichung: Herleitung der zentralen Gleichung unter Annahme eines risikoneutralen Portfolios und der Delta-Hedging-Strategie.
4. Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung: Mathematische Lösung der Gleichung unter Nutzung der Wärmeleitungsgleichung und des Feynman-Kac-Theorems zur Preisbestimmung von Optionen.
5. Bedeutung des Modells fürs Praxis: Diskussion über die praktische Relevanz, Vorteile und die Grenzen des Modells, insbesondere hinsichtlich der Volatilitätsschätzung.
Schlüsselwörter
Black-Scholes-Modell, Finanzoptionen, Wiener-Prozess, Itô-Lemma, Delta-Hedging, Risikoneutrale Bewertung, Arbitragefreiheit, Volatilität, Sensitivitätskennzahlen, Finanzmathematik, Stochastische Analysis, Kapitalmarkt, Europäische Call-Option, Martingal, Bewertungsmodell
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen Herleitung und der Anwendung des Black-Scholes-Merton-Modells zur Bewertung von Finanzoptionen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf den mathematischen stochastischen Grundlagen, der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung und der praktischen Anwendung des Delta-Hedgings.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, den Zusammenhang zwischen stochastischer Modellbildung und der Preisbildung von Finanzderivaten verständlich darzulegen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein finanzmathematischer Ansatz verfolgt, der auf stochastischen Differentialgleichungen und der Analyse von Marktdaten basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil deckt die mathematischen Grundlagen (Brownsche Bewegung, Itô-Prozesse), die Herleitung der Black-Scholes-Gleichung und deren Lösung mittels der Wärmeleitungsgleichung ab.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Black-Scholes, Delta-Hedging, Stochastik und Risikoneutrale Bewertung beschreiben.
Warum ist das Feynman-Kac-Theorem für die Lösung der Gleichung so wichtig?
Es stellt die Verbindung zwischen stochastischen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen her, was die Lösung des Optionspreises erst ermöglicht.
Welche Limitationen werden für das Modell genannt?
Das Modell geht unter anderem von einer konstanten Volatilität aus, was empirischen Beobachtungen an Finanzmärkten oft widerspricht.
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- Dipl.-Volksw. Olena Moor (Author), 2009, Grundlagen, Herleitung und Eigenschaften des Black-Scholes-Modells, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/160858
