In der Mathematik gibt es eine Reihe zentraler Aussagen, deren Beweis über Jahre brauchte. Zudem gibt es noch heute viele Annahmen, die weder bewiesen noch widerlegt sind. Dazu zählt auch die ABC-Vermutung.
Man spricht von einem ABC-Tripel, wenn die Zahlen des Zahlentripels (a; b; c) paarweise teilerfremd sind und zusätzlich die Summe von a und b den Wert von c ergibt mit der Eigenschaft, dass das Radikal aus dem Produkt der drei Zahlen kleiner ist als die größte der drei Zahlen.
Bisher ist unbekannt, ob die Anzahl der Zahlentripel endlich ist. Gilt die ABC-Vermutung, so folgen hieraus eine Reihe weiterer Aussagen, beispielsweise eine schwache Formulierung des letzten Satzes von Fermat, der über 300 Jahre ungelöst war und erst 1993 von Wiles bewiesen wurde.
Eine Verschärfung der Aussage über Zahlentripel ergibt sich, wenn zusätzlich die Eigenschaft gut verlangt wird. Von guten Zahlentripeln spricht man, wenn der Quotient aus dem Logarithmus der betragsgrößten Zahl und dem Logarithmus des Radikals vom
Produkt der drei Zahlen größer als 1,4 ist.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Die ABC-Vermutung
2.1 Grundlegende Definitionen
2.2 Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung
2.3 Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung
2.4 Gute Tripel
3 Der LLL-Algorithmus
3.1 Einführung in die Gitter-Reduzierung
3.2 Reduzierte Basis eines Gitters
3.2.1 Verbesserung des LLL-Algorithmus nach Schnorr
3.3 Faktorisierung von Polynomen im Gitter
3.3.1 Beschreibung des Algorithmus
4 Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus
4.1 Vorbemerkungen
4.2 Das Lösen der Relation mit dem LLL-Algorithmus
4.3 Konstruktion guter ABC-Tripel
4.4 Erweiterung der Konstruktion durch Kettenbruchentwicklung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, Methoden zur Konstruktion sogenannter guter ABC-Tripel zu untersuchen und praktisch umzusetzen, wobei der LLL-Algorithmus als zentrales Instrument zur Lösung der zugrunde liegenden mathematischen Relationen dient.
- Mathematische Grundlagen und Definitionen der ABC-Vermutung
- Analyse des LLL-Algorithmus zur Gitter-Reduzierung
- Faktorisierung von Polynomen als Anwendungsbeispiel des LLL-Algorithmus
- Konstruktive Verfahren zur Gewinnung guter ABC-Tripel mittels diophantischer Approximation
- Erweiterung der Konstruktionsmethoden durch Kettenbruchentwicklungen
Auszug aus dem Buch
Die ABC-Vermutung
Die ABC-Vermutung wurde - wie bereits in der Einleitung erwähnt - 1985 von Masser und Oesterlé formuliert. Dabei werden Eigenschaften des Zahlentripels (a, b, c) untersucht, die paarweise teilerfremd sind. Von ABC-Treffern spricht man genau dann, wenn rad(a·b·c) ≤ c gilt. Wir betrachten dabei o. B. d. A. natürliche Zahlen. Als das Radikal einer natürlichen Zahl n bezeichnen wir den quadratfreien Kern dieser Zahl.
Zunächst formulieren wir die ABC-Vermutung und gehen dann in diesem Kapitel noch auf einige wichtige Folgerungen ein, die zutreffen, falls die ABC-Vermutung gilt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung führt in die ABC-Vermutung ein, definiert den Begriff des ABC-Tripels und erläutert die Bedeutung der Eigenschaft "gut" sowie den Einsatz des LLL-Algorithmus in diesem Kontext.
2 Die ABC-Vermutung: Dieses Kapitel liefert die mathematischen Grundlagen, definiert das Radikal von Zahlen und Polynomen, beweist den Satz von Mason und behandelt theoretische Folgerungen wie das asymptotische Fermat-Problem und die Wieferich-Bedingung.
3 Der LLL-Algorithmus: Es erfolgt eine detaillierte Einführung in die Gitter-Reduzierung, die Definition der reduzierten Gitterbasis sowie die Beschreibung des LLL-Algorithmus und dessen Anwendung zur Faktorisierung von Polynomen.
4 Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus: Das Hauptkapitel verbindet die theoretischen Grundlagen durch die praktische Konstruktion von ABC-Tripeln mittels des LLL-Algorithmus und erläutert Optimierungsansätze durch Kettenbruchapproximationen.
Schlüsselwörter
ABC-Vermutung, LLL-Algorithmus, Gitter-Reduzierung, Zahlentripel, Radikal einer Zahl, Diophantische Gleichungen, Polynomfaktorisierung, Fermat-Problem, Kettenbruchapproximation, Gitterbasis, Kryptanalyse, Zahlentheorie, ABC-Treffer
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Untersuchung und der rechnerischen Konstruktion von sogenannten guten ABC-Tripeln unter Anwendung des LLL-Algorithmus.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen umfassen die Zahlentheorie (insbesondere die ABC-Vermutung), die Gittertheorie und algorithmische Ansätze zur effizienten Lösung diophantischer Probleme.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist die systematische Berechnung und Konstruktion von ABC-Tripeln, die eine spezifische mathematische Qualitätsbedingung ("gut") erfüllen, unter Verwendung von LLL-reduzierten Gitterbasen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Beweisverfahren sowie algorithmische Methoden aus der Gitter-Reduktion (LLL-Algorithmus) und diophantische Approximationsverfahren eingesetzt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil behandelt theoretische Grundlagen der ABC-Vermutung, die Funktionsweise des LLL-Algorithmus und dessen praktische Umsetzung zur Konstruktion von Tripeln.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind ABC-Vermutung, LLL-Algorithmus, Gitterbasis, Diophantische Approximation und gute ABC-Tripel.
Warum spielt die Eigenschaft "gut" bei ABC-Tripeln eine Rolle?
Ein Tripel wird als "gut" bezeichnet, wenn es eine starke Ungleichung im Kontext der ABC-Vermutung erfüllt, was für die Suche nach Extrembeispielen von großer theoretischer Bedeutung ist.
Inwiefern hilft der LLL-Algorithmus bei der Konstruktion?
Der LLL-Algorithmus ermöglicht es, in einem Gitter kurze Vektoren zu finden, die Lösungen für die lineare diophantische Gleichung c - a - b = 0 darstellen und so neue ABC-Tripel liefern können.
- Quote paper
- Matthias Mahl (Author), 2009, Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/155457
