Anhand einer Kurvendiskussion ist es möglich mit relativ wenig Arbeitsaufwand die interessanten Stellen einer Funktion zu analysieren. In dieser Arbeit soll mithilfe eines mathematischen Computerprogramms namens MATLAB eine Kurvendiskussion an einer Polynomfunktion 3. Grades programmiert, durchgeführt und anschließend auch analysiert werden.
Zu Beginn werden die Grundbegriffe wie Funktionen, Definitionsbereich, Nullstellen, Differentialrechnung, Wende- und Extrempunkte, sowie die Punktsteigungsform der Geradengleichung und zu guter Letzt das Computerprogramm MATLAB erklärt. Um das Ziel zu erreichen, setzt sich die Arbeit mit den auftretenden Herausforderungen im Zuge der
Kurvendiskussion an der gewählten Polynomfunktion 3. Grades auseinander. Schlussendlich wird eine Möglichkeit herausgearbeitet, um ein Programm in MATLAB für die Kurvendiskussion zu erstellen.
Oftmals kommt es vor, dass verschiedenste Zusammenhänge in der Technik durch mathematische Funktionen genauer untersucht werden müssen. Mit Hilfe unterschiedlicher Verfahren ist es möglich diese Funktionen anhand einzelner Messwerte näherungsweise, bzw. exakt zu erzeugen. Auf diese Näherungsverfahren soll aber in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen werden, da dies über den Rahmen hinausgehen würde.
Es gibt mehrere Formen mathematischer Funktionen. Für den Zweck dieser Arbeit soll lediglich eine Polynomfunktion 3. Grades behandelt werden. Nun gibt es mehrere Möglichkeiten solch eine Funktion zu analysieren, um Vorhersagen über ihren Verlauf treffen zu können. Durch Einsetzen von beliebig vielen Werten kann der Funktionsgraph, also der Funktionsverlauf
grafisch veranschaulicht werden und interessante Stellen sind leichter erkennbar. Der Nachteil dieser Methode ist der enorme Aufwand, um alle Funktionswerte für die bestimmten Eingabewerte auszurechnen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Hintergrund
1.2. Problemstellung
1.3. Zielsetzung
1.4. Vorgehensweise
2. Theoretische Grundlagen
2.1. Mathematische Funktionen und deren Graph
2.2. Definitionsbereich und Nullstellen
2.3. Punktsteigungsform der Geradengleichung
2.4. Differentialrechnung
2.5. Extrempunkte
2.6. Wendepunkte
2.7. MATLAB
3. Erstellen des MATLAB-Skriptes
3.1. Wahl der Funktion 3. Grades
3.2. Initialisierung bzw. Übergabe des Polynoms in das MATLAB-Skript
3.3. Funktionswerte des Polynoms
3.4. Nullstellen
3.5. Erste und zweite Ableitung
3.6. Extrempunkte
3.7. Wendepunkt
3.8. Tangenten
3.9. Ausgabe der Berechnungen und Plotten der Funktion
4. Schlussbetrachtungen
Zielsetzung & Themen der Arbeit
Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Implementierung eines Programms in MATLAB, mit dem eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion 3. Grades automatisiert durchgeführt und grafisch visualisiert werden kann, um interessante Punkte wie Nullstellen, Extremas und Wendepunkte effizient zu identifizieren.
- Grundlagen der Differentialrechnung und mathematischer Funktionen
- Einführung in die Handhabung der MATLAB-Entwicklungsumgebung
- Methodik zur rechnerischen Bestimmung von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten mittels MATLAB-Befehlen
- Visualisierung von Funktionsgraphen und Kennzeichnung relevanter Punkte
- Algorithmische Darstellung von Tangenten an spezifischen Kurvenpunkten
Auszug aus dem Buch
3.1.Wahl der Funktion 3. Grades
Laut Aufgabenstellung soll eine Polynomfunktion 3. Grades herangezogen werden, an der eine Kurvendiskussion durchgeführt werden soll. Hierbei lohnt es sich eine anschauliche Funktion zu wählen. Deshalb entscheiden wir uns für:
f(x) = 2 * x^3 + 4,5 * x^2 + x - 1
Der Vorteil an genau dieser Funktion ist, dass sie drei Nullstellen besitzt und anschaulich in ein normales Koordinatensystem passt. Außerdem sind die lokalen Extrempunkte auch sehr gut erkennbar.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Beschreibt den technischen Hintergrund, die Problemstellung der manuellen Funktionsanalyse sowie die Zielsetzung und Vorgehensweise bei der Erstellung des MATLAB-Skripts.
2. Theoretische Grundlagen: Erläutert die mathematischen Konzepte von Funktionen, Differentialrechnung, Ableitungen und die grundlegende Verwendung der Software MATLAB.
3. Erstellen des MATLAB-Skriptes: Detaillierte Anleitung zur Implementierung der Kurvendiskussion, von der Wahl der mathematischen Funktion über diverse Ableitungen und Befehlsanwendungen bis hin zur grafischen Ausgabe inklusive Tangenten.
4. Schlussbetrachtungen: Fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen und gibt Hinweise zur Sorgfaltspflicht bei der rechnerischen Untersuchung unbekannter Polynomfunktionen.
Schlüsselwörter
Kurvendiskussion, MATLAB, Polynomfunktion 3. Grades, Differentialrechnung, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, MATLAB-Skript, Mathematisches Programmieren, Funktionsgraph, Tangente, Ableitung, Automatisierung, Visualisierung, Computergestützte Mathematik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse von Funktionen mittels der Software MATLAB, speziell mit der automatisierten Durchführung einer Kurvendiskussion für Polynome 3. Grades.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Felder umfassen die Anwendung differentialrechnerischer Methoden am Computer, Programmiergrundlagen in MATLAB und die Visualisierung mathematischer Kurvenverläufe.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel besteht darin, ein funktionsfähiges MATLAB-Skript zu erstellen, das eine Polynomfunktion automatisch analysiert, berechnet und die Ergebnisse grafisch darstellt.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird eine algorithmische Implementierung mathematischer Analyseverfahren verwendet, bei der die Software zur Berechnung von Nullstellen, Extremwerten und Wendepunkten genutzt wird.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine theoretische Einführung in die Kurvendiskussion und eine dezidierte Anleitung zur Programmierung des MATLAB-Skripts unter Verwendung spezifischer Befehle wie polyval, roots und plot.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren das Dokument?
Die Arbeit lässt sich am besten durch Begriffe wie Kurvendiskussion, MATLAB, Polynomfunktion, Differentialrechnung und Visualisierung beschreiben.
Warum wurde explizit eine Polynomfunktion 3. Grades gewählt?
Die Funktion wurde gewählt, weil sie drei Nullstellen aufweist und sich sehr anschaulich in einem Koordinatensystem darstellen lässt, was sie ideal für Demonstrationszwecke macht.
Wie werden komplexe Ergebnisse im Skript gehandhabt?
Da MATLAB teilweise mathematisch korrekte aber hier nicht relevante komplexe Zahlen berechnen kann, werden diese durch den Befehl 'imag' explizit aus den Ergebnismengen ausgeschlossen.
Welche Rolle spielen Tangenten in dieser Untersuchung?
Tangenten dienen dazu, die Steigung an markanten Punkten wie dem Wendepunkt oder der rechtesten Nullstelle grafisch sichtbar zu machen, wofür eigene Funktionen innerhalb des Skripts geschrieben wurden.
- Arbeit zitieren
- Kai Stüber (Autor:in), 2022, Kurvendiskussion in MATLAB, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/1413767
