Dieser wissenschaftliche Aufsatz handelt von der mathematische Bestimmung von Funktionen auf der Basis von Wertetabellen und Funktionsgraphen.
In den Naturwissenschaften wie zum Beispiel der Physik oder der Chemie ist es oft erforderlich Messdaten, die man zum Beispiel durch die Auswertung von Experimenten erhält, mathematisch auszuwerten, um das Resultat des Experimentes mathematisch beschreiben zu können. Ein wichtiger Schritt dabei ist herauszufinden, in welcher Abhängigkeit die einzelnen Parameter, die betrachtet werden, zueinanderstehen. So, ob eine Größe beispielsweise linear, quadratisch oder exponentiell ist.
Inhalt
1 Vorwort und Prämissen
2 Bestimmung der Funktionsart
3 mathematische Bestimmung der Funktion
3.1 reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen (Verfahren I)
3.2 reelle Exponentialfunktionen (Verfahren II)
3.3 reelle Logarithmusfunktionen (Verfahren III)
4 Zusammenfassung der Verfahren
5 Beispiel zur Datenauswertung mithilfe des ersten Verfahren
6 Literaturverzeichnis
1 Vorwort und Prämissen
In den Naturwissenschaften wie z.B. der Physik oder der Chemie ist es oft erforderlich Messdaten, die man z.B. durch die Auswertung von Experimenten erhält, mathematisch auszuwerten, um das Resultat des Experimentes mathematisch beschreiben zu können. Ein wichtiger Schritt dabei ist herauszufinden in welcher Abhängigkeit die einzelnen Parameter, die betrachtet werden, zueinanderstehen so, ob eine Größe z.B. linear, quadratisch oder exponentiell ist.
Im linken Koordinatensystem sind vier Funktionen abgebildet. Es sind zu sehen eine lineare Funktion (grün), eine Wurzelfunktion (rot), eine kubische Funktion (orange) und eine Exponentialfunktion (violett).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die unterschiedlichen Funktionen sind in dieser Abbildung sehr einfach voneinander zu unterscheiden. Je nach Qualität der zur Verfügung stehenden Daten kann die Unterscheidung allerdings durchaus komplizierter sein. So kann es, bei ungenauen Daten, dazu kommen, dass es schwierig wird, verschiedene Funktionsarten voneinander zu unterscheiden z.B. eine Wurzel- von einer linearen Funktion.
Um z.B. experimentell bestimmte Messdaten nun mithilfe einer Funktion beschreiben zu können lassen sich die hier in diesem Paper beschriebenen Verfahren anwenden. Mithilfe dieser Verfahren lassen sich die Funktionsgleichungen, die aus verschiedenen Datensätzen resultieren, auf eine recht einfache Art und Weise bestimmen.
Um die hier beschriebenen Verfahren zur Bestimmung von Funktionsgleichungen anwenden zu können müssen die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein.
1. Die gesuchte Funktion muss zu einem der folgenden Funktionstypen zählen.
a) Potenz- und Wurzelfunktionen mit reellem Exponenten
b) Exponentialfunktionen mit positiver, reeller Basis ungleich Null
c) Logarithmusfunktionen mit positiver, reeller Basis ungleich Null
2. Die gesuchte Funktion darf keine Summe aus zwei oder mehr Funktionen von ungleichem höchsten Exponenten sein.
2 Bestimmung der Funktionsart
Bevor damit begonnen werden kann eine Funktion mathematisch zu Bestimmen muss zunächst ermittelt werden in welche Kategorie jene Funktion einzuordnen ist, um das korrekte Verfahren zu wählen. Dabei kann man die unten dargestellte Tabelle zu Hilfe nehmen.
Anhand einiger Charakteristika der hier betrachteten Funktionen lässt sich der Typ jener Funktion recht einfach bestimmen. Mithilfe dieses Schemas lässt sich, vor allem auf der Grundlage von Graphen, sehr einfach die Funktionsart einer betrachteten Funktion bestimmen.
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Darüber hinaus können die verschiedenen Funktionsarten anhand eines weiteren eindeutigen Kriterium identifiziert werden, welches mit der Verdopplung des x-Wertes zu tun hat.
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- Verdoppelt man den x-Wert einer Potenzfunktion so verändert sich ihr Funkti-onswert stets in einem vom x-Wert unabhängigen, konstanten Faktor.
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— Verdoppelt man den x-Wert einer Exponentialfunktion so verändert sich ihr Funktionswert in einen vom x-Wert abhängigen Faktor.
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— Verdoppelt man den x-Wert bei einer Logarithmusfunktion so verändert sich ihr y-Wert in einem vom x-Wert abhängigen Faktor.
3.1 reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen (Verfahren I)
Diese Funktionsarten sind in sehr weit verbreitet, vor allem in Form von Geraden, Parabeln oder Kehrwertfunktionen, um die Funktionen eindeutig bestimmen zu kommen können die unten beschriebenen Gleichungen verwendet werden, um die Funktion auf Grundlage des Graphen bzw. der Wertetabelle zu bestimmen.
Zunächst gilt die allgemeine Form einer reellen Potenzfunktion.
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Aus einem Graphen oder einer Wertetabelle lassen sich direkt nur die Werte für x, f(x) und in der Regel c entnehmen somit sind die Werte für k und n unbekannt. Daher lassen sich diese Größen selbst durch Umstellen der Gleichung nicht herausfinden, da es zwar zwei Unbekannte jedoch nur eine Gleichung gibt.
Da der Exponent n sowie der Wert k bestimmt werden soll wird folgender Ansatz gewählt. Die Gleichung wird nach k umgestellt.
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Auch in dieser Form ist die Gleichung nicht lösbar, denn es muss eine zweite Gleichung erstellt werden. Dies wird folgendermaßen erzielt.
Dadurch, dass zu jedem Wert x, auf Basis der Variablen k und n, ein Funktionswert f(x) zugeordnet wird können mithilfe von verschiedenen Punkten in der Form P(xN|f(xN)) verschiedene Werte für x und f(x) gewählt werden, sofern sie beide aus derselben Funktion stammen. In beiden Fällen sind n und k identisch.
So ergeben sich:
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Diese beiden Gleichungen werden nun, wie der Ansatz besagt, jeweils nach dem Parameter k umgestellt.
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Dadurch, dass die Variablen k und n konstant bleiben, können beide Gleichungen miteinander gleichgesetzt werden, um die Variable k zu kürzen. Dadurch ergibt sich eine lösbare Gleichung.
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Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich folgendes.
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Durch die Anwendung des 4. Potenzgesetzes auf der rechten Seite lässt sich der Ausdruck folgendermaßen schreiben.
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Nun wird auf beiden Seiten der Logarithmus angewendet. Die Basis ist dabei nicht von Relevanz solange beide Logarithmen dieselbe Basis haben. Hier wurde der dekadische Logarithmus (Basis 10) verwendet.
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Das 3. Logarithmusgesetz besagt, dass der Exponent n auf der linken Seite als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann. Dadurch wird das der Exponent, nach welchem umgestellt wird freigestellt.
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Im Folgenden wird nur noch durch den logarithmierten Quotienten aus x1 und x2 dividiert, um die Gleichung nach n aufzulösen.
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Mithilfe des 2. Logarithmusgesetz kann die Gleichung wie Folgt geschrieben werden.
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Um zu guter Letzt nun den Parameter k zu berechnen kann die ursprüngliche Gleichung für f(x) nach k umgestellt werden und der durch die oben bestimmte Gleichung berechnete Wert für n kann eingesetzt werden.
3.2 reelle Exponentialfunktionen (Verfahren II)
Exponentialfunktionen kommen häufig in Wachstums- und Zerfallsprozessen vor. Diese Funktionsart kann auf zwei verschiedenen Weisen dargestellt werden.
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Für die Herleitung der Basis z, wird im Folgenden die zweite Form verwendet.
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Es wird erneut damit begonnen die Gleichung nach der Variablen k umzustellen.
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In dieser Form ist die Gleichung aufgrund der zwei Unbekannten nicht lösbar. Daher wird, wie genau wie beim ersten Verfahren, eine zweite Gleichung erstellt. Dadurch, dass zu jedem Wert x, auf Basis der Variablen k und z, ein Funktionswert f(x) zugeordnet wird können verschiedene Werte für x gewählt werden.
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Da die Variablen k und z stets konstant bleiben können beide Gleichungen miteinander gleichgesetzt werden, um die Variable k zu kürzen so ergibt sich eine lösbare Gleichung.
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Die Gleichung wird so umgestellt, sodass z auf der rechten Seite steht.
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Wird die rechte Seite der Gleichung mithilfe des 2. Potenzgesetzes zusammengefasst so wird der Quotient in eine Differenz im Exponenten umgewandelt.
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Der natürliche Logarithmus von z ln(z) wird im Folgenden faktorisiert.
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Um die Zahl z aus dem Exponenten freizustellen, wird auf beiden Seiten der Gleichung der natürliche Logarithmus angewendet.
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Nach dem 3. Logarithmusgesetz kann der Exponent auf der linken Seite als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann. Da der natürliche Logarithmus der eulerschen Zahl e eins beträgt ist nur noch der Exponent von Bedeutung.
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Es wird durch die Differenz der beiden x-Werte dividiert und die Gleichung ist nach dem natürlichen Logarithmus von z aufgelöst.
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Nach dem 2. Logarithmusgesetz kann die obige Gleichung auch wie Folgt geschrieben werden.
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Je nach Anwendungsbereich ist ln(z), als Wachstums- bzw. Zerfallskonstante bereits die Lösung. Wenn jedoch die Basis z gesucht ist, werden beide Seiten als Exponent der eulerschen Zahl e verwendet, um sie zu bestimmen.
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3.3 reelle Logarithmusfunktionen (Verfahren III)
Um die Basis einer Logarithmusfunktion zu bestimmen kann eine Abwandlung des zweiten Verfahren, zur Bestimmung der Basis einer Exponentialfunktion, verwendet werden.
Dazu wird zunächst die sogenannte Umkehrfunktion gesucht. Dazu werden die x- und y-Werte einer Wertetabelle vertauscht.
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Wenn die Funktion in Form eines Graphen gegeben ist, kann die Umkehrfunktion (violett) bestimmt werden, indem der Graph (grün) an der sogenannten Winkelhalbierenden (orange) gespiegelt wird.
Dazu misst man die Entfernung der Punkte, die sich auf der ursprünglichen Funktion befinden, welche auf einer orthogonalen Gerade auf der Winkelhalbierenden stehen und überträgt diese Entfernung auf die andere Seite der Winkelhalbierenden.
Dadurch wird die Logarithmusfunktion in eine Exponentialfunktion umgewandelt, was die Berechnung der Basis mit dem in Kapitel 3.2 beschriebenen Verfahren ermöglicht.
Allgemein gilt nun analog zu Verfahren II für die Basis z.
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Wie bei den anderen Verfahren kann der Faktor k ebenso hier bestimmt werden.
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4 Zusammenfassung der Verfahren
Alle oben im Detail hergeleiteten Verfahren werden nun kurz zusammengefasst.
1. reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen
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2. reelle Exponentialfunktionen
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3. reelle Logarithmusfunktionen
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5 Beispiel zur Datenauswertung mithilfe des ersten Verfahren
Um die Vorgehensweise anschaulich darzustellen, wird hier mithilfe des ersten Verfahren exemplarisch gezeigt, wie verschiedene Datensätze ausgewertet werden können.
Am Anfang stehen hierbei simulierte Messdaten, welche hier in Form einer Tabelle und in Form eines Graphen vorliegen.
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Diese Daten wurden mithilfe von MS Excel erstellt. Dazu wurden Zufallszahlen auf die Funktionswerte einer Funktion addiert, um Messungenauigkeiten, wie sie in der Realität auftreten adäquat zu simulieren.
Dabei treten wie eben in der Realität sowohl Abweichungen nach oben als auch nach unten auf, welche sich einem Bereich von ±0,25 befinden. Einzig beim Wert x=0 wurde dieser Fehler nicht simuliert, da es sehr häufig vorkommt, dass Funktionen, die bei der Auswertung von Messdaten vorkommen, unbestreitbar im Ursprung starten.
Schritt 1: Bestimmung der Funktionsart
Graphisch kann man bereits aus einigen Charakteristika der Funktion schlussfolgern, dass es sich um eine Potenz- oder eine Wurzelfunktion handelt. Dazu zählt, dass die Funktion sowohl die x- als auch die y- Achse schneidet und sie einen endlichen Wert (Null) bei x=0 aufweist. Darüber hinaus lässt sich bereits anhand des Graphenverlauf erkennen, dass es sich um eine Wurzelfunktion handeln muss.
Daraus lässt sich Schlussfolgern, dass das erste Verfahren, für Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen hier zielbringend ist.
Schritt 2: Erstellung einer Tabelle und Interpretation der Ergebnisse
Vor allem bei gegebenen Wertetabellen ist es sinnvoll den berechneten Exponenten in einer Tabelle aufzutragen, um die Ergebnisse übersichtlicher darzustellen.
In dieser Tabelle ist gut zu erkennen, dass der Exponent, welcher in der Spalte n(x) dargestellt wird, nicht wie es bei einer idealen Funktion konstant ist. Diese „Sprünge“ werden durch die Messfehler hervorgerufen.
Der Mittelwert aller Messergebnisse ist aufgrund der Abweichungen sowohl nach oben als auch nach unten eine zuverlässige Größe für Aussage über den Wert des Exponenten.
Der Wert von 0,54 für den Exponenten lässt sich, wenn er auf 0,5 abgerundet wird als Wurzelfunktion interpretieren.
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Je nach Qualität der Messwerte kann es sinnvoll sein mehr oder weniger stark zu runden, um die Messfehler zu kompensieren. In diesem Beispiel wird ein Fehler F von 8% akzeptiert.
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Aufgrund dessen, dass die Messwerte Abweichungen in einem Bereich von 0% - 10,7% zu einer tatsächlichen Quadratwurzelfunktion beinhalteten sind diese 8% Abweichung akzeptabel.
Bei der Funktion handelt es sich um eine Quadratwurzelfunktion
6 Literaturverzeichnis
In diesem Paper wurden einzig und allein die hier dargelegten Quellen verwendet.
Ernst Klett Verlag; Hans-Jerg Dorn, Dr. Tilo Fischer, Hans Fredigmann, et al.; Tafelwerk, Stuttgart 2009
DUDEN PAETTEC Schulbuchverlag; Dr. Hubert Bossek, Dr. Lutz Engelsmann, Dr. habil. Günter Fanghänel, et al.; Tafelwerk; Berlin • Mannheim 2003
Klemens Fersch; Formelsammlung Mathematik; 01.07.2020 https://www.fersch.de/pdfdoc/Mathematik.pdf
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Abhandlung?
Diese Abhandlung beschreibt Verfahren zur mathematischen Auswertung von Messdaten, insbesondere zur Bestimmung von Funktionsgleichungen anhand von Datensätzen. Sie konzentriert sich auf Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen.
Welche Voraussetzungen müssen für die Anwendung der beschriebenen Verfahren erfüllt sein?
Die gesuchte Funktion muss zu einem der folgenden Funktionstypen gehören: Potenz- und Wurzelfunktionen mit reellem Exponenten, Exponentialfunktionen mit positiver reeller Basis ungleich Null, oder Logarithmusfunktionen mit positiver reeller Basis ungleich Null. Außerdem darf die gesuchte Funktion keine Summe aus zwei oder mehr Funktionen von ungleichem höchsten Exponenten sein.
Wie kann man die Funktionsart (Potenz, Wurzel, Exponential, Logarithmus) bestimmen?
Die Funktionsart kann anhand von Charakteristika des Graphen (z.B. Schnittpunkte mit den Achsen, Verlauf) oder anhand des Verhaltens bei Verdopplung des x-Wertes bestimmt werden. Bei Potenzfunktionen ändert sich der Funktionswert um einen konstanten Faktor, bei Exponentialfunktionen um einen x-abhängigen Faktor und bei Logarithmusfunktionen ändert sich der y-Wert um einen x-abhängigen Faktor.
Wie bestimmt man die Parameter einer Potenz- oder Wurzelfunktion?
Für eine Potenzfunktion der Form f(x) = k * x^n werden zwei Punkte (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) aus dem Graphen oder der Wertetabelle verwendet. Daraus lässt sich der Exponent n berechnen mit n = log(f(x1)/f(x2)) / log(x1/x2). Anschließend kann der Faktor k durch Einsetzen von n und einem der Punkte in die Gleichung f(x) = k * x^n bestimmt werden.
Wie bestimmt man die Parameter einer Exponentialfunktion?
Für eine Exponentialfunktion der Form f(x) = k * z^x werden ebenfalls zwei Punkte (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) verwendet. Die Basis z wird berechnet mit ln(z) = ln(f(x1)/f(x2)) / (x1 - x2). Der Faktor k wird dann durch Einsetzen von z und einem der Punkte in die Gleichung f(x) = k * z^x bestimmt.
Wie bestimmt man die Parameter einer Logarithmusfunktion?
Um die Basis einer Logarithmusfunktion zu bestimmen, wird zunächst die Umkehrfunktion gebildet, indem die x- und y-Werte vertauscht werden. Dadurch wird die Logarithmusfunktion in eine Exponentialfunktion umgewandelt, deren Basis dann mit dem Verfahren für Exponentialfunktionen bestimmt werden kann. Die Werte werden anschließend wieder zurückgetauscht.
Gibt es ein Beispiel zur Datenauswertung?
Ja, die Abhandlung enthält ein Beispiel, das die Auswertung simulierter Messdaten mithilfe des Verfahrens für Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen veranschaulicht. Dabei werden Messfehler berücksichtigt und der Einfluss der Datenqualität auf die Genauigkeit der Ergebnisse diskutiert.
Welche Literatur wurde verwendet?
Die Abhandlung verweist auf: Ernst Klett Verlag, DUDEN PAETTEC Schulbuchverlag, und Klemens Fersch.
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- Federico Ogliastro (Autor:in), Die mathematische Bestimmung von Funktionen. Wertetabellen und Funktionsgraphen, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/1266778