In der vorliegenden Hausarbeit werden die Betafaktoren mehrerer Wertpapiere mit ihrem Gesamtmarkt verglichen. Das Ziel dieser Hausarbeit ist es, aufzuzeigen, wie mathematische Modelle, Zustände in der Finanzwirtschaft beschreiben. Dabei wird ein lineares Modell, die lineare Regression, angewandt. Dieses Ziel wird durch die Berechnung der Betafaktoren mehrerer Wertpapiere aus historischen Daten erfüllt.
Die Einleitung der vorliegenden Arbeit wird im zweiten Kapitel durch die theoretischen Grundlagen des Betafaktors ergänzt. In diesem Kapitel wird der Wesenszug des Betafaktors erläutert, auf das Capital Asset Pricing Model (CAPM) eingegangen und die Formel zur Berechnung des Betas dargestellt.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit dem Schwerpunk der Hausarbeit, der praktischen Berechnung der Betafaktoren. In diesem Kapitel werden das Vorgehen und die Auswahl zur Berechnung der Betas der Wertpapiere aus historischen Daten erläutert. Es werden drei Wertpapiere ausgewählt (BMW, Wirecard, Lufthansa), die mit dem Gesamtmarkt (DAX) verglichen werden. Anschließend erfolgt die Berechnung der Regressionslinie und der Vergleich der Betafaktoren miteinander. Die Arbeit wird mit einem Fazit im vierten Kapitel abgeschlossen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen des Betafaktors
2.1 Definition des Betafaktors
2.2 Formel zur Berechnung des Betafaktors
3 Berechnung des Betafaktors in der Praxis
3.1 Vorgehen und Auswahl
3.2 Berechnung der Regressionslinie
3.2.1 Regressionsanalyse BMW vs. DAX
3.2.2 Regressionsanalyse Wirecard vs. DAX
3.2.3 Regressionsanalyse Lufthansa vs. DAX
3.3 Interpretation der Ergebnisse
4 Fazit
Literaturverzeichnis
Verzeichnis der verwendeten Internetquellen
Anhang
Anhang zu Kapitel 3.2.1 Regressionsanalyse BMW vs. DAX
Anhang zu Kapitel 3.2.2 Regressionsanalyse Wirecard vs. DAX
Anhang zu Kapitel 3.2.3 Regressionsanalyse Lufthansa vs. DAX
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Beta von BMW-Aktie im Vergleich zum DAX
Abbildung 2: Beta von Wirecard-Aktie im Vergleich zum DAX
Abbildung 3: Beta von Lufthansa-Aktie im Vergleich zum DAX
Abbildung 5: Stetige Tagesrendite BMW
Abbildung 6: Quantilsplot BMW
Abbildung 6: Stetige Tagesrendite Wirecard
Abbildung 7: Quantilsplot Wirecard
Abbildung 8: Stetige Tagesrendite Lufthansa
Abbildung 9: Quantilsplot Lufthansa
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Ergebnisse der linearen Regression
Tabelle 2: Regressionsanalyse BMW
Tabelle 3: Übersicht aller Ergebnisse
Tabelle 4: Regressionsanalyse Wirecard
Tabelle 5: Regressionsanalyse Lufthansa
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
„Beta is a measure of how sensitive an asset’s return is to the market as a whole. Beta captures an asset’s systematic risk, or the portion of an asset’s risk that cannot be eliminated by diversification.“ - Definition des CFA Institute.1
Der Definition des Chartered Financial Analyst Institute zur Folge werden mit Hilfe der Betas die systematischen Risiken für einzelne Aktien im Vergleich zu ihrem Marktindex z. B. zum DAX oder zum S&P 500 abgebildet.2 Bei dem Beta handelt es sich um ein Maß, mit dem sich die Sensibilität eines Einzelwertes oder Portfolios im Vergleich zum Gesamtmarkt beschreiben lässt.3 Dieser Vergleich, die linearen Zusammenhänge zwischen numerischen Eingabedaten und Ausgabedaten zu beschreiben, kann mit Hilfe von einfachen lienalen Modellen erfolgen. Mit der linearen Regression wird eine Ausgleichsgerade an eine endliche Menge von beobachteten Daten angepasst.4 Dadurch können Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen modelliert werden.5
In der vorliegenden Hausarbeit werden die Betafaktoren mehrerer Wertpapiere mit ihrem Gesamtmarkt verglichen. Das Ziel dieser Hausarbeit ist es, aufzuzeigen, wie mathematische Modelle, Zustände in der Finanzwirtschaft beschreiben. Dabei wird ein lineares Modell, die lineare Regression, angewandt. Dieses Ziel wird durch die Berechnung der Betafaktoren mehrerer Wertpapiere aus historischen Daten erfüllt.
Die Einleitung der vorliegenden Arbeit wird im zweiten Kapitel durch die theoretischen Grundlagen des Betafaktors ergänzt. In diesem Kapitel wird der Wesenszug des Betafaktors erläutert, auf das Capital Asset Pricing Model (CAPM) eingegangen und die Formel zur Berechnung des Betas dargestellt.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit dem Schwerpunk der Hausarbeit, der praktischen Berechnung der Betafaktoren. In diesem Kapitel werden das Vorgehen und die Auswahl zur Berechnung der Betas der Wertpapiere aus historischen Daten erläutert. Es werden drei Wertpapiere ausgewählt (BMW, Wirecard, Lufthansa), die mit dem Gesamtmarkt (DAX) verglichen werden. Anschließend erfolgt die Berechnung der Regressionslinie und der Vergleich der Betafaktoren miteinander. Die Arbeit wird mit einem Fazit im vierten Kapitel abgeschlossen.
2 Theoretische Grundlagen des Betafaktors
2.1 Definition des Betafaktors
Das Beta einer Aktie misst die Volatilität, also der Schwankung bzw. Streuung von Zeitreihen6, dieser Aktie wie bspw. Aktienkursrenditen im Vergleich zum Gesamtaktienmarkt. Dadurch kann eine Aktie durch das Beta mit allen anderen Wertpapieren leicht verglichen werden. Eine absolute Beurteilung einer Aktie ist mit dem Beta jedoch nicht möglich.7
Das Beta kann nicht nur auf einzelne Aktien, sondern auch für gesamte Wertpapierportfolios gebildet werden. Hier findet der gewichtete Mittelwert der einzelnen Betas Verwendung.8 Mit dem Betafaktor eines Wertpapiers kann eine Aussage darüber getroffen werden, wie stark sich die Rendite dieses Wertpapiers bei Schwankungen des Marktportfolios verhält.9 In der Kapitalmarkttheorie wird im Capital Asset Pricing Model (CAPM) die erwartete Rendite eines Vermögensgegenstands zu dessen Beta in Beziehung gesetzt.10 Das Beta wird hier als ein Maß für das systematische Risiko (auch: Marktrisiko)11 eines Assets bezeichnet.12 Bei dem CAPM handelt es sich um das Einfaktormodell, welches erwartete Renditen ins Verhältnis zu dessen Risiko setzt.13 Der Grundgedanke des CAMP ist die aktive Steuerung des Risikos eines Aktienportfolios. Hierbei erfolgt eine Unterteilung des Gesamtrisikos in das schon erwähnte systematische und unsystematische Risiko.14
Bei dem unsystematischen Risiko handelt es sich um einen zufälligen Teil der Rendite einer Aktie, der mit der Rendite des Marktportfolios keine Korrelation aufweist. Diese Risiken werden im Marktportfolio vollständig ausgelöscht, d. h. „wegdiversifiziert“ und spielen deshalb für die Investoren keine Rolle, auch deshalb nicht, weil für ihre Übernahme im CAPM keine Risikoprämie gewährt wird. Dagegen ist das systematische Risiko, der zufällige Teil der Rendite einer Aktie, der mit der Rendite des Marktportfolios eine Korrelation aufweist.15
Die Messung des systematischen Risikos erfolgt durch den Betafaktor.16 Das systematische Risiko eines Wertpapiers kann nicht durch Diversifikation beseitigt werden. Deshalb stellt das Beta in der Wertpapieranalyse ein wichtiges Risikomaß dar.17 Das Beta gibt Auskunft über die Korrelation einer Aktie zum Gesamtmarkt. Demnach liegt eine positive Korrelation bspw. zwischen der Aktie von BMW und dem Deutschen Aktienindex (DAX) vor, wenn ein Beta von 1 vorliegt. Das würde bedeuten, dass sich die Aktie bisher vollständig identisch zum DAX entwickelt.18
Ein Betafaktor von 1 (ß = 1) bedeutet, dass die Aktie genauso stark schwankt wie der Gesamtmarkt (1:1). Für die Risikobetrachtung bedeutet das Beta von 1, dass praktisch gesehen keine unsystematischen Risikofaktoren vorliegen. Dadurch wird bei der Aufnahme einer Aktie mit einem Beta von 1 das Risiko eines Portfolios nicht erhöht. Gleichzeitig kann es auch nicht von einer Erhöhung der Rendite ausgegangen werden. Ein Beta von 1 kann bspw. bei marktbreiten ETFs angenommen werden.19
Liegt ein Beta-Wert von größer 1 (ß > 1) vor, dann bewegt sich die Aktie stärker im Vergleich zum Gesamtmarkt. Aktien mit einem Beta von über 1 sind theoretisch volatiler als der Gesamtmarkt. Ein Betafaktor von 1,2 bedeutet, dass eine Schwankung von 20 % oberhalb der des Marktportfolios angenommen wird. Die Betafaktoren über 1 kommen häufig bei Wachstumswerten und Small-Caps vor. Diese Aktien haben ein erhöhtes Risiko und es kann auch von größeren Chancen auf Kursgewinne ausgegangen werden.20
Ein Betafaktor kleiner 1 (ß < 1) sagt aus, dass die Aktie im Verhältnis zum Gesamtmarkt weniger stark schwankt.21 Aktien mit einem Beta von unter 1 sind als weniger volatiler als der Gesamtmarkt bzw. das Marktportfolio. Aktien mit solchem Wert senken das Gesamtrisiko eines Portfolios. Dieser Wert kommt bspw. Bei Energieversorger vor. Diese reagieren eher weniger stark mit einem leichten Zeitverzug als der Gesamtmarkt.22
2.2 Formel zur Berechnung des Betafaktors
Die Schwankungen eines Wertpapiers im Vergleich zum Gesamtmarkt werden mit dem Betafaktor β einer Aktie berechnet.23 Auf eine einfache Formel gebracht, bedeutet es, dass bei einer Schwankung des Marktindizes um r Prozent, die Schwankung der Aktie im Mittel um β · r Prozent liegen. Dadurch verhalten sich die Schwankung der Aktie proportional zu den Schwankungen des Gesamtmarkts.24 Der Betafaktor errechnet sich mathematisch als Kovarianz zwischen der Rendite der Aktie und des Marktportfolios cov (ri; rM), die durch die Varianz des Marktportfolios var (rM) dividiert wird:25,26
Ri = individuelle Wertpapierrendite
Rm = durchschnittliche Marktrendite
3 Berechnung des Betafaktors in der Praxis
3.1 Vorgehen und Auswahl
Für die Berechnung des Betafaktors werden die Aktienkurse der folgenden Unternehmen aus unterschiedlichen Branchen im Vergleich zum Marktindex betrachtet:
- BMW AG (Automobil- und Motorradhersteller),
- Wirecard AG (Zahlungsdienstleistungsunternehmen) und
- Lufthansa AG (Fluggesellschaft).
Die Daten für die Berechnung des Betafaktors werden von einer Finanzwebseite wie bspw. Yahoo Finance oder Finanzen.net abgerufen.27 Für die Bearbeitung der vorliegenden Hausarbeit sind die historischen Daten aus der öffentlich zugänglichen Quelle „Finance Yahoo“ entnommen worden.
Die Wahl des Zeitintervalls hat große Bedeutung für die Höhe des Betafaktors. In der Praxis liegt die Spanne in Abhängigkeit vom Einzelfall i. d. R. von 250 Tagen bis zu 5 Jahren.28 In diesem praktischen Beispiel wird ein Zeitintervall von 5 Jahren (20.08.2015-19.08.2020) gewählt. Dadurch soll die um die Steigerung der Stabilität und die Aussagefähigkeit der Betas gewährleistet werden.
Die Beeinflussung des Betafaktor erfolgt maßgeblich durch die Beobachtungshäufigkeit der Renditepaare z. B. täglich, wöchentlich oder monatlich. Die Beobachtungshäufigkeit definiert mit dem Zeitintervalls den betrachteten Stichprobenumfang. Dieser sollte eine gewisse Mindestgröße haben.29 Für die Beobachtungshäufigkeit der Renditepaare werden tägliche Renditen herangezogen, um Verzerrungen zu vermeiden. Auf die Höhe des Betafaktors übt auch die Wahl des Vergleichsindex Einfluss. Diese dient als Näherung für die Marktrendite.30 In Deutschland wird für das Marktportfolio üblicherweise der DAX Performance-Index (GDAXI) als Repräsentant verwendet.31 Dieser Index wird für die Berechnung der Betafaktoren der o. g. Wertpapiere gewählt.
Die Formel für die Berechnung eines idealisierten Modells lautet:32
r Aktie = β r Markt + α +
Dabei handelt es sich bei r Aktie um die Tagesrendite einer Aktie wie bspw. BMW, Wirecard oder Lufthansa und bei r Markt um die Tagesrendite des Gesamtmarktes, in unserem Beispiel des von DAX. Dabei beschreibt ß den gesuchten ß-Faktor und α den Achsenabschnitt, der mit der risikolosen Rendite nach CAPM eng verbunden ist.33 Das Beta ist statistisch gesehen das Ergebnis einer Regressionsanalyse der in einem Zeitintervall betrachtenden Returns einer Aktie mit dem des Marktes. Damit stellt das Beta die Steigung der resultierenden Regressionsgeraden dar.34 Die Berechnung der stetigen „logarithmischen“ Renditen von t auf t + 1 berechnet sich wie folgt:
[...]
1 Zitat: Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
2 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
3 Vgl. Bloss, M. Financial Engineering, 2017, S. 595
4 Vgl. Jaekel, U. Modellierung, 2017, S. 7
5 Vgl. Internetquelle: bjoernwalther.com, Einfache lineare Regression in Excel rechnen und interpretieren“, 2019
6 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Volatilität an der Börse, 2020
7 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
8 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
9 Vgl. Kremer, J. Portfoliotheorie, Marktrisiken und die Bewertung von Derivaten, 2019, S. 151
10 Vgl. Hull, J. Risikomanagement, 2011, S. 568
11 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
12 Vgl. Hull, J. Risikomanagement, 2011, S. 567
13 Vgl. Bloss, M. Financial Engineering, 2017, S. 180
14 Vgl. Wolke, T. Risikomanagement, 2011, S. 150
15 Vgl. Frahm, G. Enterprise Risk Management, 2019, S. 188
16 Vgl. Wolke, T. Risikomanagement, 2011, S. 150
17 Vgl. Bloss, M. Financial Engineering, 2017, S. 61
18 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
19 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
20 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
21 Vgl. Bloss, M. Financial Engineering, 2017, S. 180
22 Vgl. Internetquelle: deltavalue.de, Betafaktor bei Aktien, 2020
23 Vgl. Jaekel, U. Modellierung, 2017, S. 15
24 Vgl. Jaekel, U. Modellierung, 2017, S. 15
25 Vgl. Internetquelle: controllerakademie.de, Der Beta-Faktor in der Unternehmensbewertung, 2011
26 Vgl. Bloss, M. Financial Engineering, 2017, S. 60
27 Vgl. Internetquelle: diyinvestor.de, Beta: Wie wir die Kennzahl richtig abschätzen, 2017
28 Vgl. Internetquelle: controllerakademie.de, Der Beta-Faktor in der Unternehmensbewertung, 2011
29 Vgl. Internetquelle: controllerakademie.de, Der Beta-Faktor in der Unternehmensbewertung, 2011
30 Vgl. Internetquelle: controllerakademie.de, Der Beta-Faktor in der Unternehmensbewertung, 2011
31 Vgl. Wolke, T. Risikomanagement, 2011, S. 150
32 Vgl. Jaekel, U. Modellierung, 2017, S. 15
33 Vgl. Jaekel, U. Modellierung, 2017, S. 15
34 Vgl. Internetquelle: diyinvestor.de, Beta: Wie wir die Kennzahl richtig abschätzen, 2017