Stellen Sie sich eine Welt vor, in der Zahlen nicht nur zählen, sondern auch die verborgenen Dimensionen der Realität enthüllen. Diese Welt öffnet sich mit der Erkundung komplexer Zahlen, einem faszinierenden Gebiet der Mathematik, das weit über die Grenzen des Reellen hinausgeht. Diese Abhandlung, entstanden im akademischen Umfeld des Abiturjahrgangs 2005, entführt den Leser auf eine Reise durch die Grundlagen, Rechenoperationen und Anwendungen komplexer Zahlen, wobei ein besonderes Augenmerk auf ihre Bedeutung in der Mathematik und Physik gelegt wird. Beginnend mit der historischen Einführung des Begriffs der "imaginären Zahl" durch Renée Descartes, verfolgt die Arbeit die Entwicklung und Akzeptanz komplexer Zahlen bis hin zu ihrer heutigen unverzichtbaren Rolle in Wissenschaft und Technik. Die Reise führt durch die Definition komplexer Zahlen, ihre Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene und die vielfältigen Rechenoperationen, die mit ihnen möglich sind. Ein zentraler Aspekt ist die Einführung von Polarkoordinaten und deren Anwendung bei Multiplikation, Division und Potenzierung komplexer Zahlen, einschließlich der berühmten Formel von de Moivre. Darüber hinaus werden die algebraischen Eigenschaften komplexer Zahlen detailliert untersucht, von den grundlegenden Körperaxiomen bis hin zum Hauptsatz der Algebra, der die Abgeschlossenheit des Körpers der komplexen Zahlen demonstriert. Ein besonderes Augenmerk liegt auf den Anwendungen komplexer Zahlen in der Physik, insbesondere bei der Beschreibung von Zentrifugal- und Corioliskräften, wo ihre Fähigkeit, Drehbewegungen elegant darzustellen, voll zur Geltung kommt. Diese Arbeit dient nicht nur als umfassende Einführung in die komplexe Zahlentheorie, sondern auch als Brücke zwischen abstrakter Mathematik und realen Anwendungen, die das Verständnis der Welt um uns herum bereichern. Es wird gezeigt, wie die komplexen Zahlen, einst als "imaginär" abgetan, zu einem unverzichtbaren Werkzeug für Mathematiker, Physiker und Ingenieure geworden sind, und wie sie weiterhin neue Türen zu Entdeckungen und Innovationen öffnen. Schlüsselwörter: Komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene, Polarkoordinaten, Formel von de Moivre, Körperaxiome, Hauptsatz der Algebra, Zentrifugalkraft, Corioliskraft, Mathematik, Physik, Algebra, Analysis, Gleichungen, Additionstheoreme, Quaternionen, Zahlentheorie.
Abiturjahrgang 2005
F a c h a r b e i t
aus der Mathematik
über
Komplexe Zahlen
Leistungskurs: Mathematik
Bearbeitungszeitraum: 2. und 3. Kurshalbjahr
Abgabetermin: 28. Januar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Einführung in komplexe Zahlen 4
2.1 Definition komplexer Zahlen 4
2.1.1 Rechnen mit i 4
2.1.2 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene 4
2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 5
2.3 Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten 8
2.3.1 Begriff der Polarkoordinaten 8
2.3.2 Umwandlung von der Polarform in die kartesische Koordinatenform 9
2.3.3 Umwandlung von der kartesischen Koordinatenform in die Polarform 10
2.4 Rechnen mit Polarkoordinaten, Formel von de Moivre 10
3 Algebraische Eigenschaften von 13
3.1 Körperaxiome 13
3.2 Lösen algebraischer Gleichungen 14
3.3 Abgeschlossenheit von und Hauptsatz der Algebra 14
3.4 als nicht angeordneter, vollständiger Körper 15
4 Anwendung komplexer Zahlen 16
4.1 Anwendungen in der Mathematik 16
4.2 Anwendungen in der Physik 17
4.2.1 Übersicht über die Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten 17
4.2.1 Zentrifugal- und Corioliskraft 18
5 Schlussbemerkungen 22
6 Literaturverzeichnis 23
7 Persönliche Erklärung 24
1 Einleitung
In der Mitte des 17. Jahrhunderts wurde von Renée Descartes die Bezeichnung einer negativen Wurzel als „imaginäre Zahl“ eingeführt. Alle zu dieser Zeit „normalen“ Zahlen bekamen die Bezeichnung reelle Zahlen. Heute bezeichnet man die von beiden Teilen gebildete Zahl als komplexe Zahl.
Zuerst erschien das Rechnen mit komplexen Zahlen als Spiel mit wenig großer Bedeutung, jedoch bemerkten die Mathematiker dieser Zeit schnell, dass mit komplexen Zahlen Sätze bewiesen werden konnten, die mit dem reellen Zahlenbereich nicht zu beweisen waren, oder dass die komplexen Zahlen zu bekannten Ergebnissen eine bessere Form lieferten. Dies waren Gründe dafür, dass von diesem Zeitpunkt an die komplexen Zahlen ernst genommen worden sind und man sich mit ihnen wissenschaftlich beschäftigte. Jedoch verloren die komplexen Zahlen den Schleier des Geheimnisvollen nicht, selbst dann nicht als sich zwei Mathematiker, der Däne C. Wessel und der Franzose J.-R. Argand, am Ende des 18. Jahrhunderts unabhängig voneinander intensiv um die Aufklärung der komplexen Zahlen bemühten und ihre Ideen veröffentlichten. Aufmerksamkeit bekamen die Lehrbücher der beiden Mathematiker erst, als Carl Friedrich Gauß 1831 zu denselben Formulierungen kam, ohne etwas von den Arbeiten der beiden zu wissen.
Heute besitzen die komplexen Zahlen nichts Geheimnisvolles mehr, da es keine Schwierigkeit in deren Handhabung gibt. „Die komplexen Zahlen stehen an Einfachheit der Definition, an konkreter Bedeutung und Anwendbarkeit den reellen Zahlen in nichts nach.“[1] Es ist also unkorrekt, die komplexen Zahlen als eingebildete, unwirkliche oder imaginäre Zahlen zu bezeichnen.
Das Ziel dieser Arbeit ist es, einem Schüler aus der 12. Jahrgangsstufe die Grundlagen, das Rechnen sowie Anwendungen komplexer Zahlen zu vermitteln. Zuerst wird der Begriff der komplexen Zahl definiert, anschließend wird dem Leser das Rechnen mit komplexen Zahlen erläutert, worauf dann der Begriff der Polarkoordinaten eingeführt wird. Im dritten Teil dieser Arbeit, werden die algebraischen Eigenschaften von erklärt. Beginnend bei der Erweiterung des Zahlensystems überführend zu dem Fundamentalsatz der Algebra endet dieses Kapitel bei der Erläuterung von als ungeordneter, vollständiger Körper. Zuletzt wird die Bedeutung komplexer Zahlen in der mathematischen, sowie physikalischen Anwendung dargestellt, wobei ein besonderes Augenmerk auf die Zentrifugal- und Corioliskraft gelegt wird.
2 Einführung in komplexe Zahlen
2.1 Definition komplexer Zahlen und Darstellung in der Gaußschen
Zahlenebene
Mit der Einführung der Zahl i von Leonhard Euler[2] wird die Menge der kom- plexen Zahlen wie folgt definiert:
An der Definition ist erkennbar, dass jede Komplexe Zahl eine Summe von Viel- fachen von 1 und i ist.
Dabei bezeichnet a den Realteil von z, b den Imaginärteil von z:
Einer komplexen Zahl entspricht ein reelles Zahlenpaar und umgekehrt. Es gilt:
Dabei heißt 1 die reelle Einheit, i die imaginäre Einheit (wegen erfüllt i die Gleichung).
Für gilt , z heißt dann reelle Zahl; für gilt , z heißt dann imaginär.
2.1.1 Rechnen mit i
(1) ohne Verwendung von i: „“
(2) mit Verwendung von i:
2.1.2 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene[3]
Die komplexen Zahlen sind nicht wie die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden darstellbar. Die oben eingeführte Abbildung erlaubt es, einer komplexen Zahl einen Punkt im 2dimensionalen Koordinatensystem zuzuordnen, das man dann Gaußsche Zahlenebene nennt.
Reelle Zahlen liegen bei dieser Zuordnung auf der x-Achse und diese entspricht der Zahlengeraden. Rein imaginäre Zahlen liegen auf der y-Achse, der Imaginär-achse.
Beispiele:
2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl kann auch als Vektor aufgefasst werden, da einer komplexen Zahl eindeutig der Ortsvektor zugeordnet ist.
Addition:
Komplexe Zahlen werden addiert gemäß der Vektorrechnung, indem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.
Für und gilt:
Durch diese Definition wird zu einer abelschen Gruppe mit neutralem Element und zu inversem Element (mehr in 3.1).
Beispiel:
Subtraktion:
Eine komplexe Zahl wird subtrahiert, indem man ihr inverses Element addiert.
Beispiel:
Multiplikation:
Das Produkt komplexer Zahlen wird wegen folgendermaßen definiert:
Beispiel:
Die komplexen Zahlen und heißen komplex-konjugiert zu-einander.
Für diese Arbeit wichtige Rechenregeln komplex-konjugierter Zahlen werden im Folgenden dargestellt:
(1) , da
(2) , da
(3)
„“ , also
„“ ; ;
Division:
Bei der Division komplexer Zahlen ist es zweckmäßig, zuerst im Nenner die imaginäre Einheit i zu eliminieren. Man erweitert dazu den Bruch mit der komplex-konjugierten Zahl und wendet anschließend die dritte binomische Formel an:
Beispiel:
Potenzieren:
Um komplexe Zahlen zu potenzieren, benutzt man die binomische Formel:
mit [4]
Zu beachten sind dabei folgende Potenzen von i:
Ausgehend von: und , erhält man
allgemein[5]: für alle
Beispiel:
Es soll die fünfte Potenz der komplexen Zahl berechnet werden.
Die Binomialkoeffizienten lassen sich für die fünfte Potenz über das Pascalsche Dreieck[6] ermitteln:
2.3 Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten
2.3.1 Begriff der Polarkoordinaten
Mittels der vektoriellen Darstellung wird eine komplexe Zahl eindeutig durch den Abstand des zugehörigen Punktes vom Nullpunkt und durch den Winkel , der zwischen dem Vektor und der positiven Realachse eingeschlossen wird, bestimmt.
Man nennt und die Polarkoordinaten der komplexen Zahl . Der Winkel , auch Argument von genannt, ist bis auf Vielfache von bzw. eindeutig bestimmt. Daher kann bzw. vereinbart werden.
Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt nach Pythagoras:
Des weiteren kann aus der Abbildung entnommen werden:
Diese trigonometrischen Terme sind nur für und definiert.
Bildet man die Summe von und mit obiger Beziehung, so erhält man die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl:
Es gilt die Euler-Formel[7]: ; das linke Argument ist die trigo-nometrische Form, das rechte die Exponentialform. Damit kann man die Polarform auch in der Form schreiben. Vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene haben die Punkte den Abstand 1, liegen also alle auf einem Einheitskreis mit um den Nullpunkt.
2.3.2 Umwandlung von der Polarform in die kartesische Koordinatenform
Bei diesem Rechenvorgang gelten für und die Formeln:
Beispiel:
2.3.3 Umwandlung von der kartesischen Koordinatenform in die Polarform
Beispiel:
2.4 Rechnen mit Polarkoordinaten, Formel von de Moivre
Vorteilhaft ist das Rechnen mit Polarkoordinaten bei der Multiplikation, Division und dem Potenzieren, während Addition und Subtraktion besser mit karte-sischen Koordinaten durchgeführt werden.
Multiplikation mittels trigonometrischer Form:
Nach den Additionstheoremen[8] folgt:
Das Produkt der Einzelbeträge ist die Länge des neuen Vektors und die Summe der Argumente ist der neue Winkel zwischen der positiven Realachse und dem Vektor.
Multiplikation mittels Exponentialform:
Beispiel:
► trigonometrische Form
► Exponentialform
Division komplexer Zahlen mittels trigonometrischer Form
Analog zur Multiplikation gilt für die Division: ()
Division komplexer Zahlen in Exponentialschreibweise:
Für gilt:
Beispiel:
► trigonometrische Form
► Exponentialform
Potenzieren und Radizieren in Polarform
Der nfachen Produktbildung einer komplexen Zahl entspricht deren n. Potenz .
Parallel dazu definiert man die n. Wurzeln als diejenigen komplexen Zahlen, deren n. Potenz z ergibt, d.h. alle Lösungen von .
Für das Potenzieren gilt folgender Satz von Moivre[9]:
Beispiel:
Sehr bedeutend ist die Moivresche Formel für das Radizieren komplexer Zahlen. Um die Lösung von zu erhalten, schreibt man und als komplexe Zahlen und erhält so:
Nun werden die Beträge und Argumente gleichgesetzt:
( I ) oder
( II ) Statt muss daher nur
erfüllt sein. Wegen ist es nur sinnvoll zu wählen. Es gibt also stets verschiedene Lösungen von .
Setzt man die gefundenen Werte in die Ausgangsbeziehung ein, so erhält man die gesuchten Wurzeln:
Beispiel:
Zu sollen alle dritten Wurzeln gefunden werden. Stellt man alle Winkel in Altgrad dar, so liefert die obige Formel:
Für ergeben sich die 3 Wurzelwerte
Ergänzend zu 2.2 wird die Rechenregel für das Potenzieren komplex-konjugierter Zahlen vorgestellt:
für alle , da
3 Algebraische Eigenschaften von
3.1 Körperaxiome
Mit dem Begriff des Rechnens assoziiert der Laie Rechenverknüpfungen wie Summe, Differenz, Produkt und Quotient von natürlichen Zahlen. Allgemein werden zum Rechnen zwei Dinge benötigt:
1. Eine Grundmenge , deren Elemente nicht notwendig Zahlen sein müssen.
2. Eine Rechenoperation, die wie folgt auf definiert sein soll:
Ein Paar heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
1. ist bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen, d.h.
für alle ist .
2. Die Verknüpfung ist assoziativ in , d.h.
für alle ist .
3. In existiert ein neutrales Element, d.h.
es gibt ein , so dass für alle : .
4. In existiert zu jedem Element ein inverses Element, d.h.
zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element , so dass .
heißt kommutative oder abelsche Gruppe[10], wenn außerdem gilt:
5. Die Verknüpfung ist kommutativ, d.h.
für alle ist .
Beispiel:
Für die Menge sind bezüglich der üblichen Multiplikation die Axiome 1, 2 und 3 erfüllt. Axiom 4 ist nicht erfüllt, da es nicht zu jedem ein inverses Element in der Menge gibt, z.B. ist mit nicht erfüllbar. Also ist keine Gruppe.
Abgeleitet von den Gruppenaxiomen können nun die Körperaxiome formuliert werden:
Man spricht bei einer Menge , die aus mindestens zwei Elementen besteht, von einem Körper, wenn auf Verknüpfungen
Addition +: für alle
Multiplikation : für alle
definiert sind und dafür folgende Axiome gelten.
1. ist in Verbindung mit der Addition eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element (=Nullelement) heiße .
2. ist in Verbindung mit der Multiplikation eine kommutative Grup- pe mit dem neutralen Element 1.
3. Distributivität:
für alle
3.2 Lösen algebraischer Gleichungen
Eine Subtraktion ist bereits in der Menge der natürlichen Zahlen unmöglich, falls ist.
Uneingeschränkt kann in dieser Menge nur die Addition und Multiplikation angewendet werden, z.B. ist nicht lösbar.
Mit der Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden und dem Gewinn von inversen Elementen durch ist es nun möglich, alle Gleichungen vom Typ: zu lösen . Die Menge ist jedoch kein Körper, da es nur inverse Elemente bezüglich der Addition gibt, z.B. besitzt in keine Lösung.
Erst die Menge der rationalen Zahlen gestattet Addition und Multiplikation. Die Menge ist ein Körper , d.h. alle in 3.1 aufgeführten Körperaxiome sind erfüllt. Aber z.B. besitzt in keine Lösung (vgl. 9. Klasse).
In der Menge der reellen Zahlen ist das Radizieren und Potenzieren bei positiven Radikanden unbeschränkt möglich. In besitzt die Lösung , jedoch ist auch in nicht lösbar.
Mit der Erweiterung von zum Körper können nun zumindest alle quadratischen Gleichungen gelöst werden. Die Mengen ordnen sich beginnend von den natürlichen Zahlen und endend bei den komplexen Zahlen in dieser Beziehung an:
3.3 Abgeschlossenheit von und Hauptsatz der Algebra
Wie schon in 3.1 erkennbar ist, dass gewisse Gleichungen in einer bestimmten Menge zu lösen sind manche jedoch nicht, stellt sich nun die Frage, ob in alle Gleichungen ohne Erweiterung des Zahlenbereichs eine Lösung besitzen. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt:
Jede Gleichung n. Grades
mit hat wenigstens eine Lösung
Dieser Satz zeigt, dass eine Vollkommenheitseigenschaft besitzt und algebraisch abgeschlossen ist. Wegen der Abgeschlossenheit von gibt es algebraisch keine Notwendigkeit, den Körper noch mal zu erweitern.
3.4 als nicht angeordneter, vollständiger Körper
Auch in gelten alle Körperaxiome:
und sind abelsche Gruppen, da jeweils alle in 3.1 aufgeführten Kriterien erfüllt werden.
Das für die Addition neutrale Element lautet , für die Multiplikation .
Die inversen Elemente zur Addition (I) und Multiplikation (II) sind:
(I) aus ergibt sich
(II) Zu jedem existiert , nämlich
.
In Kapitel 2 ist deutlich, dass für das Rechnen mit komplexen Zahlen dieselben Rechenregelen gelten wie bei den reellen Zahlen. Einen Verlust gibt es jedoch im Körper , nämlich den Verzicht auf die Anordnung.
Beweis:
Angenommen, es ist möglich, vollständig anzuordnen, d.h. für gilt stets: oder oder .
Da , müsste gelten oder .
1. Fall: Es gelte
2. Fall: Es gelte
Also ist die Annahme falsch, d.h. ist kein vollständig anzuordnender Körper.
4. Anwendungen komplexer Zahlen
4.1 Anwendung in der Mathematik
Die komplexen Zahlen spielen eine große Rolle in weiten Teilen der Zahlen-theorie, Algebra und der Analysis. Komplexe Zahlen stellen zudem ein geeignetes Hilfsmittel für mathematische Beschreibungen elektrischer Schwingungen oder der Quantenmechanik dar. Im Folgenden wird die Praxis komplexer Zahlen im Lösen von Gleichungen und der Herleitung der Additionstheoreme vorgestellt.
Lösen von Gleichungen:
Eine kubische Gleichung kann sowohl reelle als auch komplexe Lösungen be- sitzen. Dies zeigt das folgende Beispiel:
Durch Probieren findet man die erste Lösung . Die Polynomdivision durch ergibt folgende Gleichung:
Die Gleichung löst man mittels der Lösungsformel:
Diese Gleichung dritten Grades besitzt als reelle, und als komplexe Lösungen. Gleichzeitig illustriert dieses Beispiel den
Satz:
Alle Lösungen einer Polynomgleichung mit nur reellen Koeffizienten treten komplex-konjugiert auf.
Beweis:
Mit den Regeln von S.5 und S.12 für komplex-konjugierte Zahlen gelingt der Beweis sehr elegant (vgl. [Fisch], S.226f):
Sei und eine Lösung von .
Dann gilt auch
Nach Fischer (siehe [Fisch], S. 226) gilt sogar, dass die Vielfachheit der Nullstellen und übereinstimmen (zum Beweis siehe [Fisch], S.226f).
Herleitung von Additionstheoremen:
In der 10. Klasse wird mit großem Aufwand die Herleitung von Additionsthe-oremen betrieben.
Unter anderem wird gezeigt:
Unter Anwendung komplexer Zahlen ist die Herleitung mit diesem Ansatz schnell und elegant: folgt der Euler - Formel:
Realteil Imaginärteil Realteil Imaginärteil
Die Gleichsetzung von Imaginär- und Realteil liefert:
4.2 Anwendungen in der Physik
4.2.1 Übersicht über die Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten
Häufige Verwendung finden komplexe Zahlen in der klassischen Physik aber auch in der Materialwissenschaft. In diesen Bereichen wird mit komplexen Zahlen gerechnet, obwohl alle gemessenen und berechneten Größen durch reelle Maßzahlen beschrieben werden. Auch durch die Verwendung von komplexen Zahlen wird es in der klassischen Physik keine imaginären Orte, Kräfte oder Zeiten geben, da alle Endergebnisse reell sind.
In einem Teilgebiet der Physik, der Quantenmechanik, treten dennoch Größen in komplexen Zahlen auf. Es gibt in der Quantenmechanik immer messbare Größen, die als Ergebnisse reelle Zahlen liefern. Jedoch ist die Wellenfunktion und manchmal auch die Zeit eine komplexe Zahl.
4.2.2 Zentrifugal- und Corioliskraft[11]
Wegen der Polarform sind komplexe Zahlen ideal dazu geeignet Kreisbe-wegungen zu beschreiben.
Die aus der 11. Klasse bekannte Zentrifugalkraft wirkt auf Körper, die in einem rotierenden Bezugssystem ruhen. Bei bewegten Massen wirkt die Corioliskraft, wenn sie sich in einem rotierenden Bezugssystem befinden. Erkennbar ist diese Kraft nur vom rotierenden Bezugssystem aus.
Zum Verständnis wird nun ein Beispiel herangezogen, bei dem die Reibung vernachlässigt wird: Angenommen es wird ein Geschoß von einem Gewehr, das sich auf einer rotierenden Scheibe befindet, radial abgeschossen, so fliegt das Geschoß nach dem Trägheitssatz geradlinig vom Mittelpunkt der Scheibe fort, wenn man es von außen beobachtet.
Das Geschoß beschreibt jedoch eine Kurve vom Standpunkt der sich drehenden Scheibe aus gesehen. Zuständig für diese Abweichung von der Geradlinigkeit ist die Corioliskraft.
Beobachter steht außen. Beobachter ist mit dem rotierenden Bezugsystem verbunden.
Im Folgenden werden die Formeln für den Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Zentrifugalkraft hergeleitet:
Wenn der Punkt z mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn rotiert, so gilt[12]: . Der Startpunkt ist , die Rotation erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn. Falls man den Punkt z als komplexe Zahl auffasst, so gilt nach der Euler – Formel :
Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung[13] des Ortes:
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes oder die erste Ableitung der Geschwindigkeit:
Für die Herleitung der Corioliskraft benötigt man die erste Ableitung nach t von :
Von einem als ruhend angenommenen Inertialsystem[14] aus bewege sich ein (punktförmiger) Körper mit konstanter Geschwindigkeit, d.h. es wirkt auf ihn keine beschleunigende Kraft, so dass , also für alle Zeitpunkte t.
Ein mit Winkelgeschwindigkeit (, d.h. im mathematisch positiven Drehsinn) rotierender Beobachter bezeichne den Ort, an dem er den Körper registriert, mit .
Da ein rotierender Beobachter B glaubt, er ruhe, sieht er den Körper um den Winkel gedreht an der Stelle . Von diesem (scheinbaren) Ort gelangt man zum tatsächlichen Ort , indem man um M mit dreht. Diese Drehung wird mathematisch durch die Multiplikation mit dem Faktor beschrieben.
Zwischen und besteht daher folgender Zusammenhang:
Um ausnutzen zu können, wird diese Gleichung zunächst zweimal nach t differenziert:
Da für alle , muss gelten:
Hierauf wendet man das aus Inertialsystemen (B glaubt, er befände sich in einem Inertialsystem) bekannte 2. Newtonsche Gesetz an:
Mit folgt .
Da ein positives Vielfaches von ist, zeigt in dieselbe Richtung wie , d.h. vom Mittelpunkt der Rotation weg. heißt daher Zentrifugalkraft.
ist gegenüber um , d.h. um im Uhrzeigersinn gedreht. Daher sorgt für eine Ablenkung senkrecht zur Bahn, die der Beobachter B registriert.
Für den Betrag von gilt:
Grafische Veranschaulichung der Richtung von und :
Corioliskräfte beeinflussen entscheidend das Wetter auf der Erde, da durch sie die Wolkenfelder auf der Nordhalbkugel einen großräumig rechtsgedrehten Wirbel besitzen. Auf der Südhalbkugel, verhält es sich genau andersherum.
Bekannt ist diese Scheinkraft auch dafür, dass sie Flüsse einseitig auswäscht und Eisenbahnschienen einseitig abnützt. Zudem muss bei der Raumfahrt, v.a. beim Start von Raketen die Corioliskraft berücksichtigt werden.
5 Schlussbemerkungen
Die komplexen Zahlen sind von der algebraischen Sicht her die letzte sinnvolle Erweiterung des Zahlenbereichs. ist ein Körper und besitzt die Vollständig-keitseigenschaft. Der Hauptsatz der Algebra sagt, dass in es nun möglich ist, jede beliebige Gleichung zu lösen. Die Vereinfachung bekannter Beweise wurde in dieser Arbeit mit der Herleitung der Additionstheoreme, Zentrifugal- und Corioliskraft dargestellt.
Seitdem Carl Friedrich Gauß die komplexen Zahlen mit seiner Zahlenebene darstellbar gemacht hat, konnten andere Mathematiker dieser Zeit nicht mehr die Bezeichnung „eingebildete Zahl“ für komplexe Zahlen verwenden. Von diesem Zeitpunkt an setzten sich die komplexen Zahlen immer mehr durch in der Mathematik und der Physik. Es ist heutzutage nicht mehr vorstellbar, ohne die komplexen Zahlen in diesen Wissenschaften zu arbeiten. V. a. in der modernen Physik, die immer häufiger mit wichtigen Ergebnissen und Erfolgen die Zukunft bestimmen wird, besitzen die komplexen Zahlen einen hohen Stellenwert.
Laut Fundamentalsatz der Algebra scheint eine Erweiterung des Zahlenbereichs für unnötig. Es gibt jedoch eine Erweiterung von , nämlich die Quaternionen[15]. Die Quaternionen sind ein Quadrupel aus einer reellen Zahl und drei imaginären Zahlen. Da die Quaternionen als Erweiterung von aufgefasst werden, werden seine Elemente auch als hyperkomplexe Zahlen bezeichnet. Anwendung finden die Quaternionen in der Informatik bei drehenden 3dimensionalen Körpern.
6 Literaturverzeichnis
[Athen] Rechnen und Mathematik, Dr. H. Athen•J. Bruhn, München 1974
[Barth] Mathematische Formeln und Definitionen, F. Barth•P. Mühlbauer•Dr. F. Nikol•K. Wörle, München
[Brock] Brockhaus Enzyklopädie, Mannheim
[Brons] Taschenbuch der Mathematik, I. N. Bronstein•K.A. Semendjajew•G.Musiol•H. Mühlig, Leipzig
[Dittm] Komplexe Zahlen, Helmut Dittmann München
[Fisch] Lineare Algebra, G. Fischer, Braunschweig 1986
[Ha& Ha] Physikalische Formeln und Tabellen, Dr. A. Hammer•Dr. H. Hammer•Dr. K. Hammer, München
[Ha& Kn] Physik, Sekundarstufe II - Kollegstufe, 11. Jahrgangsstufe, Mechanik, A. Hammer•H. Knauth•S. Kühnel, München 1978
[Knerr] Physik, Vom Atom zum Universum, R. Knerr, München 1995
[Mango] Höhere Mathematik, H. v. Mangoldt•K. Knopp, Stuttgardt
[Mülle] Mathematik verständlich, R. Müller-Fonfara, W. Scholl, München 2004
[Reint] Schulmathematik, Defintionen•Beweise•Sätze, F. Reinhardt, München
[Schei] Duden, Schülerduden Mathematik II, Pof. Dr. H. Scheid•D. Kindinger, Mannheim
7 Persönliche Erklärung
Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
München, den 18.01.2005
[1][Mango], S.303
[2] Schweizer Mathematiker (1707 – 1783)
[3] Benannt nach Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
[4] [Barth], S.13
[5] [Brons], S.26
[6] siehe Fußnote 4
[7] vgl. [Schei], S. 108
[8] [Barth], S. 39
[9] französischer Mathematiker (1667 - 1754)
[10] Benannt nach Niels Henrik Abel (1802-1829)
[11] Benannt nach Gustave G. Coriolis (1792-1843)
[12] [Ha& Ha], S.18
[13] In der Physik ist es üblich Ableitungen nach der Zeit t mit dem Symbol abzukürzen.
[14] Inertialsysteme, sind solche Bezugssysteme, in denen der Trägheitssatz gültig ist.
[15] Eingeführt von W. R. Hamilton 1843
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema der Facharbeit über Komplexe Zahlen?
Die Facharbeit behandelt umfassend das Thema komplexe Zahlen. Sie beginnt mit einer Einführung, geht über die Definition und Rechenoperationen, die algebraischen Eigenschaften bis hin zu Anwendungen in der Mathematik und Physik, insbesondere der Zentrifugal- und Corioliskraft.
Was sind die Hauptziele der Facharbeit?
Das Ziel dieser Arbeit ist es, einem Schüler aus der 12. Jahrgangsstufe die Grundlagen, das Rechnen sowie Anwendungen komplexer Zahlen zu vermitteln.
Welche Themen werden in der Facharbeit behandelt?
Die Facharbeit behandelt folgende Themen: Definition komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene, Polarkoordinaten, algebraische Eigenschaften von ℂ (Körperaxiome, Lösen algebraischer Gleichungen, Abgeschlossenheit, Vollständigkeit), Anwendungen in der Mathematik (Gleichungslösen, Additionstheoreme) und in der Physik (Zentrifugal- und Corioliskraft).
Wie werden komplexe Zahlen definiert?
Eine komplexe Zahl wird als Summe eines Realteils und eines Imaginärteils definiert: z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist (i² = -1).
Wie werden komplexe Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert?
Komplexe Zahlen werden addiert und subtrahiert, indem man Real- und Imaginärteile separat addiert oder subtrahiert. Die Multiplikation erfolgt unter Berücksichtigung von i² = -1. Die Division erfolgt durch Erweitern des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners.
Was sind Polarkoordinaten und wie werden sie verwendet?
Polarkoordinaten (r, φ) beschreiben eine komplexe Zahl durch ihren Abstand r vom Ursprung und den Winkel φ zur positiven reellen Achse. Sie sind besonders nützlich für Multiplikation, Division und Potenzierung komplexer Zahlen.
Was sind die Körperaxiome und wie gelten sie für komplexe Zahlen?
Die Körperaxiome definieren die Eigenschaften von Addition und Multiplikation in einem Körper. Die Menge der komplexen Zahlen ℂ erfüllt alle Körperaxiome, was bedeutet, dass Addition und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv sind, und dass es neutrale und inverse Elemente gibt.
Was ist der Fundamentalsatz der Algebra?
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Polynomgleichung n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Lösung besitzt. Dies bedeutet, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
Welche Anwendungen haben komplexe Zahlen in der Mathematik?
Komplexe Zahlen werden in der Mathematik verwendet, um Gleichungen zu lösen (insbesondere solche, die im reellen Zahlenraum keine Lösung haben), zur Herleitung von Additionstheoremen und in vielen anderen Bereichen der Algebra, Analysis und Zahlentheorie.
Welche Anwendungen haben komplexe Zahlen in der Physik?
Komplexe Zahlen finden Anwendung in der Physik zur Beschreibung von Schwingungen, Wechselstromkreisen, Quantenmechanik und zur Analyse rotierender Bezugssysteme, wie bei der Berechnung der Zentrifugal- und Corioliskraft.
Was ist die Zentrifugal- und Corioliskraft und wie werden sie mit komplexen Zahlen beschrieben?
Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft, die in rotierenden Bezugssystemen auf Körper wirkt, die sich in Ruhe befinden. Die Corioliskraft wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Bezugssystemen. Komplexe Zahlen, insbesondere in Polarform, eignen sich ideal zur Beschreibung von Kreisbewegungen und damit zur Berechnung dieser Kräfte.
Sind komplexe Zahlen angeordnet?
Nein, die komplexen Zahlen sind nicht vollständig angeordnet. Das bedeutet, es gibt keine konsistente Möglichkeit, zwei beliebige komplexe Zahlen so zu vergleichen, dass entweder die eine kleiner, größer oder gleich der anderen ist.
Was sind Quaternionen?
Quaternionen sind eine Erweiterung der komplexen Zahlen, die von W. R. Hamilton eingeführt wurden. Sie bestehen aus einem Quadrupel aus einer reellen Zahl und drei imaginären Zahlen und werden in der Informatik bei der Beschreibung von dreidimensionalen Drehungen verwendet.
- Arbeit zitieren
- Ludwig Irgno (Autor:in), 2005, Komplexe Zahlen / Anwendungen in der Mathematik+Physik (Corioliskräfte), München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/110089
