Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Die Geschichte der Logik
2.1 Die Aristotelische Logik
2.2 Logik im 19. Jahrhundert
2.2.1 Boole’sche Algebra
2.2.2 Peano-Arithmetik
2.3 Das Hilbert-Programm
2.4 Die Principia Mathematica
2.5 Die Metamathematik
3. Gödels Werk
3.1 Einführung der Gödelzahl
3.2 Arithmetisierung der Arithmetik
3.3 Das Kernstück des Gödelschen Beweises
3.3.1 Der erste Unvollständigkeitssatz
3.3.2 Der zweite Unvollständigkeitssatz
4. Schlussfolgerung
Hommage à Kurt Gödel
Literaturverzeichnis
Bestätigung
Anhang
1. Einleitung
„ Jetzt war Hügelbart von seiner Unbesiegbarkeit überzeugt und wollte diese auch beweisen. In die Zeit heftiger Dispute zwischen seinen Anhängern und Skeptikern fiel die Veröffentlichung von Knödels 'Unmöglichkeitssatz', der streng bewies, dass beim Spiel, dessen ungeschlagener Meister Hügelbart war, Unbesiegbarkeit eines Spielers unmöglich ist.
Die Skeptiker frohlockten. Die Fachwelt aber war erstaunt, hatte doch Knödel erst vor kurzem einen 'Möglichkeitssatz' verfasst, der Hügelbarts Überzeugung stärkte. Der 'Möglichkeitssatz' beanspruchte Gültigkeit für eine Klasse von Spielen und wurde meist so interpretiert, dass Unbesiegbarkeit eines Spielers möglich ist.
Die Fortschritte junger Spieler sprachen mehr und mehr gegen Hügelbarts Überzeugung. Das Vertrauen in die Richtigkeit des 'Unmöglichkeitssatzes' nahm stetig zu. Nach Hügelbarts erster Niederlage wurde der Beweis als eine der größten Leistungen menschlichen Denkens gefeiert.
Nach und nach kristallisierte sich aus den unzähligen Definitionen, Theoremen und Schlüssen das Beweisprinzip heraus: <Allen denkbaren Spielern wird eine Zahl zugeordnet. Damit der Spieler der Zahl n unbesiegbar ist, muss er die Spieler aller Zahlen besiegen. Da n zur Menge aller Zahlen gehört, folgt auch eine Niederlage des Spielers der Zahl n, womit die Unbesiegbarkeit widerlegt ist.>
Der 'Möglichkeitssatz' hingegen gilt, wenn es neben Sieg oder Niederlage auch Unentschieden geben kann. Obwohl es nicht darum gegangen war, dass Hügelbart eine Niederlage bei einem Spiel gegen sich selbst nicht vermeiden kann, stieg der 'Unmöglichkeitssatz' in den Rang einer heiligen Schrift auf.“[1]
Der ‚Unmöglichkeitssatz’ stellt eine triviale Analogie zu Kurt Gödels 1931 veröffentlichtem Unvollständigkeitssatz dar, wobei sich Gödel anstatt mit Spielern eines Spiels mit Sätzen eines Systems beschäftigt hatte, und es dabei nicht um die Unmöglichkeit der Unbesiegbarkeit, sondern um die Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit der Axiome, die die Grundlage des Systems bilden, geht.
Diese Arbeit ist ein Versuch, den Gödelschen Beweis, trotz seiner Komplexität, zu veranschaulichen und ihn in die Historie der Logik und der Mathematik einzubetten, was uns seine globale Bedeutung erst bewusst werden lässt.
2. Die Geschichte der Logik
2.1 Die Aristotelische Logik
Um die Entwicklung der Logik bis zu Gödels Unvollständigkeitsaxiomen nachvollziehen zu können, fangen wir vor über 2000 Jahren bei einem Philosophen namens Aristoteles an. Dieser lebte von 384-322 v. Chr. und gilt damals wie auch heute als einer der Begründer der Logik.
Aristoteles beschäftigte sich hauptsächlich mit Argumenten und deren Aussagen und Schlussfolgerungen. Ein Argument definierte er als eine Anordnung von Aussagen, wobei sich die eine Aussage, die Schlussfolgerung, aus den anderen Aussagen, den Grundgedanken, ergibt. Aussagen definiert Aristoteles als Sätze, die entweder eine Wahrheit oder eine Unwahrheit ausdrücken. Er unterteilt die Aussagen in verschiedene Klassen, nämlich in ‚universelle’ Aussagen, die etwas strikt dementieren oder bestätigen, und in ‚partikuläre’ Aussagen die dies nur bis zu einem gewissen Grad tun. Aristoteles zog somit vier Arten von Aussagen in Betracht: Die universelle Bestätigung, die universellen Dementis, die partikuläre Bestätigung und die partikulären Dementis. Diesen Aussagen ordnete man später die Buchstaben A,E,I,O, in Anlehnung an die lateinischen Wörter affirmo (ich bestätige) und nego (ich dementiere), zu, die wir aus reiner Bequemlichkeit im folgenden Beispiel auch verwenden werden:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Jeder Mensch ist weiß: A Gegensätze E: Kein Mensch ist weiß
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
impliziert Widersprüche impliziert
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Einige Menschen
sind weiß: I O:Einige Menschen
sind nicht weiß
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anhand dieses Diagramms lassen sich nun leicht Aussagen über den Wahrheitsgehalt der einzelnen Aussagen treffen, wobei eine Aussage stets als ´wahr` oder ´falsch` vorgegeben sein muss. W ist die Abkürzung für ´wahr`, F für ´falsch`.
Annahme: A ist W. Dann ist A gleich W (vorgegeben), E ist F (da A und E Gegensätze sind), I ist W (da A I impliziert), und O ist F (da A und O Widersprüche sind).
Nicht allen Aussagen können W oder F zugeordnet werden. In einem solchen Fall benützen wir U für ´unentscheidbar`, z.B.:
Annahme: A ist F. Dann ist A gleich F (vorgegeben), E ist U, da wenn ´jeder Mensch ist weiß` falsch ist, dann kann ´kein Mensch ist weiß` sowohl wahr als auch falsch sein, weil auch nur ´einige Menschen sind weiß` wahr sein könnte. Für I ergibt sich ebenfalls U und für O W.[2]
Aristoteles war der Erste, der Symbole in der Logik benutze, auch wenn diese Symbole nur Buchstaben waren, die aus Bequemlichkeitsgründen Aussagen oder Wörter abkürzen sollten. Die Symbolik, wie auch die Unentscheidbarkeit, die schon Aristoteles beschäftigte, werden wir gut 2000 Jahre später im Gödelschen Unvollständigkeitssatz wieder finden, nachdem weitere Grundsteine für Gödels Werk in der Geschichte der Logik und der Mathematik gelegt wurden.
2.2 Logik im 19. Jahrhundert
2.2.1 Die Boole’sche Algebra
Nach Aristoteles kam die Weiterentwicklung der Logik fast zu einem Stillstand, da man sich mit den Ergebnissen, die er erbracht hatte, zufrieden gab und alle Wahrheiten ergründet zu sein schienen. Immanuel Kant erklärte 1787, dass die formale Logik seit Aristoteles „auch bis jetzt keinen Schritt vorwärts hat tun können und also allem Ansehen nach geschlossen und vollendet zu sein scheint.“[3]
Erst 1847, mit der Veröffentlichung von George Booles (1815-1864) The Mathematical Analysis of Logic, „setzte eine Wiederbelebung der logischen Untersuchungen in der Neuzeit ein.“[4] Boole konstruierte eine Klassenalgebra mit der es möglich war, logische Beziehungen der Aussagenlogik darzustellen. Diese Klassenalgebra beruhte auf Symbolen und Variablen, deren konsequenter Gebrauch es in Aussagesätzen ermöglichte, logische Ausdrücke von umgangssprachlichen Zweideutigkeiten zu befreien und somit die Logik in einer vollständig formalisierten Sprache darzustellen. Die Anwendung der Klassenalgebra soll folgendes Beispiel verdeutlichen:
Die ursprünglichen Aussagen lauten:
Alle Gentlemen sind höflich
Kein Bankier ist höflich
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Kein Gentleman ist Bankier
Mit Hilfe der Klassenalgebra werden diese Aussagen durch Variablen und Symbole wiedergegeben. Dafür werden die Subjekte wie folgt definiert:
- Gentleman/Gentlemen: g (Klasse aller Gentlemen)
- Bankier: b (Klasse aller Bankiers)
- höflich: h (Klasse aller höflichen Menschen)
- nicht höflich: h` (Klasse aller unhöflichen Menschen)
Daraus ergibt sich eine neue Darstellungsweise, nämlich:
g Ì h
b Ì h`
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] g Ì b`
Das Symbol ´ Ì ` bedeutet ´ist enthalten in`, so das ´g Ì h` aussagt, dass die Klasse (gleichbedeutend mit Menge) aller Gentlemen in der Klasse aller höflichen Menschen enthalten ist.[5]
Die Anwendung von Symbolen und Variablen vervollständigte und verbesserte der deutsche Mathematiker und Philosoph Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) in seinem 1878 erschienenen Hauptwerk Begriffsschrift, in dem die Logik erstmals als eine vollständig formalisierte Sprache dargestellt wurde. Frege gilt als der Begründer der modernen Logik.
2.2.2 Die Peano-Arithmetik
Der nächste größere Schritt in Richtung des Gödelschen Unvollständigkeitsaxioms ist die Axiomatisierung der Arithmetik. Der Begründer dieser Bewegung war der deutsche Mathematiker Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), der einen rein logischen Aufbau der Arithmetik anstrebte, aber keine großen Errungenschaften in dieser Hinsicht für sich verbuchen konnte. Erst der Italiener Giuseppe Peano stellte 1889 in seinem Werk Arithmetices Principia nova methoda exposita ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen auf. In diesem Axiomensystem umgeht Peano umgangssprachliche Uneindeutigkeiten, indem er eine Symbolsprache der Logik einführt, die nach bestehenden Regeln festgelegt ist. So werden strukturelle Merkmale der natürlichen Zahlen innerhalb der Axiome in logischer Symbolik wiedergegeben, welche nach Peano PA (Peano-Arithmetik) genannt wird. Die „Sprache“ PA bezieht sich nur auf Prädikate über Individuen aus dem Bereich der Sprache, nicht aber auf Aussagen über Aussagen, und ist somit „Sprache“ PA der ersten Stufe mit Identität. Identität bedeutet, als Symbol wiedergegeben, ´=` und hat folgende Eigenschaften:
[...]
[1] Quelle 1: Wolfgang Gasser: Der Unmöglichkeitssatz
[2] vgl.: Howard Delong: A Profile of Mathematical Logic. United States of America 1970. S. 14ff.
[3] Ernest Nagel / James R. Newman: Der Gödelsche Beweis. Wien / München 1964. S. 43.
[4] Ernest Nagel / James R. Newman: Der Gödelsche Beweis. Wien / München 1964. S. 44.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema des Textes?
Der Text behandelt Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz, seine Bedeutung und seinen historischen Kontext innerhalb der Logik und Mathematik. Es wird versucht, den komplexen Beweis zu veranschaulichen und in die Historie der Logik einzuordnen.
Welche historischen Etappen der Logik werden behandelt?
Der Text beginnt mit der Aristotelischen Logik, geht über die Entwicklungen im 19. Jahrhundert mit der Boole'schen Algebra und der Peano-Arithmetik, und erwähnt das Hilbert-Programm sowie die Principia Mathematica als Vorläufer von Gödels Werk.
Was ist die Aristotelische Logik?
Die Aristotelische Logik, begründet von Aristoteles (384-322 v. Chr.), beschäftigt sich mit Argumenten, Aussagen und Schlussfolgerungen. Aristoteles definierte Argumente als Anordnungen von Aussagen, bei denen die Schlussfolgerung aus den Grundgedanken resultiert. Er klassifizierte Aussagen in universelle und partikuläre Aussagen und führte Symbole zur Abkürzung dieser ein.
Was ist die Boole’sche Algebra?
Die Boole’sche Algebra, entwickelt von George Boole (1815-1864), ist eine Klassenalgebra zur Darstellung logischer Beziehungen der Aussagenlogik. Sie verwendet Symbole und Variablen, um logische Ausdrücke von umgangssprachlichen Zweideutigkeiten zu befreien und die Logik in einer formalisierten Sprache darzustellen.
Was ist die Peano-Arithmetik?
Die Peano-Arithmetik, begründet von Giuseppe Peano, ist ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen. Peano verwendet eine Symbolsprache der Logik, um umgangssprachliche Uneindeutigkeiten zu umgehen und die strukturellen Merkmale der natürlichen Zahlen in logischer Symbolik darzustellen. Die "Sprache" PA bezieht sich nur auf Prädikate über Individuen.
Was wird über Gödels Unvollständigkeitssatz gesagt?
Der Text erklärt, dass Gödels Unvollständigkeitssatz die Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit der Axiome, die die Grundlage eines Systems bilden, aufzeigt. Es wird versucht, den Beweis zu veranschaulichen und seine Bedeutung hervorzuheben.
Welche Teile des Textes sind besonders wichtig?
Wichtige Teile sind die Einleitung, die eine Analogie zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz aufzeigt, die Geschichte der Logik mit Aristoteles, Boole und Peano, sowie die Erläuterung der Boole'schen Algebra und der Peano-Arithmetik.
Welche Symbole und Begriffe werden in der Logik verwendet?
Der Text verwendet Symbole wie A, E, I, O zur Kennzeichnung verschiedener Arten von Aussagen, sowie Symbole aus der Boole’schen Algebra wie ´ Ì ` (ist enthalten in). Es werden auch Begriffe wie ´wahr` (W), ´falsch` (F) und ´unentscheidbar` (U) verwendet.
- Arbeit zitieren
- Laura Gycha (Autor:in), 2004, Das Gödel`sche Unvollständigkeitsaxiom im historischen Kontext, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/109548
